美國線性代數課程教學研究與啟示

張 莉

（北京聯合大學數理部，北京 100101）

線性代數課程是國內外高等院校中非常重要的一門基礎課， 它也是大多數研究生入學考試的一門必考科目。本課程不僅能夠培養學生的抽象思維能力，而且能夠培養學生的邏輯思維能力。 在20 世紀后期，計算機技術的高速發展，推動了工程、技術、經濟、管理等領域問題的解決。 其中大部分問題的解決需要廣大的技術人員能夠運用計算機解決代數問題。因此，學好這門課程能夠讓學生將理論應用于實踐， 解決社會生產和日常生活中的問題。近年來，隨著高等教育的發展以及科技的進步， 如何提高線性代數課程的教學水平與教學效率成為國內外學者非常關心的話題。

美國的數學教育一直處在改革之中。 1989 年，美國國家研究委員會發表了《休戚與共——關于數學教育失敗向全國所作的報告》。 文中提出對數學課程必須做重大的改革。 報告指出，數學教學應強調數學問題解決，使學生達到能從日常生活中和數學內部找到數學問題， 能發展和應用各種策略去解決各種問題。1990 年，美國線性代數大綱研究組對線性代數的課程大綱與教學提出了五條改革建議。 其要點是：（1）首先要滿足非數學專業面向應用的需要；（2）要強調以矩陣運算為基礎；（3）要從學生的水平和需求出發；（4）要采用最新的軟件工具。 這四條都是為了提高課程的實用性，降低其抽象性，以利于它的“大眾化”。 為了適應少數人學高深代數理論的需求，加了第五條：（5）對想要數學學位的學生應另開一門高年級課程，以提高其抽象性。 這些建議在美國的線性代數學界得到了廣泛的支持。 接下來，美國又開展了ATLAST 計劃，對教師進行數學軟件的培訓。 近幾十年來，美國學者對線性代數課程的教學過程進行了大量的研究。

2015 年秋，筆者前往美國亞利桑那州立大學做了為期一年的訪問學習。 亞利桑那州立大學于1885 年成立，是美國著名的公立大學，被卡內基高等院校分類標準歸類為“高研究活動研究型大學”。 該高校設有22 個學院， 其本科教育為普及教育，2016 年及2017年， 該校連續兩年被U.S.News & World Report 評為美國最具創新力大學。 通過近距離接觸美國線性代數課程的教學，并與授課教師進行交流探討，筆者覺得其中有很多地方值得我們學習與借鑒。

1 美國線性代數課程的教學特點

亞利桑那州立大學一方面注重入職教師教學能力的提升，另一方面，也重視教師的培訓工作。 培訓內容涉及認知心理，高等教育等方面。 在上課之前，學校會對任課教師進行教學方法，教學內容，教學大綱，教學計劃，有效的課堂管理等方面的培訓。 這樣，教師的教學能力能夠得到很大的提升。 教師在上課前會把課件，作業等都上傳到個人的網絡平臺，每位同學都可以登錄任課教師的平臺下載所需材料。 在亞利桑那州立大學，教授線性代數這門課程的教師師資力量比較雄厚， 而且部分教師的研究方向涉及線性代數的應用。 這樣，在教學中，教師可以與自己的研究方向相結合，與同學們的專業，線性代數的應用相結合進行講授，而不只是教授書本內容，既體現了線性代數的應用價值又增強了學生的學習興趣。

在亞利桑那州立大學，通常情況下，三個學期（春季、夏季、秋季）都開設有線性代數課程。 線性代數作為入門級的課程，一般側重于概念，計算和應用，證明不多。 具體開設的課程類型有：線性代數基礎、線性代數、線性代數的應用、工程中的線性代數等以及一些實驗課。 課程不同，學分不同，授課的側重點也不同。在進行理論學習的同時，同學們也學習怎樣運用數學軟件解決實際問題。 由于開設課程多樣化，時間也比較靈活，同學們有較大的自主選擇的空間。

