立足本質 暴露思維 升華推理

閆穎

【摘 要】推理是數學的基本思維方式，借助一道選擇題隨機抽取五、六年級各一個班作為調查對象，調查結果顯示高年級學生推理水平特點表現為知識記憶影響答題正確率、解題策略占比因年級而不同、推理水平隨著年級整體遞增。基于調查結果，通過教學實踐總結提升兒童推理水平的策略：立足本質，挖掘推理素材;暴露思維，經歷推理過程;巧用反例，體驗合情推理的或然性。

【關鍵詞】邏輯推理 選擇質數 思維過程

【緣起】

選擇題是小學數學測試中的常見題型，具體的解決方法有多種，例如解題確認法（將所給問題解答出來，到所給選項中選擇正確答案）、排除法（將錯誤的選項逐一排除，從而確認正確的選項）、代入法（將所給選項逐一放到問題中，將未知變已知，從而確認正確的選項）、估測法（遇到一時無法解決的問題隨意選擇一個選項）等。在實際做選擇題時，學生采用了怎樣的方法？不同年級的學生面對同一問題，又有怎樣不同的思維水平？我們在一次測試中，將同一道選擇題放在了五、六年級，并要求學生寫出具體的想法，題目如下：

95、89和87這三個數中，哪一個是質數？你是怎樣判斷的？把你的想法寫下來。

【測試結果】

測試對象：五、六年級每個年級隨機抽取一個班級。其中五年級47人，六年級65人，共112人。

測試結果分析：

五年級學生測試的正確率是93.6%，而六年級學生測試正確率卻是80%。很多學生雖然答案是正確的，但對于怎樣判斷的說不出所以然，或者直接不寫想法，這樣的學生占比是16.3%。

本題主要讓學生運用知識判斷一個數是不是質數，是一道基礎題，卻出現了這樣的結果。是學生對知識本身不理解？還是六年級學生對這部分知識有所遺忘？帶著這些疑問，筆者對參測學生的真實想法進行了梳理和分類。學生大致采用了三種方法來解決這個問題。

1.一一列舉

所謂一一列舉，就是將每個數的所有因數全部寫出來，從而找到問題的答案（如下圖）。此題學生將95、89、87四個數的因數一一列舉出來，根據質數的定義（一個數只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫質數）判斷89是質數。

2.排除法

從確定的合數想起，把合數逐一排除從而找到質數的方法（如下圖）。學生通過2、3、5倍數的特征進行判斷，95是5的倍數，87是3的倍數，這兩個數都能判斷出除了1和它本身以外，還有其他的因數。所以排除這兩個數，因此確定89是質數。

3.根據概念直接選擇

學生利用質數的概念對其中的質數直接做出判斷。（如下圖）

4.不嚴密的推理

判斷這三個數是不是2、3、5的倍數，如果都不是就是質數，反之就不是質數（如下圖）。很顯然學生只考慮了質數2、3、5，其他的沒有考慮，致使這種判斷有失偏頗，實質上是一種不嚴密的推理，有時得到的答案是錯誤的。

以上四種方法在各年級的占比如下表。

年級 正確人數 方法1人數及占比 方法2人數及占比 方法3人數及占比 方法4人數及占比

五 44 11（25%） 13（29.54%） 14（31.82%） 6（13.64%）

六 52 6（11.54%） 32（61.54%） 10（19.23%） 4（7.69%）

【結果分析】

通過對答題結果分析，特別是對學生“把你的想法寫出來”中暴露出來的思維過程剖析，我們不難發現，不同年級在知識記憶、解決策略（方法）和思維水平方面都呈現出很大的不同。

1.知識記憶影響推理水平率

從知識角度看，這道題考查的主要是質數、合數的概念及判斷方法。因測試的時間節點正好在五年級學習“因數和倍數”這個單元之后，而六年級學生卻沒有開始小學階段的總復習。因此，在年級的總得分率上，五年級高于六年級。這恰好驗證了艾賓浩斯遺忘規律。

2.解題策略占比因年級而不同

五年級學生采用列舉法、排除法和直接利用概念選擇的方法占比差不多，看不出哪種方法的優勢。而六年級則有61.54%的學生選擇了排除法，即排除法在六年級學生中，會被更多人使用。

3.思維水平隨著年級整體遞增

在學生所采用的4種方法中，體現的思維水平也是不同的。大致可以分為三個層次：第一層次為第4種方法，使用這種方法的學生往往概念理解不當、推理不嚴密。概念是判斷的基礎，而判斷又是推理的基礎，因此，概念是影響正確推理的重要保障，概念不清直接影響正確推理。第二層次為第3種和第1種方法。這兩種方法都能夠根據質數的概念做出相應的判斷。在選擇質數的過程中，也經歷了較為完整的三段論推理的過程：“因為質數是只有1和它本身兩個因數的數，而89只有1和它本身兩個因數，所以89是質數”。相對于第3種方法，采用第1種方法的同學思維更加嚴謹，逐一判斷每個數的因數個數，最后選出其中的質數。第三層次為第2種方法，即排除法，主要找到某個數有除了1和它本身之外的因數，就可以確定它為合數，因此就能把這個數排除掉。使用這種方法的學生呈現出的思維水平最高：一是概念理解準確，能夠靈活運用概念;二是思維過程簡潔;三是能夠確保答案準確。相對于其他方法，判斷一個更大的數是不是質數，采用這種方法更有效。因此排除法也是體現了較高思維水平的方法。

