“模型化+類比思想”在中職數學概率教學融合的探索

李加強

一、中職數學概率內容的教材分析及教學現狀

根據《中等職業學校數學課程標準（2020年版）》的教學指示，數學教學要緊密聯系生活實際，教師在課堂上可創設適當的情境，幫助學生感知隨機事件的真實存在，了解隨機事件及概率的意義，認識古典概型與互斥事件的特征。筆者基于課程標準的教育理念，對中職數學（基礎模塊）下冊教材進行分析，發現課本是通過擲骰子的試驗，引入事件可能發生的六種結果，進而定義各種不同的事件，并探究不同事件之間的關系及運算，最后得出概率的基本性質。

然而，根據筆者了解的中職數學概率教學的現狀，很多教師在實際的課堂教學中并沒有按照教材的展開方式與學生進行骰子試驗，也不能有效地運用骰子試驗結果，通過類比集合的思想，幫助學生建立概率的知識架構。即使有些學生基本掌握了概率的運算和公式，但對于概率的基本性質、運算的原理及公式的運用程度卻很低。而且大部分的學生只是停留在簡單的概率數字運算上，很難把握概率性質及原理的運用范圍，且不能很好地運用概率統計思維解決實際問題。

因此，筆者認為概率教學若是對著教材“照本宣科”肯定不能達到良好的教學效果，而要對教材的概率性質和類比集合的思想進行研究和分析，深究其來源和規律，敢于在教學方式上作適當的創新和改變，采用恰當的數學概率模型，開展實踐和情景的課堂教學。故筆者運用了“構造概率模型+類比集合”的教學方法，旨在激發學生的學習興趣，引導他們從類比集合之間的關系與運算中理解概率的關系與運算，逐步掌握概率的教學內容，進而培養他們的數學運算、直觀想象和邏輯推理等核心素養。

二、利用“模型化教學法”改進課堂教學

（一）教學設計理念

新課標指出：“數學教學過程應注重對基本概念和數學思想的理解和掌握，對于核心的概念、基本原理及思想要貫穿教學始終，幫助學生逐步加深理解。”因此，在引入概率的基本性質前，筆者首先會通過列舉生活中學生熟悉的例子，幫助他們在認知體系中構建隨機現象、隨機思想及隨機事件的相關概念;再進一步創設恰當的數學模型問題，從模型的結果事件類比集合的關系及運算，建立事件與集合之間一一對應的關系，并結合相應的集合維恩圖來幫助學生理解隨機事件的包含關系以及相等事件、并事件、交事件、互斥事件和對立事件的概念，最終歸納出概率的基本性質及運算方法。

（二）創設生活情境，引入隨機思想

師：在客觀世界中，人類所觀察到的現象可以分為兩類：一類是有確定性的結果，即一定條件下，事先就能判斷其結果發生或不發生。例如：A.夏天過去，秋天來到。B.太陽從西邊升起。同學們能判斷上述結果是否會發生嗎？

生：上述現象A是必定會發生的，而現象B是必定不會發生的。

師：回答正確，故我們可以稱A為必然事件，B為不可能事件，而它們統稱為確定性事件。但有另一類事件，在給定的條件下其結果事先是無法確定的，例如：擲一枚均勻的硬幣于桌面上，哪一面朝上;某人所購彩票中獎與否……由于這些事件發生結果的不確定性，我們就稱這類事件為隨機事件。

