以任務驅動促進合作學習的教學實踐與思考

羅曉玲 羅利偉

【摘 要】高質量、層層遞進的問題探究，能提高學生的學習興趣，激發學生合作學習的內在機制，并能使他們在參與學習的活動中得到愉悅的情感體驗。文章通過“直線和圓的位置關系”教學設計，以問題為驅動，在學生自主學習的基礎上，促進學生合作學習內在機制的有效發揮，充分激發學生獲取知識的愿望。

【關鍵詞】問題驅動;合作學習;內在機制;教學設計

【作者簡介】羅曉玲，正高級教師，全國優秀教師，首批春城計劃高層次人才教學名師，昆明市名師工作室主持人;羅利偉，云南省安寧中學高中數學教師。

【基金項目】昆明市“十三五”規劃課題“高中數學合作學習內在機制的實踐研究”（ZY18041） 《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，教學要把重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利于促進學生學習的多樣化教學方式，引導學生自主學習、獨立思考、動手實踐、自主探究、合作交流等。在合作性的課堂教學中，師生、生生之間的交互活動是多邊進行的，學生有更多的機會發表自己的看法，學習環境更為寬松，自主發揮的空間更為廣闊;而通過高質量、層層遞進的問題探究，能提高學生的學習興趣，激發學生合作學習的內在機制，促使他們在參與學習的活動中得到愉悅的情感體驗。筆者以“直線和圓的位置關系”高三復習課教學為例，通過以問題為驅動，促進學生合作學習內在機制的有效發揮，充分激發學生的學習動機。

一、教前思考

（一）教學疑難點的思考

本節課的內容為高三復習課，直線和圓是解析幾何的基礎，它對學生直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養要求較高。作為復習課，教學的重點應放在對直線和圓的位置關系的運用上，尤其需要關注以下問題：代數法對二次曲線具有普適性，那為什么要選擇幾何法來處理？應注意哪些問題？在動態過程中需準確把握幾何關系，其轉化條件是什么？如何聯系相關知識解決問題？等等。

（二）教學環節的思考

首先，傳統課堂教學大多以教師為中心，主要通過教師講授達到教學目標，這在復習課的教學中尤為突出。在教學中，學生的“學”緊緊跟隨著教師的“教”，“教什么”和“怎么教”是根據經驗預設的，教師往往一講到底，不注重課堂的生成。顯然，這樣的課堂不僅缺乏靈動性，而且缺乏學生的合作交流和深度思考，不利于學生的自主能力、創新能力的培養。其次，在傳統的復習課中，雖然有的教師也會在其中加入合作學習的環節，但往往受限于教學任務量和時間，難以充分進行合作學習，基本上是流于形式。鑒于此，本節教學內容采取大單元的形式實施教學，對教學環節進行調整，將2課時的教學內容以大單元內容為線索，大體分為3個環節：課前（自主學習）→第1課時（合作學習）→第2課時（交流展示、精講提升），教學設計圖如圖1所示。調整后的教學設計能夠讓不同層次的學生都參與到學習活動中，通過知識的連續性和層次遞進，不斷激發學生的合作意識，提升學生的合作技能。

（三）教學內容的思考

該教學內容是解析幾何的基礎，但它對數形結合、運算、綜合能力的要求較高。為了讓學生從基礎入手，由低階思維向高階思維過渡，本單元基于“一題一課”為教學設計線索，以典例作為題根，立足基礎，同時又能引出基本知識——圓的三種位置關系及判斷方法。教師通過變式設計，讓學生不斷挑戰高階思維，為學生創造合作學習的機會，把直線從y=x+m變為y=kx+1，即從平移變為旋轉;在圓x2+y2=4不變的情況下，分別探究位置關系、弦長等問題，營造一源多枝的生生不息的生態課堂。因此，本教學內容從基本知識和方法出發，逐步引申拓展，從簡單的定性分析、定量計算到變式探究、分類討論，再到綜合探究、解決動態問題、滲入函數思想（如圖2）。

（四）學生活動的思考

本教學設計將教學內容和學習任務進行分解，便于學生充分自主探究，合作學習，展示交流。課前，教師首先讓學生自主學習。第1課時，教師組織學生小組合作學習;第2課時，學生交流展示和教師精講提升。學生從自主學習到小組交流合作，再到小組交流展示，最后到教師精講歸納，整個過程充分體現了學生的主體地位。學生活動設計如下。

學生活動一：自主練習。自主完成知識性和基礎性的練習，并通過逐漸深入的變式題組，使一題多用，多題重組，給人以新鮮感，能夠喚起學生的好奇心和求知欲，激發學生合作學習的意識和意愿。

學生活動二：小組合作。第1課時通過小組合作式教學，讓學生一方面展示自己在自主學習過程中好的解題思路，另一方面通過同伴思維的碰撞，解答自己的學習疑惑，或是在已解決問題的基礎上習得更簡便的解題方法。

