拔尖創(chuàng)新工科人才培養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)建模”課程研究

許孟 許春根

摘? ? 要：“數(shù)學(xué)建模”是工科人才培養(yǎng)中一門具有實(shí)踐性質(zhì)的公共必修課程。該課程的教學(xué)目標(biāo)是鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)其探索能力和創(chuàng)新能力。在新的時(shí)代需求下，面對(duì)國(guó)家戰(zhàn)略急需人才培養(yǎng)和提升拔尖創(chuàng)新工科人才培養(yǎng)的目標(biāo)，“數(shù)學(xué)建模”課程需要進(jìn)行專門的針對(duì)性特殊設(shè)計(jì)，以進(jìn)一步發(fā)揮好該課程在人才培養(yǎng)體系中的作用。

關(guān)鍵詞：工科;數(shù)學(xué)建模;拔尖創(chuàng)新;人才培養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G642.3? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1002-4107（2021）06-0031-03

一、引言

工科人才需要堅(jiān)實(shí)的數(shù)理基礎(chǔ)，這是高等教育領(lǐng)域的共識(shí)。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，如何對(duì)工科拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)形成有力的支撐，是一個(gè)值得持續(xù)探索的課題。“數(shù)學(xué)建模”課題組在參與南京理工大學(xué)工科拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的過程中，對(duì)“數(shù)學(xué)建模”課程進(jìn)行有針對(duì)性的設(shè)計(jì)，發(fā)揮其在工科教學(xué)體系中的作用。

南京理工大學(xué)是隸屬于工業(yè)信息部的全國(guó)重點(diǎn)大學(xué)，培養(yǎng)理、工以見長(zhǎng)的專業(yè)技術(shù)人才，在長(zhǎng)期發(fā)展過程中形成了兵器與裝備、電子與信息、化工與材料三大優(yōu)勢(shì)學(xué)科群。課題組此次教育教學(xué)改革的實(shí)施對(duì)象為南京理工大學(xué)錢學(xué)森學(xué)院本科二年級(jí)的學(xué)生。錢學(xué)森學(xué)院是南京理工大學(xué)培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才，深入推進(jìn)教育教學(xué)改革的前沿陣地，是教育實(shí)驗(yàn)性質(zhì)的特色學(xué)院。學(xué)校每年從錄取的新生中遴選出具備創(chuàng)新潛質(zhì)的學(xué)生，分機(jī)械工程、電子信息、材料工程3個(gè)專業(yè)大類編入該院，這3個(gè)專業(yè)大類分別對(duì)應(yīng)學(xué)校8個(gè)工科學(xué)院和1個(gè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室。培養(yǎng)模式上強(qiáng)調(diào)寬口徑，厚基礎(chǔ)，大一與大二主修通識(shí)教育和基礎(chǔ)理論課，大二下學(xué)期確定專業(yè)方向完成分流。

下文為課題組的主要建設(shè)措施和相關(guān)思考。

二、“數(shù)學(xué)建模”課程教學(xué)改革內(nèi)容

錢學(xué)森學(xué)院的“數(shù)學(xué)建模”課程開設(shè)于大二下學(xué)

期，此前，學(xué)生已學(xué)完“數(shù)學(xué)分析”“高等代數(shù)”“概率統(tǒng)計(jì)”等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，具備了一定的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，即將進(jìn)入專業(yè)學(xué)習(xí)的高年級(jí)階段，學(xué)習(xí)方式也由純理論學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向理論與實(shí)踐相結(jié)合。學(xué)生通過對(duì)該課程的學(xué)習(xí)，參加各類數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和實(shí)踐類能力大賽，理解工科結(jié)合數(shù)學(xué)工具的必要性和重要性，為下一階段的專業(yè)學(xué)習(xí)做好充分準(zhǔn)備。

針對(duì)上述情況，課題組對(duì)“數(shù)學(xué)建模”課程作了針對(duì)性設(shè)計(jì)和調(diào)整，分為五個(gè)方面，闡述如下。

（一）用好學(xué)科交叉優(yōu)勢(shì)

