基于學生經驗的數學教學理解與實踐

【摘 要】研究者以2019年人教A版“函數y=Asin（ωx+φ）”為例，闡述對基于學生經驗的數學教學的理解與實踐，主張教學要基于學生已有的認知經驗進行教學設計與組織，用好認知起點，激活思維，積累活動經驗。

【關鍵詞】學生經驗;數學教學;理解與實踐

【作者簡介】丁益民，高級教師，全國新青年數學教師工作室創始人之一，主要研究方向為高中數學教材教法研究。

【基金項目】江蘇省教育科學“十三五”規劃課題“深度學習視域下高中數學單元教學設計與實踐研究”（C-c/2020/02/50）;蘇州市“十三五”規劃課題“高中數學中觀教學設計與實踐研究”（192110555） 一般認為，學生最有效的學習是在原有經驗基礎之上的再建構。奧蘇貝爾說：“如果我不得不將所有的教育心理學原理還原為一句話的話，我將會說，影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么，根據學生的原有知識狀況進行教學。”[1]新課程改革關注學生發展，強調要以學生已有的經驗為基礎進行教學，真正突出學生的主體建構。基于學生的經驗進行教學，這是學習建構本質的要求。在理念上，我們都認同經驗的重要性，在設計教學活動時也強調讓學生在已有經驗基礎上學習。但在實際教學中，很多教師對學生的經驗并沒有給予足夠的重視，現實的課堂脫離學生實際的現象還非常普遍，這反映出很多教師對經驗問題缺少足夠的認知。

一、基于學生經驗的教學內涵闡述

數學教學是學生已有經驗與知識交錯遞進中發展和深化數學思維和數學理解的過程。學生在數學活動中獲得的經驗，是具體數學內容、活動和經驗三個基本因素相互作用下，產生動作技能性經驗、情感體現性經驗與認知經驗等構成的整體，我們可用數學活動經驗直觀模型圖（如圖1）加以表征。學生的數學活動經驗形式上就是由這三維坐標構成的元素“點”的集合體[2]。

從學生層面來看，在學習之初學生已有三種經驗，即原有學習方法的經驗、已習得知識的經驗和生活的經驗。每個學生的生活經驗都存在著差異，在學習方法上也會形成個性獨特的風格，這些都將不斷地內化為他們的學習經驗體系，并且這些經驗在適當的情境中可以激發出來。學生每學習一個新知識，都將為后續學習積累知識結構上的經驗。這些經驗通過思維活動、表征活動、同化順應活動等形成新的認知經驗（如圖2）。另外，學生的已有經驗有三種情況：一是學生已具備的豐富經驗，只需要教師加以點撥，就能幫助他們“喚醒”;二是學生有了一定的經驗，但還不足以達成學習目標，需要教師“加固”他們的經驗;三是學生缺少相應的經驗，需要教師提供新的經驗或為學生提供獲取新經驗的機會。一般地，在不同背景下，學生的經驗情況會有所不同，應根據不同的目標需求設計活動，并形成新的認知經驗結構。

從教師角度來看，分析學生的已有經驗是教學設計的第一步，只有充分了解學生的經驗，才能有針對性地安排教學活動。在設計和組織教學時，教師應充分考慮學生已具備哪些經驗，這些經驗處于何種狀態等，以便找到學生進一步學習的“最近發展區”，讓新知的學習能更好地納入學生原有的認知結構中。因此，教師要以學生經驗為起點，設計合理的活動，為學生提供更多的機會進行觀察、實驗、思考、內化、反思等。筆者以2019年人教A版高中數學必修第一冊“函數y=Asin（ωx+φ）”教學為例，對基于學生經驗的數學教學進行研究。

二、教學設計

（一）對接經驗，創設情境

情境1：蘇州金雞湖摩天輪。

提出問題：摩天輪在轉動過程中，每個座艙距離地面的高度與時間存在什么樣的函數關系？

情境2：如圖3，筒車是中國古代發明的一種灌溉工具，它省時、省力、環保、經濟，現代農村還在大量使用。明朝科學家徐光啟在《農政全書》用圖4描繪了人們利用筒車的圓周運動進行灌溉的工作原理。

設計意圖：教師運用身邊的生活情境和數學史料，引導學生與已有的生活經驗對接，進入情境的表征活動中，讓學生自然而然地產生認知需求，在熟悉的情境中激發生活經驗，產生認知驅動力。

（二）運用經驗，抽象模型

為了更好地研究問題，教師將情境1和情境2中的問題改編為以下數學問題。

如圖5，假設筒車的直徑是10m，筒車距離水面最高的高度為8m，該筒車勻速轉動一圈需3min。那么，你能用一個合適的函數模型來刻畫筒車上某一個盛水筒P距離水面高度H隨時間t（min）的關系嗎？

