挖知識源流，助文化互融

劉樹霞 鄭玲玲

【摘? ?要】基于數學史的數學文化的教學絕非易事。以“三角形的面積”為例，說明基于數學史的數學文化的教學，應以數學史的梳理為基礎，以數學史文化內涵的挖掘和教學應用為重點，以教學目標的達成為指向。這樣才能更好地體現數學史在數學教學中的科學價值、應用價值、審美價值、文化價值。

【關鍵詞】數學史;數學文化;知識源流;文化互融

一、引言

對數學文化的關注肇始于數學界對數學與文化關系的討論，數學文化進入數學教育領域引發了“數學文化熱”思潮，進而促進了數學學科自身的科學價值與人文價值的融合，對中國數學教育教學改革具有重要的啟蒙意義。[1]目前，很多教師借助基于數學史的數學文化進行教學，以期讓學生感受數學的科學價值、應用價值、審美價值和文化價值。但基于數學史的數學文化的教學絕非易事，因為這不僅要關注數學發展的歷史，更要符合學生的認知基礎和認知規律[2]，同時教材的內容編排并未重視歷史脈絡的顯性呈現或隱性滲透。筆者以“三角形的面積”為例，介紹基于數學史的數學文化教學實踐。

二、歷史材料及其運用

三角形的面積計算公式，自古埃及開始經歷了漫長的發展和演變過程，表1呈現了不同時空中與三角形面積計算有關的歷史素材。

在小學教材里，三角形面積公式的推導方法主要包括倍拼法和割補法，國內的教材大部分以倍拼法為主，但是在轉化方法的地位上看，這兩種方法并沒有主次之分。[3]以歐氏幾何為代表的演繹幾何體系符合學生的認知基礎和發展規律（我國的教材編排深受這種傳統思想的影響，進而影響到學生的思維方式），但從學生的長遠發展與文化的角度看，將割補法放到與倍拼法同等的位置，甚至更高的位置是必要的。一方面，相比于倍拼法，割補法的應用更為廣泛，初高中有大量的相關課題;另一方面，割補法背后的出入相補思想是中國古代數學的重要原理，將其融入教學有助于學生感受中國的數學傳統、文化傳統。

因此，在“三角形的面積”教學中，我們重視學生對割補法的探究，試圖將史料中劉徽的方法、歐幾里得的結論以及面積的起源融入教學，其他方法作為“意外驚喜”，以期從“知識源流”（指某個知識點的歷史演進過程中所涉及的人物與事件、概念與術語、問題與求解、命題與證明等）、“學科聯系”（指數學與其他學科之間的關聯）、“社會角色”（指數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義）、“審美娛樂”（指數學美，包括對稱美、奇異美、簡潔美、統一美等，以及趣味數學）、“多元文化”（指不同文明、不同地域的數學家在同一數學課題上的貢獻與意義，以及與數學相關的人文活動）[4]這五個維度體現數學的科學價值、應用價值、審美價值、文化價值。

三、教學設計與實施

（一）追根溯源，直擊問題

師：有句話說得好，足不出戶就可以觀世界。今天，我們就穿越時光來到古老的埃及。在這里，人們靠著尼羅河沖刷出的土地種植莊稼。但尼羅河的河水年年都會泛濫，所以每年人們都面臨同樣的問題——重新丈量土地、進行公平劃分，因此，古埃及的人們開始了對面積的研究。現在就有這樣兩塊土地（如圖1），它們的面積分別是多少？要想知道它們的面積，需要測量什么？

平行四邊形的面積計算學生已知，學生猜測要計算三角形的面積需要測量底和高或三邊的長度。

師：計算三角形的面積到底應該測量什么？又該如何計算呢？這節課我們就一起來研究。

（二）自主探究，構建模型

1.探究直角三角形的面積

師生一起回憶平行四邊形面積的推導方法后，教師開始引導學生經歷以下思考。

師：研究三角形的面積可不可以也借助轉化思想呢？該怎樣轉化？轉化成什么圖形？先想一想，三角形按角分，可以分成什么？

生：直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。

師：你們打算先研究哪種三角形的面積？

生：直角三角形，因為它有直角，更容易轉化成長方形。

師：你們的想法和古代數學家的竟然不謀而合，很多數學家也是從直角三角形入手研究的……這就是數學研究中常用的方法，從特殊到一般。下面我們就先研究直角三角形的面積。

課件出示探究要求，學生探究后匯報交流，表2呈現了學生探究出的方法以及學生在教師引導下進行方法對比的成果。

2.探究一般三角形的面積

引導學生借助直角三角形面積的研究經驗，探究銳角三角形和鈍角三角形的面積公式。

學生分別用割補法和倍拼法求出銳角三角形和鈍角三角形的面積計算公式，發現公式也是底×高÷2。

師：剛才我們用了割補法和倍拼法研究出了銳角和鈍角三角形的面積公式，除此之外，還有其他方法嗎？大家請看這種方法（出示圖2），我們可將銳角三角形或鈍角三角形轉化為直角三角形來進行計算。