學生活動三：交流展示。在第2課時的交流展示環節，教師一方面讓有成果的學習小組充分展示，另一方面也要讓有困惑的學習小組提出質疑，使得各小組之間形成良好的交流氛圍。教師在學生成果展示的基礎上進行方法總結提煉，以及知識精講拓展，通過豐富的學生活動，學生的探索能力得到進一步提升，培養了學生問題意識和合作精神。[1]

二、教學實踐過程

（一）課前學習，產生疑惑

教師讓學生課前自主探究典例和變式題，回顧圓的三種位置關系——相離、相切和相交，以及兩種判定方法——“Δ-0”法和“d-r”法。

典例 已知圓O：x2+y2=4，直線l：y=x+m。問：直線l與圓O有怎樣的位置關系？

問題1：若直線變為y=kx+1，還有其他的判定方法嗎？

根據圖象特征，該直線過圓內定點。對于如何確定直線與圓的位置關系，讓學生在質疑中學會主動探究。

問題2：若直線l與圓O交于A、B兩點，求AB。

該問題旨在幫助學生學會總結直線和圓的位置關系，掌握弦長的兩種計算方法：幾何特征法2r2-d2和代數特征法1+k2·x1-x2。

問題3：若∠AOB=60°，求直線方程。

問題3讓學生感悟從不定（含參數）到定（限制條件）的過程，同時引發學生思考開放性問題，例如如圖3，除了可以添加條件“∠AOB=60°”，還能不能添加其他條件？

（二）課堂合作，交流展示

由于學生基礎的差異性，他們會產生不同的想法和疑問，于是便有了合作的動機。教師設置以下四種類型的探究性問題，難度逐漸上升，思維逐漸縱深，不斷激發學生合作的意愿。

1.平移類問題探究

【變式1】在典例中，當m為何值時，圓O上恰有3個點到直線l的距離為1？

學生通過小組合作學習基本上能夠解決這個問題。通過圖形可知，該問題其實就是圓心到直線的距離和半徑的關系。

師：你還能提出什么問題呢？

生：如果恰好有2個，1個，0個點到直線l的距離為1時，m分別為何值？

通過問題的進一步提出，以及幾何畫板的演示，教師讓學生一起討論。最后，教師引導學生用數軸進行總結（如圖4）。

追問：如果直線固定，平移圓呢？

探究：已知直線l：y=x+2，圓O：x2+y2=r2（r>0），圓O上恰有2個點到直線l的距離為1，求r的取值范圍。

該問題既是典例的變式，又是課本中的習題，其把典例中簡單的三種位置關系上升到更深層次的位置關系，讓學生加深對直線和圓的位置關系的理解。

以上教學設計在典例的基礎上進行變式，契合學生的最近發展區。學生通過合作探究從動直線到動圓，認識到直線和圓的位置關系的本質是圓心到直線的距離d和半徑r的關系，讓學生感受知識的內在聯系和一致性，培養學生的發散性思維和創新能力。[2]

2.旋轉類問題探究

【變式2】將典例中的直線改為l：y=kx+2，圓O向左平移一個單位變為圓C：（x+1）2+y2=4，若直線l與圓C相切，則實數k的值為 ? ?。

變式2從旋轉的角度研究直線和圓的位置關系，意在讓學生認識到無論是從固定斜率到固定截距，抑或直線從平移到旋轉，直線與圓的位置關系從本質上都沒有發生改變。

3.對稱類問題探究

【變式3·2018年高考數學全國Ⅰ卷第22題改編】若上述直線l改為l：y=kx+2，當直線l與圓C有3個交點時，求直線l的方程。

該題旨在讓學生感受高考題其實就是源于一些基礎的問題，只是考查的角度比較新穎。另外，在教學中，教師發現學生在解該題時在對絕對值的處理上會遇到麻煩，教師適時進行以下引導。

師：變式3與變式2相比，有什么變化？

生1：多了一個絕對值。

生2：它是一個偶函數。

師：那它還是一條直線嗎？

（學生沉思不語。）

師：如果從偶函數的角度考慮，有絕對值應該怎么處理呢？

生（多數學生）：分類討論，去絕對值。

生（少數學生）：畫一半圖形就可以了。

師：很好，那現在請大家進行小組合作一起來探究一下吧。

本題作為直線和圓的高考題有一定的難度，經過分析和提示后，很多學習小組能夠畫出大概圖形，但是要準確地解出該題還是有一定難度。由于圖形受絕對值和參數k的影響，這時需要教師引導學生先從代數分析得到直線的特征，再利用幾何畫板動態演示驗證猜想，讓學生直觀感知k對直線l的影響，進而可以通過數形結合討論直線l與圓C的位置關系。