教學時，教師根據David C.Lay 主編的教材《線性代數及其應用》以及所教授學生的專業特點和學習特點來定自己的教學內容。 這本教材著重培養學生運用線性代數理論解決實際問題的能力，要求學生理解和掌握基本算法， 但不提倡將更多的精力花在計算上。包含豐富的應用案例，取材廣泛，這有助于加強與專業課程的聯系。

在教學的第一次課， 任課教師會進行自我介紹，內容包括聯系方式、辦公地點、個人網頁。 有的教師也會介紹個人經歷、家庭、愛好等。 然后再介紹這門課本學期會進行哪些方面的學習、作業、講義的下載地址，對課堂的要求、考核要求、在課堂上對學生的要求等。

在課堂上，學生可以隨時對知識點提問，或者提出自己的見解。 任課教師鼓勵學生主動解決問題，學生在學習中具有很大的主動性。 由于線性代數課程在數值計算上具有很大的應用性，有的學生會主動搜集數據，利用課堂上所學習的知識進行建模，并探究其規律，并將解決問題的方法和所得到的結論介紹給大家。 在教學中，教師更加注重線性代數課程知識與方法的應用，大多數學生在以后的工作和生活中都能自如地運用線性代數知識。

2 美國線性代數課程的教學對國內教學的一點啟示

通過親身接觸，筆者感覺到在線性代數這門比較抽象的學科教學上，美國教師的教學，有許多值得我們學習與借鑒的地方。

2.1 在教學中傳統教學方法與多媒體計算機相結合

在線性代數的課堂中，在講解邏輯性比較強的定理、推論時，采用傳統的，嚴謹的教學方法，如通過板書一步一步地講解， 能夠讓同學們體會到數學的魅力，也有利于理解。 然后利用現代軟件工具幫助學生理解課堂知識點，熟悉其應用。 比如，利用計算機演示直觀的線性代數問題與空間解析幾何問題等。 這樣，能夠使學生的學習主動性與嚴謹的課堂講解結合起來，使課堂教學達到良好的教學效果。

2.2 根據學生專業、需求不同，采用分層次教學

線性代數課程的教學目的一般有三個層次：（1）基礎理論學習，通過基礎理論學習，掌握線性代數這門課程的基本概念，基本理論知識；（2）將數學軟件與此門課相結合，進行一些數學建模以及數值計算；（3）為進一步專業領域的知識學習打基礎， 將線性代數與專業相結合。 在教學中，充分考慮不同專業，不同層次的學生的基礎水平和專業需求，因材施教。整個線性代數課程的學習既重視理論知識的學習， 也要側重于所學知識和方法的應用以及運用現代手段解決實際問題。

2.3 搭建并高效利用自主學習平臺

隨著網絡教育的發展，很多高校對于課程的資源實行網絡化。 一方面同學們可以在線進行課前預習，查閱資料，也可以進行模擬測試，課后復習，拓展知識等多項活動。 另一方面，教師可以在線答疑，跟蹤同學們的學習情況，隨時調整教學內容與進度，節省了很多課堂時間。 同時，將平臺利用最佳化，為同學們更好、更充分地學習線性代數知識服務，在潛移默化中提高學生的自主學習能力。

2.4 課上精講與課下應用相結合

錢學森曾經指出“數學課不是為了學生學會自己去求解， 而是為了學生學會讓電子計算機去求解，學會理解電子計算機給出的答案，知其所以然”。 在課堂上，精講，既要講知識，也要講思想與方法，介紹用什么樣的方法解決問題。 在教學的過程中，加強知識的應用介紹，提高同學們的興趣。 在課下，布置一些與專業知識，社會熱點等相關的應用課題，以小組的形式進行研討， 既增加同學們的學習熱情與思考熱情，激發自主學習的主動性與積極性，提高教學效果，也提高了同學們的團隊合作能力。

3 結語

用線性代數方法解決實際問題已經滲透到各個學科領域，線性代數課程的重要性日漸顯現。因此，在科技迅猛發展與經濟全球化的今天， 吸取國外的先進經驗，以培養高素質新世紀人才，應用型人才為目標對國內的線性代數課程進行課程建設與課程改革尤為重要。