【我的思考】

推理是數學的基本思維方式，能進行推理是理解數學的關鍵。知識固然重要，但能把自己的推理過程清晰地表達出來，則是知識內化的外在表現，也是發展學生推理能力的關鍵。如何提升學生的推理水平？怎樣引導學生逐步由思維嚴謹性到思維靈活性再到思維創造性？在實際教學中，我們不妨從以下幾個方面努力：

1.立足本質，挖掘推理素材

質數和合數這一內容是在奇數與偶數及2、3、5倍數特征的基礎上進行教學的。由于本單元概念較多，加上奇數與偶數這部分內容的負遷移作用，使得學生對奇數和質數的概念產生混淆，因此教學時，基于學生已有經驗，可適當將教材中隱藏的推理素材進行重組，實現教學和素材有效組合。教學時讓學生分別用12個和13個小正方形擺長方形，看看一共有幾種不同的擺法。通過操作引發學生思考：為什么12個小正方形能擺出不同的長方形，而13個小正方形卻只能擺出一種？這時適時引入質數、合數的概念，從而使學生認識到12是一個合數，3種擺法對應是12的3組因數（1、12，2、6，3、4）。而13是一個質數，只有一種擺法，因此只有1和13兩個因數。從而厘清了質數和合數的本質內涵，從直觀的角度賦予質數、合數本質的意義。隨后呈現1～20各數的表格，讓學生圈出質數，并說說剩下的數為什么不是質數。在此基礎上呈現30～50各數的表格，繼續讓學生圈出質數，看看能不能依據20以內的質數做出判斷。比如2、3、5、7、11、13、17、19是質數，33、35、37、39……是不是也是質數，進而發現33、35、39并不是質數。由此可以知道，奇數并不一定是質數。接著讓學生猜測所有的偶數是不是合數，引導學生舉例判斷。由于偶數都是2的倍數，所以偶數都是合數（2除外）。進一步厘清了奇數和質數、合數與偶數之間的聯系和區別，同時經歷了“猜想—舉例—驗證”的推理過程，提升了學生的推理能力。

2.暴露思維，經歷推理過程

推理能力的培養不是一蹴而就的，而是一個循序漸進的過程。而在這一過程中，培養學生進行有根據的表達推理，利用多種方法輔助推理，是培養推理能力的首要任務，將會收到事半功倍的效果。學生的思維向縱深化發展，使其知其然更知其所以然。

（1）有序表達自己的推理過程。有序思考，是學生思維清晰、簡潔的表現。只會做題講不出所以然，是機械、記憶學習的表現。比如有些學生靠記憶熟背了100以內的質數表，判斷一個數是否是質數速度很快，但是一旦數超過了100就無從下手，更不要說表述自己推理的過程了。而說的過程正是學生自信、大膽的表現。首先，要敢說。針對測試題，可以先讓學生從易到難說說自己對95、89、87這三個數的判斷，即使不全面、不準確，甚至是錯誤的想法，教師都要表示理解和接納，這是走向表達的第一步。其次，要會說。學生說出自己真實的想法后，可以引導其在小組、全班相互交流、學習的基礎上，補充、完善自己的想法，或修正，或“正誤”，從而學會正確地表達思考的過程。最后，有序說。這里的“序”可以是知識的序，也可以是思維的序。學生可能按照三個數呈現的順序依次判斷，按照思維的序，則是先從2、3、5的倍數開始判斷，即先易后難。從“敢說”到“會說”到“有序”說，是學生思維的不斷深化，是知識在頭腦中的不斷重組和建構。

（2）多種方法輔助推理。受思維發展水平和年齡的限制，小學生的推理能力仍需要借助一些直觀的手段幫助其理解知識、應用知識，這樣的方法可以是操作、畫圖等。多種方法輔助推理，能培養學生思維的條理性，養成從證據到推理的思維習慣。在說的基礎上，讓學生想辦法證明自己對上面三個數的判斷。學生可能想到的方法有反例（即排除法）、計算、查閱質數表等，如此可以深化對知識的理解，又能為學生的演繹推理奠定基礎。

3.巧用反例，體驗合情推理的或然性

推理，尤其是合情推理，結論是好似為真的，具有或然性。因此引導學生體驗推理的或然性尤為重要，避免學生進入認為只要猜想—驗證結論就是正確的這一誤區。例如：判斷551和553這兩個數時，學生很容易將這兩個數歸為質數，這就暴露了學習中的問題，直觀判斷551和553只有1和它本身兩個因數，其主要原因是551和553都是奇數。這時正是體驗推理或然性的良好時機。此時，教師先不急于評價，讓學生通過自己的方法來驗證這一結論，即排除法。從而發現551有因數19，553有因數7。這樣的教學使學生意識到，單憑自己的觀察、猜測和已有經驗進行判斷，往往容易出現錯誤。一切猜想和判斷都要建立在嚴密的推理之上，要注重全面、理性的驗證，否則結果很有可能是或然的。

培養、發展學生的推理能力，需要基于學生已有的認知發展水平。關注學生是如何想的、如何學的，充分暴露學生的思維過程，立足學科本質，找到教學的起點，針對思維的不同層次提升學生的推理水平，從而提升數學核心素養。

【參考文獻】

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