……

師：通過以上研究，我們得出直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的面積公式都是底×高÷2，所以，我們就可以說任意一個三角形的面積計算公式都是底×高÷2。如果用S表示三角形面積，a表示底，h表示高，面積公式如何用字母表示？（生答）

3.古今方法貫通

師：三角形的面積公式已經研究出來了，我們帶著這個公式重新回到古埃及來解決土地問題，現在知道計算三角形的面積需要測量什么了嗎？

生：底和高。

師（指圖1）：當我們解決了三角形面積計算的問題后，再來觀察這里的三角形和平行四邊形，你發現了什么？

生：三角形和平行四邊形的底和高一樣長。

生：三角形的面積是平行四邊形面積的一半。

師：你們不僅會推理更會觀察。在2300多年前，古希臘偉大的數學家歐幾里得也有與大家相似的結論“三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的一半”。西方的歐幾里得被譽為“幾何之父”，中國有一位被稱為“中國的歐幾里得”的數學家，知道是誰嗎？他就是我國偉大的數學家劉徽。他在數學名著《九章算術注》中記載了三角形面積的計算方法，大家看（師出示圖3），這種方法我們稱為割補法，它是用了哪種方式呢？

生：半高。

師：古代把底叫作廣，把高叫作正從，那這個半高也就是半正從，劉徽推導出的三角形面積公式是什么呢？

生：正從÷2×廣。

師：正從÷2也就是半正從。公式還可以寫成：半正從×廣。同樣的道理，他還用半底法得出了公式：正從×半廣，在這個方法里劉徽將多的部分稱為盈或者出，而補充的部分叫作虛或者入，所以這個方法也叫作“以盈補虛法”或者“出入相補法”。其實“以盈補虛法”或者“出入相補法”的原理就是我們今天用到的轉化思想。

4.拓展提升，余味課外

師：計算三角形的面積需要知道什么？

生：底和高。

師：必須知道底和高嗎？

生：必須。

（教師介紹海倫—秦九韶的方法，如圖4）

師：計算三角形的面積必須知道底和高嗎？

生：不是必須的。

師：對，同學們，條條道路通羅馬，解決問題的方法也不止一種，有時候我們換種角度可能會有不一樣的發現。這就是研究和思考帶給我們的成長。

四、結語

基于數學史的數學文化教學，以數學史的梳理為基礎，以數學史文化內涵的挖掘和教學應用為重點。與“三角形的面積”相關的史料豐富，涉及古埃及、古希臘、古代中國的數學成就。這些數學史料涵蓋了“知識源流”——比較清楚地記述了三角形面積的認知歷史;“社會角色”——反映了數學的使用價值，數學起源于農業生產，被用于土地的分配;“審美娛樂”——盡管三角形的面積推導有兩種方法，但背后的數學思想都是轉化，體現了數學的統一美;“多元文化”——雖然三角形的面積推導都應用了轉化思想，但以古希臘為代表的西方數學和以古代中國為代表的東方數學在面積推導過程中表現出了不同的特點，展示了不同的文化特征。

在教學應用中，我們基于對數學文化特征的深度挖掘，結合學生的認知發展規律，進而重構了知識的發生發展過程。以幾何學的起源為開端，順應式地融入了古希臘等底等高的三角形與平行四邊形面積關系的命題;借助“由特殊到一般”的研究策略，從直角三角形的面積探究到銳角、鈍角三角形面積的探究，較為自然地探究出了割補的方法、倍拼的方法，特別是探究出了將三角形割補為平行四邊形的方法;在古今對照中，了解了古人的方法，增強了數學學習的自信心，拓展了知識面，原來也可由三邊長度得到三角形的面積。

基于數學史的數學文化教學要以教學目標的達成為指向。學生在三角形面積計算的發展歷程中感受到了知識之諧;在面積推導的過程中，探究出了多種方法，體驗了探究之樂，感受了方法之美;掌握了面積推導的多種方法，發展了幾何直觀能力、邏輯推理能力等關鍵能力;在古今中外方法的對比中，認識到了數學是不同國家、不同民族共同創造的結果;在問題引領、合作探究的過程中，激發了好奇心與求知欲，提升了自信心。

奧地利物理學家、哲學家恩斯特·馬赫（Ernst Mach，1838—1916）曾說過：沒有任何科學教育可以不重視科學的歷史與哲學。哲學家培根說，讀史使人明智。數學史不只是人物和事件串聯成的故事，更是這些故事背后的數學問題、數學思想、數學方法和精神。基于數學史的數學文化教學讓我們體會到了歷史與現實、數學與人文的溝通，學生在課堂中穿越時空，了解古今中外數學家的思想方法，樹立了文化自信和理論自信。

參考文獻：

[1]徐乃楠，劉鵬飛.數學文化熱：歷史、意義與反思[J].自然辯證法通訊，2020（8）.

[2]汪曉勤.HPM視角下的小學數學教學[J].小學數學教師，2017（7/8）.

[3]宋煜陽.基于學情，讓探索真正發生：“三角形的面積”教學思考與實踐[J].教學月刊·小學版（數學），2018（5）.

[4]余慶純，汪曉勤.基于數學史的數學文化內涵實證研究[J].數學教育學報，2020，29（3）.

（山東省臨沂樸園小學? ?276000）