錢學(xué)森學(xué)院的學(xué)生主要來自學(xué)校三個(gè)專業(yè)大類，盡管低年級(jí)重在通識(shí)課和基礎(chǔ)課，但這些具備主動(dòng)學(xué)習(xí)能力的學(xué)生在進(jìn)校一年多后，已通過各種途徑了解了自己心儀的專業(yè)，到大二下學(xué)期，學(xué)生大多都明確了專業(yè)目標(biāo)，并且具備了專業(yè)交叉的基礎(chǔ)知識(shí)。三大專業(yè)均隸屬于工科范疇，而加入“數(shù)學(xué)建模”，相當(dāng)于又增加了一個(gè)學(xué)科維度，為學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組隊(duì)時(shí)的學(xué)科融合互補(bǔ)提供了先期的條件。學(xué)生可以和本院或外院其他專業(yè)的同學(xué)組隊(duì)，選擇方式較為靈活。

此外，“數(shù)學(xué)建模”課程的內(nèi)容具有涵蓋面廣的特

點(diǎn)，案例來源于能源、交通、機(jī)械、材料、信息、物流、經(jīng)濟(jì)等行業(yè)領(lǐng)域。考慮到課題組教師來自理學(xué)院，不能對(duì)上述領(lǐng)域有全面的理解，因此，教師備課前要在部分工科學(xué)院實(shí)施調(diào)研，聽取工科教師的意見和建議，了解工科對(duì)數(shù)學(xué)各分支的實(shí)際應(yīng)用情況，授課過程中要增進(jìn)與錢學(xué)森學(xué)院學(xué)生的交流，進(jìn)一步明確學(xué)生角度的需求。

調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在剛進(jìn)入大學(xué)時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)工具對(duì)工科的支撐作用，不一定有明確的認(rèn)識(shí)。而且，基礎(chǔ)教育階段的學(xué)習(xí)模式使他們不能在處理實(shí)際問題時(shí)活用數(shù)學(xué)理論，數(shù)學(xué)工具仿佛成了“屠龍之技”。例如，學(xué)了“數(shù)學(xué)分析”中的微積分知識(shí)，學(xué)生卻不能靈活自如地在優(yōu)化模型中定性分析目標(biāo)函數(shù)的各種性態(tài)，特別是極值問題。再如，工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，制定產(chǎn)品規(guī)格和標(biāo)準(zhǔn)的各項(xiàng)指標(biāo)，可以利用“高等代數(shù)”中有限維線性空間的主成分分析技巧;自動(dòng)機(jī)械化管理中，利用“概率統(tǒng)計(jì)”中隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望研究工序中的相關(guān)變量。“數(shù)學(xué)建模”在授課過程中，必須不斷聯(lián)系前面三門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的知識(shí)，凸顯數(shù)學(xué)與工科實(shí)際應(yīng)用的密切關(guān)系。授課效果表明，從工科需求出發(fā)，而非單純從數(shù)學(xué)專業(yè)角度出發(fā)定位這一課程，才能發(fā)揮好理工結(jié)合的優(yōu)勢(shì)。

（二）遴選授課內(nèi)容

面對(duì)具備自主學(xué)習(xí)能力的學(xué)生，頻繁的“滿堂灌”會(huì)挫傷他們的積極性。因此，教師在授課內(nèi)容上既要做“減法”，也要做“加法”。所謂“減法”，是遴選授課內(nèi)容，體現(xiàn)重點(diǎn)、次重點(diǎn)、難點(diǎn)等;所謂“加法”，是對(duì)遴選內(nèi)容進(jìn)行拓展深入，講深講透，達(dá)到事半功倍之效。

目前我們所采用的“數(shù)學(xué)建模”課程教材內(nèi)容較為豐富，包括數(shù)學(xué)建模概論、初等模型、簡(jiǎn)單優(yōu)化模型、規(guī)劃模型、微分方程模型、代數(shù)方程模型與差分方程模型、離散模型、概率模型、統(tǒng)計(jì)模型以及博弈模型等，這就需要教師在有限的課程時(shí)間內(nèi)合理分配時(shí)間。

“數(shù)學(xué)建模”課程整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，三分之二的時(shí)間用來講授理論，剩余的時(shí)間使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行系統(tǒng)仿真，并輔以專題討論。具體內(nèi)容上，我們把數(shù)學(xué)建模概論和初等模型列為首要的教學(xué)重點(diǎn)，因?yàn)檫@兩部分涵蓋了該門課程基本的思想和必須掌握的初等數(shù)學(xué)建模方法。規(guī)劃模型為重點(diǎn)學(xué)習(xí)，主要涉及運(yùn)籌學(xué)中的優(yōu)化問題，特別是線性規(guī)劃問題的處理。微分模型和離散模型為難點(diǎn)內(nèi)容，因?yàn)閮烧叨纪卣沽宋⒎e分和抽象代數(shù)知識(shí)，深化了數(shù)學(xué)工具的掌握。概率模型為選講，表明了連續(xù)或離散的隨機(jī)因素，擴(kuò)大了應(yīng)用領(lǐng)域。博弈模型與該院學(xué)生專業(yè)學(xué)習(xí)關(guān)系不十分密切，但考慮已就業(yè)學(xué)生反饋的工作崗位情況，就列為學(xué)生自學(xué)、教師輔導(dǎo)的內(nèi)容。

