δ-Hom-Jordan李色代數的T*-擴張

馬麗麗, 戴 迪, 李 強, 王曉燕

(齊齊哈爾大學 理學院, 黑龍江 齊齊哈爾 161006)

1 引言與預備知識

李色代數是李代數和李超代數的推廣, 目前關于李色代數的研究已有很多結果, 如李色代數的PBW定理和Ado定理[1]、 李色代數的表示理論[2]和Engel定理[3]、 李色代數的廣義導子結構[4]、δ-李色代數的交換擴張[5]和δ-Hom-Jordan李色代數的導子擴張[6]等.T*-擴張是研究代數結構的重要方法, 其在δ-Hom-Jordan李(超)代數[7-8]、δ-Jordan李三系[9]和李色代數[10]等代數結構中應用廣泛. 本文研究δ-Hom-Jordan李色代數, 并討論其T*-擴張結構.

定義1[1]設G是交換群,F是任意域, 若對?a,b,c∈G,G上的一個映射ε:G×G→F*滿足：

ε(|a|,|b|)ε(|b|,|a|)=1,

ε(|a|,|b+c|)=ε(|a|,|b|)ε(|a|,|c|),

ε(|a+c|,|b|)=ε(|a|,|b|)ε(|c|,|b|),

則稱ε為G的斜對稱雙特征標.

易知

ε(|a|,|0|)=ε(|0|,|a|)=1,ε(|a|,|a|)=±1, ?a∈G.

設a,b,c為G-階化向量空間中的齊次元, 用|a|,|b|,|c|表示其次數.為簡便, 用ε(a,b)表示ε(|a|,|b|).

定義2[11]δ-Hom-Jordan李色代數(L,[·,·]L,δ,α)由階化空間L、 一個雙線性運算[·,·]L:L×L→L及滿足如下條件的偶線性變換α:L→L構成:

[x,y]=-δε(x,y)[y,x],δ=±1,

(1)

ε(z,x)[α(x),[y,z]]+ε(x,y)[α(y),[z,x]]+ε(y,z)[α(z),[x,y]]=0, ?x,y,z∈L.

(2)

定義3設(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代數.

1) 若α為同態, 即任取x,y∈L, 均有α([x,y]L)=[α(x),α(y)]L, 則δ-Hom-Jordan李色代數稱為保積的； 若α為自同構, 則δ-Hom-Jordan李色代數稱為正則的.

2) ?x,y∈η, 若α(η)?η且[x,y]L∈η, 則階化子空間η?L稱為(L,[·,·]L,δ,α)的Hom子代數；

3) ?x∈η及?y∈L, 若α(η)?η且[x,y]L∈η, 則階化子空間η?L稱為(L,[·,·]L,δ,α)的Hom理想; 特別地, 若滿足[L,η]=0, 則理想η稱為交換理想.

定義4δ-Hom-Jordan李色代數(L,[·,·]L,δ,α)的表示為階化向量空間V上關于A∈pl(V)的線性映射

ρA:L→pl(V),

使得對任意的u,v∈L, 滿足

ρA([u,v]L)°A=ρA(α(u))°ρA(v)-δε(u,v)ρA(α(v))°ρA(u).

(3)

定義5設(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代數, 如果

L⊥={x∈L|f(x,y)=0, ?y∈L}=0,

則L上的雙線性型f稱為非退化的; 如果

f([x,y],z)=f(x,[y,z]), ?x,y,z∈L,

則f稱為不變的; 如果

f(x,y)=ε(x,y)f(y,x),

則f稱為階化對稱的.如果I?I⊥, 則階化子空間I稱為迷向的.

定義6對δ-Hom-Jordan李色代數(L,[·,·]L,δ,α)的雙線性型f, 若f滿足

f(x,y)=0, ?x,y∈L, |x|≠|y|,

則f稱為Jordan相容的.

定義7設(L,[·,·]L,δ,α)是域F上δ-Hom-Jordan李色代數, 若L具有非退化不變階化對稱雙線性型f, 則稱(L,f,δ,α)為度量δ-Hom-Jordan李色代數.特別地, 度量向量空間V是階化向量空間, 具有非退化階化對稱雙線性型.

