數形結合在小學數學計算教學中的應用

劉福英

【摘要】數學基本思想是《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的“四基”之一，數形結合是數學思想中重要的思想方法。它可以把抽象的知識具體化，讓數學知識的呈現更符合學生的年齡特征。在小學計算教學中利用數形結合的思想方法，可以讓運算的意義、算理、算法更直觀、更形象。

【關鍵詞】計算教學;數形結合;以形解數;以形說理;以形助數

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了“四基”的學習目標，數學基本思想也是其中一項。在小學數學教學中比較常見的數學思想有：數形結合思想、轉化思想、統計思想和模型思想等。其中，數形結合既是一種數學思想，也是一種解決問題的方法，在小學數學教學中的應用比較廣泛，尤其對于教師在計算教學中遇到的“部分學生對運算意義理解不深、對算理似懂非懂，面對同一類題型，時而會算，時而不會算”等情況，提供了一個很好的解決問題的辦法。下面筆者就如何在小學數學計算教學中滲透數形結合思想談談個人的做法。

一、以形解數，促進學生對乘法分配律意義的理解

“以形解數”，是指通過直觀具體的圖形來解析情境中“數”的意義，是一種讓知識更貼合學生的認知水平，同時又更有利于促進學生對知識的理解的教學方法。在小學數學計算教學中，運算律的運用貫穿于整個小學階段始終，為整數、小數、分數的運算帶來了極大的方便。小學階段中的運算律主要有加法交換律及結合律、乘法交換律、結合律及分配律。而在這些運算律當中，學生最難掌握的則是乘法分配律，究其原因主要有兩個：一是乘法分配律比較抽象，教師在教學這部分內容時，只是簡單地把它當成計算課來教，沒有讓學生深入理解乘法分配律的意義，致使學生對乘法分配律的理解只是停留在運算方法的模仿上，而不知它的由來;二是乘法分配律的題型變化比較復雜，應用極其廣泛，學生不能靈活運用。鑒于此，教師在教學這部分內容時，應當基于學生已有的知識水平，通過數形結合的方式，把抽象的運算意義具體化，讓學生深入理解乘法分配律的意義，切實掌握乘法分配律。

例如，北師大版四年級上冊第四單元《運算律》中，對于乘法分配律這部分內容，教材是這樣編排的（如圖1）：通過用不同的計算方法計算廚房里貼了多少塊瓷磚，讓學生感受3×10+5×10=（3+5）×10，4×8+6×8=（4+6）×8。在該課的教學中，教師應借助教材上的主題圖來引導學生分別理解等式兩邊算式的意義，如：3×10+5×10是從顏色上觀察，3×10表示3個10，也就是白色瓷磚的數量;5×10意為5個10，表示藍色瓷磚的數量;白色瓷磚的數量和藍色瓷磚的數量合起來就是8個十（如圖2）。接著，教師可引導學生繼續理解：（3+5）×10表示3行白色與5行藍色合起來是8行，因為每行是10塊瓷磚，所以白色瓷磚和藍色瓷磚的總量也是8個十。然后，教師再追問，為什么等式的左右兩邊會相等呢？在此，除了讓學生從計算結果說明原因，更重要的是引導他們從意義上理解——因為等式的左右兩邊都表示8個十，所以是相等的。若從瓷磚的位置觀察，4×8+6×8=（4+6）×8也是同理。

教學中，通過“以形解數”的方法，讓學生深入地理解乘法分配律的意義，它不僅僅是表面上兩個算式的得數相同，其本質是指兩個算式之間的涵義相同。這樣，在之后進行的變式練習，如：125×99，125×101，125×99+125，125×101-125等諸如此類的練習中，學生就能夠從理解運算意義的角度來思考，靈活運用乘法分配律進行計算，從而避免了學生對運算律方法生搬硬套的情況。

二、以形說理，促進學生對運算算理的理解

“以形說理”是指借助圖形闡明算理，即闡明運算的道理。算理是算法的基礎，也是學生計算的依據。學生只有充分理解了算理，才能靈活運用算法，在計算時做到“知其然并知其所以然”。但運算算理對于以具體形象思維為主的小學生來說往往也是比較抽象的，其實這也是學生理解的難點所在。要解決這一矛盾，教師就必須根據學生的年齡特征，化抽象為具體，用生動形象的圖形解釋算理，引導學生在計算時理解每一步計算的緣由。