案例選擇上，每類模型介紹2～4個(gè)經(jīng)典案例。經(jīng)過近幾年的實(shí)踐與斟酌，我們最終精講的案例有：“雙層玻璃窗的功效”案例，體現(xiàn)簡(jiǎn)單物理規(guī)律的內(nèi)在機(jī)

理。選擇“不買貴的只買對(duì)的”案例，顯示經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化原理的最大效用模型。選擇“原子彈爆炸的能量估計(jì)”案例，體現(xiàn)量綱分析方法的重要性。選擇“職員晉升”案例，表現(xiàn)層次分析方法進(jìn)行評(píng)估的量化依據(jù)。選擇“核軍備競(jìng)賽”案例，表明圖論分析的重要性。

原則上，在選擇案例時(shí)既要考慮不同模型的差

異，也要注重模型之間的相互關(guān)聯(lián)，把握側(cè)重點(diǎn)，并適當(dāng)進(jìn)行拓展，注意更新案例，并且注重案例的前瞻性。

比如，“傳染病模型”綜合了特定事物的傳播速度、傳播途徑、空間范圍以及動(dòng)力學(xué)機(jī)理等問題。課題組針對(duì)新冠肺炎疫情，設(shè)計(jì)了如下層層推進(jìn)的教學(xué)內(nèi)容：（1）回顧傳染病的簡(jiǎn)單歷史，特別是嚴(yán)重急性呼吸綜合癥（SARS）和埃博拉病毒（Ebola Virus）的傳播。（2）學(xué)習(xí)基本的傳染病模型：易感染者（susceptible）和已感染者（infective）的SI模型、考慮治愈率的SIS模型、考慮康復(fù)者的SIR模型、考慮康復(fù)者再被感染的SIRS模型、考慮具有潛伏期的攜帶者的SEIR模型等，掌握專有的名詞和概念，及其傳染病動(dòng)力學(xué)的微分方程模型。（3）在給定的預(yù)防措施與醫(yī)療水平狀況下，分析各個(gè)模型的差異。（4）以SARS病毒傳播為例，搜集數(shù)據(jù)，應(yīng)用上述不同模型，分析求解，對(duì)照結(jié)論與實(shí)測(cè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，確定模型的合理性和優(yōu)缺點(diǎn)，進(jìn)行敏感性分析，并考慮能否改進(jìn)上述模型。（5）進(jìn)行深度和廣度的延展，考慮當(dāng)前的新冠肺炎疫情，可以分析局部地區(qū)狀況、國(guó)家或全球病毒的擴(kuò)散傳播狀況，嘗試建立合理的模型，進(jìn)行定性和定量分析、數(shù)值模擬，總結(jié)新冠肺炎疫情的發(fā)展階段，嘗試揭示COVID-2019病毒傳播規(guī)律以及預(yù)測(cè)未來變化趨勢(shì)。（6）進(jìn)一步推廣到各領(lǐng)域的擴(kuò)散理論（如信息的擴(kuò)散、創(chuàng)新事物的擴(kuò)散）等。

此外，“數(shù)學(xué)建模”課程也適當(dāng)融入課程思政主題，如講解“火箭發(fā)射升空”案例，要求學(xué)生掌握微分方程近似求解的數(shù)學(xué)技巧，同時(shí)介紹我國(guó)導(dǎo)彈事業(yè)的發(fā)展歷程，老一輩科研工作者的愛國(guó)情懷，幫助學(xué)生樹立專業(yè)報(bào)國(guó)、服務(wù)社會(huì)的人生理想。

（三）推進(jìn)研討式教學(xué)

課題組教師在與該院的學(xué)生交流中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不僅希望具有創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度的學(xué)習(xí)，并且他們已經(jīng)有了明確的學(xué)習(xí)規(guī)劃，甚至對(duì)將來的職業(yè)規(guī)劃也有一定的思考，期待從每一門課程中盡量多受教益，“數(shù)學(xué)建模”課程也不例外，為此，我們應(yīng)重視研討式教學(xué)的推進(jìn)。