2 主要結果

引理1設ad是δ-Hom-Jordan李色代數(L,[·,·]L,δ,α)的伴隨表示,L*是L的對偶空間, 定義偶線性映射π:L→End(L*)為

π(x)(f)(y)=-δε(x,f)f°ad(x)(y), ?x,y∈L,

α°adα(x)=adx°α,

(4)

adx°adα(y)-δε(x,y)ady°adα(x)=α°ad[x,y]L.

(5)

證明: 計算可得

且

又因為

所以

定義8設(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代數, (V,ρA,δ)為T-模, 若線性映射ω: ?2→V滿足

ω(x,y)=-δε(x,y)ω(y,x),

則稱ω: ?2→V為2-上圈.

定理1設(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代數,ω:L×L→L*是偶的雙線性映射, 假設存在余伴隨表示.對于階化向量空間L⊕L*, 定義運算和線性映射如下:

[x+f,y+g]L⊕L*=[x,y]L+ω(x,y)+δπ(x)g-ε(x,y)π(y)f,

(6)

α′(x+f)=α(x)+f°α.

(7)

證明: 任取x+f,y+g,z+h∈L⊕L*, 注意到

且

于是

ε(x,z)[α′(x+f),[y+g,z+h]L⊕L*]L⊕L*+c.p.(x+f,y+g,z+h)=0,

當且僅當

顯然L*是(L⊕L*,[·,·]α′,δ,α′) 的交換Hom-理想,L與(L⊕L*)/L*同構.下面考慮在L⊕L*上的階化對稱雙線性型qL, 這里x+f,y+g∈L⊕L*,

qL(x+f,y+g)=f(y)+ε(x,y)g(x).

定理2設L,L*,ω和qL定義如上, 則(L⊕L*,qL,δ,α′)是度量δ-Hom-Jordan李色代數當且僅當

ω(x,y)(z)=ε(x,y+z)ω(y,z)(x), ?x,y,z∈L.

證明: 若x+f與L⊕L*的所有元正交, 則f(y)=0且ε(x,y)g(x)=0, ?y∈L及?g∈L*, 可得x=0,f=0.從而對稱雙線性型qL是非退化的.

設x+f,y+g,z+h∈L⊕L*, 則有

另一方面, 有

由π與ad的定義, 可驗證

qL([x+f,y+g]L⊕L*,z+h)=qL(x+f,[y+g,z+h]L⊕L*)

當且僅當

w(x,y)(z)=ε(x,y+z)w(y,z)(x).

證畢.

定義9設L是域F上的δ-Hom-Jordan李色代數.定義一個導出序列為

(L(n))n≥0:L(0)=L,L(n+1)=[L(n),L(n)]；

一個降中心序列為

(Ln)n≥0:L0=L,Ln+1=[Ln,L]；

一個升中心序列為

(Cn(L))n≥0:C0(L)=0,Cn+1(L)=C(Cn(L)).

其中若I是L的子空間, 則定義C(I)={a∈L|[a,L]?I}.

L稱為可解的和冪零的(長度k)當且僅當存在(最小)整數k, 使得L(k)=0,Lk=0.

定理3若(L,[·,·]L,δ,α)是域F上的δ-Hom-Jordan李色代數, 則下列結論成立：

2) 設0≠L=I⊕J, 其中I和J是(L,[·,·]L,δ,α)的兩個Hom-理想.用I*(或J*)表示L*中在J(或I)上取值為零的線性映射構成的階化子空間.顯然,I*(或J*)同構于其對偶空間I(或J), 且L*?I*⊕J*.

由于

[I*,L]L⊕L*(J)=I*([L,J]L)?I*(J)=0

且

[I,L*]L⊕L*(J)=L*([I,J]L)?L*(I∩J)=0,

則有[I*,L]L⊕L*?I*, [I,L*]L⊕L*?I*.于是