（三）隨機取數模型

例：從數字1，2，3，4中任意取出1個數。

在這個取數模型中，可能得到4種不確定的結果，每種結果可看作一個隨機事件，我們用集合形式定義這些事件：

A₁={取到數字1}，

A₂={取到數字2}，

A₃={取到數字3}，

A₄={取到數字4}，

師：在這個取數模型中，還能用集合形式定義其他事件嗎？

引導學生得到類似如下事件：

A₅={取到數字小于2}，

A₆={取到數字為奇數}，

A₇={取到數字為偶數}，

A₈={取到數字小于5}，

A₉={取到數字小于1}，

A₁₀={取到數字小于3}，

師：上述事件中有哪些是必然事件？哪些是隨機事件？哪些是不可能事件？

生：事件A₈為必然事件，事件A₉為不可能事件，其他事件均為隨機事件。

師：對的。特別地，對類似于A₉的不可能事件，可以用空集表示。

（四）取數模型與類比集合的融合，探究事件之間的關系和概念

（五）建立集合與事件的概率對應關系，歸納出概率的基本性質

1.事件的頻率與概率的區別與聯系。在取數模型中，不能預先判斷某個隨機事件發生的可能性大小，但通過重復大量的取數模型試驗并分析結果，會發現某個事件發生的頻率呈現穩定的規律，由此可以通過頻率來估計事件發生的可能性大小。由于事件的頻數總是小于或等于試驗的次數，即頻率在0～1之間，從而任何事件的概率都在0～1之間，故對于任何事件的概率的范圍是：0≤P（A）≤1。

在每次實驗中，必然事件一定發生，因此它的頻率是1，從而必然事件的概率為1，例如在取數模型的試驗中，可以取到最大數字為4<5，因此P（A₈）=1。而在每次實驗中，不可能事件一定不發生，因此它的頻率是0，從而不可能事件的概率為0，例如在取數模型的試驗中，P（A₉）=0。

2.概率事件之間的運算。當事件A與事件B互斥時，A∪B的頻率Fn（AUB）=fn（A）+fn（B），由此得到互斥事件中概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B）。例如在取數模型中，在一次試驗時，事件A₁與事件A₂不會同時發生，因此A₁∪A₂發生的頻數等于A₁發生的頻數與A₂發生的頻數之和，故P（A₁∪A₂）=P（A₁）+P（A₂）。

特別地，當事件A與事件B是對立事件時，因為A∪B為必然事件，A∩B為不可能事件，故概率P（A∪B）=1，得到對立事件的運算規律P（A）=1-P（B）。例如在取數模型的試驗中，A₆與A₇互為對立事件，因此P（A₆）=1-P（A₇）。

3.集合與事件的運算對應關系表：

（六）利用上述概率的性質，合作探究轉盤游戲模型

制作一個簡易的圓形轉盤，轉盤平均分為八個扇形區域，分別填充了紅綠兩種顏色（如右圖所示），讓學生上臺隨意轉動轉盤，使指針落在某個扇形區域，組織學生思考討論以下問題。

（1）指針落在紅色區域（事件A）的概率是多少？

（2）指針落在綠色區域（事件B）的概率是多少？

第（1）小題，學生經探索，易知此轉盤模型事件A發生的概率為“指針分別落在四個紅色扇形區域”的四個互斥事件的概率和;第（2）小題可以利用事件A和事件B為對立事件關系，它們的概率和為1解得。

三、總結與反思

“構建多樣課程，在數學知識學習和數學能力培養的過程中，使學生逐步提高數學運算、直觀想象、邏輯推理、數學抽象等數學學科核心素養，初步學會用數學眼光觀察世界、用數學思維分析世界、用數學語言表達世界”是中等職業學校數學的課程目標。中職學生的數學學習方式不應只限于接受、記憶、模仿和練習，因此筆者從現實生活和具體情境中探索數學概率問題，并創設形象的概率模型，讓學生在發展隨機觀念、認識概率的同時，培養他們的創新思維。通過師生一起探討取數模型、轉盤游戲兩個數學活動，不僅能調動學生的課堂積極性，而且有助于培養他們的學習興趣和數學概率應用意識。并在符合學生的認知發展規律下，運用構造模型和類比集合的融合教學方法，能讓學生自然而然地體驗到概率事件之間關系的發現和探索的歷程。最后結合相應的集合維恩圖讓學生不斷經歷直觀感知、觀察發現、類比與建構等思維過程，從而改善中職數學概率內容的教學效果。