不少數(shù)學(xué)類課程由于本身的特點(diǎn)無法展開研討式教學(xué)，“數(shù)學(xué)建模”課程則有進(jìn)行研討式教學(xué)的便利條件，因?yàn)樗c實(shí)際問題密切相關(guān)。

授課中，教師通常首先引入學(xué)生熟悉的知識(shí)，如“萬有引力的發(fā)現(xiàn)”和“鉛球擲遠(yuǎn)”案例，此前的“數(shù)學(xué)分析”中已分析過這些耳熟能詳?shù)奈锢憩F(xiàn)象所體現(xiàn)的微積分思想。“溫故”經(jīng)典理論，讓學(xué)生分組開展討論，教師隨機(jī)參與若干小組的討論。最后，教師對(duì)各組陳述結(jié)論進(jìn)行總結(jié)升華。

其次，學(xué)院每?jī)芍芙Y(jié)合近年數(shù)模競(jìng)賽和工程實(shí)踐，安排一次30～45分鐘時(shí)間的研討會(huì)，比如以“奶制品的生產(chǎn)與銷售”為例的線性規(guī)劃問題專題，“航空公司的超額售票策略”和“博彩中的數(shù)學(xué)”的離散概率問題以及“學(xué)生考試成績(jī)綜合評(píng)價(jià)”的策略問題等。這類研討通常會(huì)引發(fā)學(xué)生激烈的爭(zhēng)論，學(xué)生會(huì)對(duì)模型細(xì)節(jié)的處理提出不同意見，并迅速進(jìn)行簡(jiǎn)單的仿真處理驗(yàn)證模型優(yōu)劣，最終得到一個(gè)優(yōu)化的新模型。教師在旁補(bǔ)充學(xué)生沒有考慮到的相關(guān)因素，提供最簡(jiǎn)捷的數(shù)學(xué)技巧處理路徑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行敏感性分析，評(píng)價(jià)新模型的準(zhǔn)確性和適用性。

就研討硬件環(huán)境保障而言，南京理工大學(xué)理學(xué)院有3個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，給在校師生提供了一個(gè)課程實(shí)驗(yàn)仿真的實(shí)踐平臺(tái)。學(xué)校的“數(shù)學(xué)探密室”創(chuàng)客中心，也為師生之間進(jìn)行小型的探討提供了場(chǎng)所。

鑒于疫情影響，師生無法開展面對(duì)面的討論，但網(wǎng)絡(luò)教學(xué)為在線研討、分組討論和互動(dòng)提供了新的機(jī)遇。教師可鼓勵(lì)學(xué)生積極進(jìn)行課堂和課后研討，培養(yǎng)學(xué)生搜集資料、剖析問題、學(xué)術(shù)探討和觀點(diǎn)表達(dá)等能力，并根據(jù)學(xué)生的反饋，有針對(duì)性地調(diào)整授課內(nèi)容，鞏固薄弱環(huán)節(jié)。有共同興趣的學(xué)生建立討論群組，提交小組報(bào)告，納入過程性考核，使研討式教學(xué)真正落到實(shí)處，也為后面的正式組隊(duì)做好先期準(zhǔn)備。

（四）引入數(shù)學(xué)軟件

“數(shù)學(xué)建模”課程的另一個(gè)教學(xué)目標(biāo)是熟悉和使用數(shù)學(xué)軟件。數(shù)學(xué)軟件提供強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算和數(shù)據(jù)處理功能，從簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算、微積分函數(shù)繪圖、數(shù)組求和、矩陣運(yùn)算等簡(jiǎn)單操作，到調(diào)用特殊的函數(shù)或軟件包，處理差分方程問題、線性規(guī)劃問題、圖像處理問題等，并能以圖形展示結(jié)果。數(shù)學(xué)軟件的使用，讓學(xué)生既多掌握一項(xiàng)技能，又能提高他們的學(xué)習(xí)興趣。

課題組要求學(xué)生通過課堂學(xué)習(xí)和課后練習(xí)，至少掌握數(shù)學(xué)軟件Mathematica， Matlab， Lingo和 Python中的任意兩種軟件。比如調(diào)用數(shù)學(xué)軟件中的數(shù)據(jù)擬合函數(shù)、回歸函數(shù)、主成分分析函數(shù)等，節(jié)省學(xué)生計(jì)算時(shí)間，達(dá)到事半功倍的效果。課題組發(fā)現(xiàn)，其他數(shù)學(xué)課程也有類似實(shí)踐，數(shù)學(xué)軟件Matlab可以與“線性代數(shù)”應(yīng)用深度融合，提高了講授效率[1]。