4.綜合類問題探究

【變式4】如圖5，過點P（0，1）作圓O：x2+y2=4的兩條互相垂直的弦AB，CD，求四邊形ACBD面積的最大值。

該題學生在自主學習時較難順利解答，但通過合作學習后，學習小組探究出以下解題方法。

方法一：利用待定系數法設直線方程，再利用弦長公式表達出弦長AB，CD，但得到面積的表達式較復雜，無法求出最大值。

方法二：設直線的斜率為k，可利用垂徑定理表達出弦長，得到 S=24-1k2+1·4-k2k2+1。

教師讓方法二的學習小組展示解題過程，但學生仍然無法根據函數關系求出最大值。

師：一定需要乘開嗎？可否采用基本不等式處理呢？

這時學生發現，S=24-1k2+1·4-k2k2+1≤2·4-1k2+1+4-k2k2+12=7，當且僅當4-1k2+1=4-k2k2+1，即k2=1時等號成立。

師：結合圖形，你知道1k2+1，k2k2+1分別表示什么嗎？

生：圓心到直線距離的平方。

師：通過上述計算，可以知道它們有什么關系呢？

生：和為1（定值）。

師：結合圖形你知道為什么是定值嗎？

生：因為是矩形。

通過教師的引導，設點到兩直線的距離分別為d1和d2，學生得到AB=2r2-d21=24-d21，CD=2r2-d22=24-d22，其中d21+d22=1，所以S=24-d21·4-d22≤2·（4-d21）+（4-d22）2=7。

在該展示環節，教師對展示的小組給予了充分的肯定，讓學生體會到合作學習的好處。同時，這個過程也是學生能力提升和認知建構最重要的過程，問題解決的重點不在于解題結果，而在于如何想到這樣做，如何與學生所學知識建立起聯系，從形式到內容，增加學生對合作學習的認可，這也是學生對合作學習進行自我效能的階段。

（三）課后合作，拓展升華

【變式5】若將上述點P改為直線2x+y-10=0上任意一點，過點P作x2+y2=4的兩條切線，切點分別為A，B，你能想到哪些可以研究的問題并解決呢？

①求切線長PA的最小值。

②分別求出△AOP和四邊形AOBP的面積的最小值。

③求切點弦長AB的取值范圍。

④當四邊形AOBP的面積最小時，求直線AB的方程。

⑤當四邊形AOBP的面積最小時，求其外接圓方程。

⑥求PA·PB的取值范圍。

設置課后探究的目的，首先是繼續鞏固直線和圓的位置關系，尤其是切線問題，這是高考的熱點問題之一，除此之外更重要的是再次強化小組合作學習的作用，從課前、課堂、課后的設置讓學生體會到合作學習不拘泥于課堂，而是隨時可以進行的自發的學習方式。

三、教學反思

1.問題導學驅動學生合作

問題導學的策略，使學生明確了自己的“知”與“不知”，并且可以準確把握學習的重難點，同時，基于認知壓力，激發學生學的動機、合作的意愿;問題引導可以使學生對整堂課了然于心，便于學生安排自己的學;在問題的導引下，以解決問題為目標，進行合作學習，碰撞出思維的火花，使得問題解決成效最大化，體會合作的樂趣，培養合作精神。[3]

2.合作學習轉變學生角色

在合作學習過程中，教師的講或其他同學的講都是學的資源，使學成為主動吸收和利用資源的過程，而不是“別人注入我接納”的過程。學生的交流展示實質是講解，是將自己學的過程和結果講出來。學生由聽眾變為講演者，并且講演中要時刻面臨其他同學和老師的評判、質疑和追問。為此，學生會積極調動各種資源，做全面的準備，這個準備過程就是自主地學的過程[4]，在這樣的學習中，學生才真正是學習的主人。

3.自我效能認同合作學習

不論是在課前的小組互助，還是在小組乃至班級的展示活動中，學生會感到自己不再是孤獨的學習者，周圍有幫助他的人也有他能幫助的人。合作沒有彼此的競爭，只有分享理解、共享意義。當合作有了實質性的成果，自我的價值在合作中得以體現，學生就會對合作學習產生更多的認同感。

總之，通過課堂實踐發現，在問題導向下的合作學習課堂，學生的學習積極性要遠高于傳統課堂。在此過程中，教師的引導作用也尤為重要，只有有效的高質量的問題設計，才能為學生提供合作學習的契機，這樣的合作學習才是高效和可持續的。

參考文獻：

[1]祁平.新課程背景下數學教學的哲學思考[J].數學通報，2007（2）：18-22.

[2]談雅琴.讓思維貫通教學 讓學習真正發生：以“直線與圓的位置關系”高三復習課為例[J].數學通報，2017（9）：18-21.

[3]崔麗平.高中數學自主互助學習型課堂教學研究[D].濟南：山東師范大學，2011.

[4]張小鳳.基于合作學習的高中生數學問題意識及培養策略研究[D].濟南：山東師范大學，2019.

（責任編輯：陸順演）