淺談幾何解題思維在數學教學過程中的應用與實施

王春華

[摘? 要：在幾何的教學過程中，在講清楚基本概念的同時，要有意識地培養學生利用學過的知識，通過類比、聯想、拓展等數學方法，從多個方面去思考和解決問題，一題多解。教師在課堂上，要多挖掘一些行之有效的一題多解的例題和習題，去鍛煉培養學生的思維應變能力

關鍵詞：一題多解;數學思想;探索創新]

八年級階段，學生開始全面接觸平面幾何問題，對幾何問題的解決方法有了一定的認識和了解。但學生的幾何思維還稍顯稚嫩，對定理的把握，對方法的總結，對技巧的應用，均還在初級的形成階段。這個時候，如果學生的思維能夠打開，逐漸形成多角度，全方位去思考問題的習慣，對于后面幾何問題的學習，就大有裨益。因此，在幾何的教學過程中，在講清楚基本概念的同時，要有意識地培養學生利用學過的知識，通過類比、聯想、拓展等數學方法，從多個方面去思考和解決問題，一題多解，并注意總結解題特征，解題方法，最后達到觸類旁通，融會貫通，從而開拓自己的幾何思維，形成全面、嚴謹、靈活地解決幾何問題的習慣。

我們教師在課堂上，要多挖掘一些行之有效的一題多解的例題和習題，去鍛煉培養學生的思維應變能力。下面，我就以我們平時課堂上和教材上出現的一些簡單而又經典的問題進行詳細講解。

以人教版八年級數學第十八章《平行四邊形》第18.1.2節《三角形的中位線》為例，在這一節中，教材給出了三角形的中位線的概念，中位線定理的內容及其證明。

教材原文如下：

此題的解題方法，對于同學們來講，并不是很陌生。特別是輔助線的做法，我們在全等三角形的證明中提及過，當遇到中點時，我們可以通過倍長過中點的線段來構造全等三角形。這里通過倍長，構造了一組對角線互相平分，從而構造出平行四邊形，再通過平行四邊形的性質進行下一步證明。此題的輔助線較多，而且學生剛接觸平行四邊形不久就讓其構造平行四邊形，難度相對較大，絕大多數同學還停留在全等三角形的相關知識。但是，學生在看到中點后，應該要有構造等長線段的這種意識。而這種意識的形成，就需要我們老師在課堂上，通過類似的例題進行訓練，發散學生的思維。下面，我們通過改變中位線定理的題設和結論，得到一個新的命題，并證明該命題為真命題。

母題1：

如圖所示，在△ABC中，D為邊AB的中點，

過點D作DE∥BC，交邊AC于點E。

求證：E為AC的中點。

此題，對于很多學生來講，覺得是顯而易見的結論，但要進行嚴格的證明，我相信，有相當一部分學生是有困難的，這一點，也在我的課堂上得到了驗證。但同時，對于一些思維發散的學生來講，證明的方法又顯得多種多樣，下面我們就來探討下該題的多種解題方法。

解法一：利用平行線分線段成比例定理或者三角形相似的性質來做，相對較簡單，但是這是九年級的知識，八年級的絕大多數學生并不清楚，對于他們來講并不適用，此處不再詳細介紹。

解法四：構造全等三角形證明線段相等。這種方法應該是學生們最熟悉也經常用的方法。有中點，則有線段相等，只需要構造出另外的邊相等或者角相等即可實現兩三角形全等。

解法五：利用等面積法證明線段相等。等面積法在初中階段，是一種非常重要的證明線段相等的辦法，有時候會起到柳暗花明的效果，在平時的要跟學生滲透這種思想方法。

解法六：取AC的中點，再證該點和E點是同一點即可。此法思維的難度較大，學生可能一時難以理解和掌握，但此法在高中的平面幾何和立體幾何中非常常見，是比較常規的證明點在線上，或者某點是何特殊點的方法，在初中階段，對于有能力的學生，可以適當滲透。

即E為AC的中點。

通過上述的例題我們可以看到，一道非常簡單的幾何題中，蘊含了了非常多的數學思想和方法。如果我們在教學過程中，能從多個角度去剖析這道題的話，不僅能讓學生很好地鞏固和升華已學的知識點和數學思想方法，更重要地是能讓學生理清楚這些方法中的內在聯系，進一步發散自己的幾何思維。同時，從這些多樣化的方法中，學生容易找到滿足感和成就感，從而提升自己學習數學的信心，促進學習數學的興趣，一舉多得。

其實，教材在編排的時候，非常注意這些思想方法的滲透，我們老師對這些經典例題和習題千萬不要淺嘗輒止，也應該像教材一樣潤物細無聲，逐步完成對學生的思想和方法的滲透

我們再來看一下本章習題18.2拓廣探索的第16題。

教材母題2：

如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD與CE相交于點O. BO與OD的長度有什么關系？BC邊上的中線是否一定過點O？為什么？（提示：分別作BO，CO的中點M，N，連接ED，EM，MN，ND.）

分析：本題通過構造中位線，得到四邊形EMND為平行四邊形，利用其對角線互相平分得出第一問的結果：BO=2 OD.而第二問，對于八年級的學生來說，是有一定的難度的，考察的是如何證三線共點的問題。教材其實在前面也以練習的形式，讓學生們證明了三角形的三條角平分線，三條垂直平分線交于一點，這兩條線交于一點的證明難度較小，直接利用角平分線和線段垂直平分線的性質就能解決。而要解決此題，必須要跟學生滲透證明三線共點的兩種最基本的思想方法：1、連接并延長AO，與BC交于點F，說明AF是△ABC的中線;2、取BC的中點F，連接AF，證明AF經過點O。

下面我們從這兩個方面采取不同的方法去解決這道題：（第一問的證明比較簡單，直接應用中位線定理即可，證明過程略過）

以上幾例，蘊含的數學思想方法有些并不簡單，但是我們可以通過不同的切入點，和我們學生已經學過的知識結合起來，通過最基本的方法證明出結論。在這種一題多解中滲透思想方法，讓學生的興趣大增，學生在解題過程中愿意思考，敢于探索，提升了數學素養，培養了多元思維和創新能力。當然，上述枚舉的幾例，是站在老師角度去思考的，對于八年級的學生來講，可能有些還會存在些許難度，特別母題2的面積法，對思維程度稍微差一點的學生來講，會有些混亂，此時，我們老師在課堂上，不能為了只為了單純追求多解泛泛而講，我們應該立足在一題多解的基礎上，追尋解決該問題的本質，找到知識點之間的聯系，從而使學生的知識多樣化和系統化，只有這樣，他們才會在解題的過程中真正達到一題多解，對數學知識達到升華。

參考文獻

[1]人教版八年級數學教師教學用書.

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[3]農秀麗.論高考數學試題解法的一題多解[D].百色學院學報.2011：88-94.

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