近年來，隨著大數(shù)據(jù)的發(fā)展，研究結(jié)果的可視化呈現(xiàn)率大大增加，數(shù)學(xué)建模比賽中部分題目涉及的數(shù)據(jù)處理量也在增大。因此，增加可視化軟件的講授就成為“數(shù)學(xué)建模”課程的新趨勢(shì)。比如此次新冠肺炎疫情報(bào)道中數(shù)據(jù)可視化的應(yīng)用[2-3]，讓普通讀者一目了然地看到數(shù)據(jù)的演變。目前我們也在嘗試調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，推廣數(shù)據(jù)可視化軟件的應(yīng)用和普及，如Tableau、Power BI、R-ggplot2等。

（五）鼓勵(lì)學(xué)生參賽實(shí)踐

錢學(xué)森學(xué)院的學(xué)生具有好奇心和接受能力強(qiáng)的特點(diǎn)。他們大一入校后，就通過新生手冊(cè)、學(xué)院配備的導(dǎo)師、學(xué)生數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)、各類競(jìng)賽名錄等途徑，了解到了各類數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，并積極地報(bào)名參加校內(nèi)選拔賽。對(duì)比賽有了初步認(rèn)識(shí)后，通過搜集閱讀往年獲獎(jiǎng)的優(yōu)秀論文，獲知可以通過“數(shù)學(xué)建模”課程高效而系統(tǒng)地獲得建模本領(lǐng)，在授課之前就會(huì)找到課題組教師指導(dǎo)參加建模比賽。

此外，課題組中的相關(guān)教師分任“數(shù)學(xué)分析”“高等代數(shù)”“概率統(tǒng)計(jì)”等課程，也在課堂上注意宣傳介紹、鼓勵(lì)學(xué)生參加各類數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，如全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽、美國(guó)國(guó)際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、數(shù)據(jù)挖掘大賽等。讓學(xué)生了解參賽不僅可以為個(gè)人履歷增加亮點(diǎn)，更能獲得能力提升。

經(jīng)過上述這些引導(dǎo)式熱身，在開課前，學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建模”課程已經(jīng)有了較為清晰的認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)目標(biāo)也比較明確，并知道該門課程直接對(duì)接建模比賽，在學(xué)習(xí)精力分配上也有自己的側(cè)重點(diǎn)。目前，錢學(xué)森學(xué)院學(xué)生參賽人數(shù)逐年增加，參賽范圍不斷擴(kuò)大，獲獎(jiǎng)人數(shù)持續(xù)增加。這一良好態(tài)勢(shì)得益于整個(gè)課題組團(tuán)隊(duì)教師的合作與努力。

三、結(jié)語(yǔ)

2019年至2021年，教育部將分三年全面實(shí)施“六卓越一拔尖”計(jì)劃2.0，新工科為重點(diǎn)建設(shè)對(duì)象之一，事關(guān)戰(zhàn)略急需人才培養(yǎng)，國(guó)家硬實(shí)力提升。最新的“強(qiáng)基計(jì)劃”精神[4]，也強(qiáng)調(diào)了從本科階段就開始引導(dǎo)學(xué)生參與小型科研項(xiàng)目研究，數(shù)學(xué)建模本就屬于這一范疇。在新的時(shí)代要求下，“數(shù)學(xué)建模”課程應(yīng)將堅(jiān)實(shí)的理論與

鮮活的實(shí)例結(jié)合，在新工科拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)中繼續(xù)發(fā)揮好應(yīng)有的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊威，高淑萍，陳懷琛.慕課背景下MATLAB與線性代數(shù)應(yīng)用的融合[J].高等數(shù)學(xué)研究，2019（3）.

[2]劉婷，劉穎旭，翟暢.數(shù)據(jù)可視化在疫情報(bào)道中的應(yīng)用[J].中國(guó)傳媒科技，2020（3）.

[3]李宏.基于民眾視閾下的疫情數(shù)據(jù)可視化設(shè)計(jì)路徑研究[J].包裝工程，2020（10）.

[4]教育部.關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見[EB/OL].（2020-01-14）[2020-08-06].http：//? ? ?www.moe.gov.cn/srcsite/A15/moe_776/s3258/202001/t20200115_415589.html.