例如，在三年級上冊學生第一次接觸“筆算兩位數乘一位數”時，教材以《螞蟻做操》為例，抽象出數學問題12×4=？，這是學生第一次學習用豎式計算乘法，與之前學過的加減法豎式計算不同的是，乘法豎式計算并不是把相同數位的數相乘，而是要用一位數分別去乘另一個乘數的每一位，再把所得的積相加，這是學生計算認識上的一次飛躍。對于學生來說，要掌握豎式計算的方法，最重要的是要理解豎式乘法運算中每一步的具體含義，這也是本節課的難點。根據三年級學生的年齡特點，我們可以采用直觀模型——“點子圖”來幫助學生理解算理，如，根據乘數12的個位和十位，把點子圖分成2行與10行（如下圖中）。先算2×4得到8個點子（如下圖左），再用4×10，得到40個點子（如下圖左），然后把兩部分的積合起來，從而得到12×4的積是48。這是“兩位數乘一位數”的乘法豎式計算的算理。在此基礎上，我們可再引導學生理解豎式的簡寫形式，即先用4乘2得到8個點子，表示8個一（如下圖右），8應寫在個位;再用4×10，得到40個點子（如下圖右），表示4個十，4應該寫在十位，從而得到12×4的積是48。

通過這種“以形說理”的方法，將點子圖與豎式計算完美結合，學生就能充分理解兩位數乘一位數的運算算理，即在用豎式計算乘法時，不能把相同數位的數相乘，而是要用一位數分別去乘另一個乘數的每一位。在教學過程中，教師也可以引導學生多用點子圖來解釋豎式的意義，以達到讓每個學生真正理解乘法豎式的計算算理的目的。

三、以形助數，促進學生對算法的遷移

“以形助數”是指通過用圖形表示數，幫助學生掌握計算方法的數學方法。在四則運算的計算方法方面，整數加法、減法、乘法的計算，都是先從個位算起，唯獨除法的計算與眾不同——它是從高位算起。小學階段整數除法的學習分為三個階段：第一階段是表內除法的運算，第二階段是除數是一位數的口算和筆算，第三階段是三位數除以兩位數的筆算。其中，第二階段的學習至關重要，因為它的計算方法可讓學生遷移至第三階段的學習當中。北師大版教材把第二階段的學習內容安排在三年級下冊，教材設計了兩個梯度的學習：一是被除數的首位剛好是除數的整數倍，二是被除數的首位不是除數的整數倍。對于被除數首位剛好整除的情況，學生的理解難度不大，難點在于被除數首位不是除數的整數倍時，十位上剩余的數該怎么去處理。因為這種情況比較抽象，學生理解起來還是有一定的難度，所以，教師在教學這部分內容時，應借助小棒進行直觀操作，幫助學生經歷探索計算方法的過程。

如，在教學《分橘子》一課時，教材利用48÷3=？來研究兩位數除以一位數（首位有余數）的計算方法。教學時，教師可讓學生用48根小棒代替48個橘子分一分。學生在分的過程中就會發現，這次分小棒與之前是不同的——十位和個位的小棒數，如果單獨分的話都不能剛好分完，所以，在分小棒時要思考先分哪部分再分哪部分。學生按照以往的學習經驗，可能會先分個位，再分十位，當發現這樣分都會有剩余時，學生會把這兩部分剩余的合起來再分。雖然這種分小棒的方法可以得到正確的得數，但是過程比較復雜。隨后，教師可再引導學生探究更好的分小棒的方法——可以先分十位，把十位剩下的1捆與個位的小棒合起來再分，這種分小棒的方法只需兩步就可以完成。在此基礎上，教師再鼓勵學生用豎式記錄剛剛分小棒的過程（如下圖），從而理解計算方法。

通過“以形助數”的方法，學生不僅能明白除法計算必須要先從高位算起的原因，而且能深入理解除法豎式計算每一步的意義，從而掌握計算方法，為學生的算法遷移奠定扎實的基礎。

華羅庚在他撰寫的《談談與蜂房結構有關數學問題》中提到“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數無形時少直覺，形少數時難少微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”這段話深刻地揭示了“數”與“形”之間密不可分的關系。在小學數學計算教學中，我們通過把“數”與“形”相結合，將抽象的運算意義、算理及算法具體化、直觀化，將邏輯思維與形象思維統一起來，讓知識的呈現方式更符合學生的年齡特征和認知水平，這樣學生就能獲得問題解決的方法，從而進一步促進學生數學學習能力的提高。

參考文獻：

[1]吳正憲，劉勁苓，劉克臣.小學數學教學基本概念解讀[M].教育科學出版社，2014：50-54.

[2]付瑤.小學數學教學中滲透轉化思想例談[J].小學數學教育，2019（1-2）：43-45.

責任編輯 ?羅良英