問題1：如何研究這個問題？

教師引導學生建立合適的直角坐標系（如圖6），將實際問題數學化。

活動：請根據數據寫出問題中的數學模型y=5sin（120t+φ）+3，其中φ表示剛開始轉動時的初始角，它與選取的初始位置有關。

問題2：上述函數表達式為何不加絕對值？

該問題的提出旨在讓學生認識到，這里的“高度”其實類似于之前他們學習正負數時的“海拔”一樣也有正負之分。

設計意圖：該教學環節是運用已有的基本活動經驗進行新的建構活動，即通過建立直角坐標系將實際問題進行數學建模活動，進而抽象出函數模型，為學生進一步的學習打好基礎。教師要喚醒學生大腦中已具備的認知經驗，讓學生在已有經驗下進行熟悉的認知活動，這樣才可能讓學生進行自主建構。

（三）借鑒經驗，啟發思考

將上述模型一般化后得到本節課要學習的函數模型：y=Asin（ωx+φ）。

問題3：如何研究函數y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ對該函數圖象的影響？

問題4：在之前的學習中，我們用怎樣的經驗來研究類似的問題呢？

教師引導學生回憶初中研究的二次函數y=x2與y=a（x-h）2+k（a≠0）的關系，采用從特殊到一般和控制變量的方法進行研究（如圖7）。

不妨先研究φ對圖象的影響。為了便于研究，我們可以取特殊的φ值（如φ=π6）進行研究，研究路線如下（如圖8）。

問題5：根據上面的探究，你能歸納出φ對函數y=sin（x+φ）圖象的影響的一般化結論嗎？

教師引導學生進行討論研究后，用課件出示以下內容。

一般地，當動點P的起始位置P0對應的角為φ時，對應的函數為y=sin（x+φ）（φ≠0），將正弦曲線上所有的點向左（φ>0）或向右（φ<0）平移φ個長度單位就得到y=sin（x+φ）的圖象。

設計意圖：借鑒之前學習二次函數的活動經驗來認識參數φ對y=sin（x+φ）（φ≠0）圖象的影響，讓學生經歷從特殊到一般，再從一般到特殊的思維過程。思維走向是從某個（些）點的變化到所有點的變化規律，再到整個圖象的變化規律，從而將特殊的φ對圖象的影響規律推廣到一般的φ對圖象影響的規律。這個過程既包含已有認知經驗的再運用，又有新的認知經驗的再運用，加強了認知經驗在大腦中的重構，使得活動經驗更加豐富。

（四）強化經驗，形成新知

問題6：你能借助上面探究的過程來研究ω（ω>0）對y=sin（ωx+φ）圖象的影響嗎？

問題7：根據上面的探究，你能歸納出參數ω對函數y=sin（ωx+φ）圖象的影響的一般化結論嗎？

問題8：你能用學得的經驗研究參數A對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響嗎？

問題9：根據上面的探究，你能歸納出參數A對函數y=Asin（ωx+φ）圖象的影響的一般化結論嗎？

問題10：通過對這節課的學習，談談我們用什么方法研究函數y=Asin（ωx+φ）的圖象？你學到了什么研究經驗？

課后探究：你還能重新選擇A，ω，φ的研究順序來探究它們對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響嗎？

設計意圖：問題6～問題9是相同經驗下的同構認知活動，是認知的同化與順應活動，而且這樣的過程還可以延展到課后進一步探究，這對建構學生完整、邏輯連貫的認知過程非常有必要。

三、反思認識

（一）找準經驗起點，整體把握內容

數學知識點不是孤立存在的，任何新知都是基于舊知生成，找準新知與舊知的關聯點，讓學生在似曾相識中對舊知進行回顧，對新知進行建構，主動實現舊知與新知的邏輯關聯。因此，準確把握學生的經驗起點是實施基于學生經驗的教學前提，教師應努力找準知識起點，用好經驗起點，激活學生思維。在本節課之前，學生已經學習了正弦函數、余弦函數、正切函數等基本函數的概念、性質及圖象等，這是本節課的知識起點;學生已經掌握了研究函數的“基本套路”（從現實生活中抽象出函數模型→對函數模型進行定義→研究函數模型的性質與圖象→應用函數模型解決問題），這是本節課的經驗起點;也逐步感悟到認識對象的過程都是從具體到復雜的過程（即從初等基本函數到復雜函數），這是本節課的思維起點。之前的認知線路是以“刻畫周期性現象的函數模型”這一核心任務展開的（如圖9）。[3]而且學生從初中到學習本節課的內容之前，學會了用已學的初等基本函數的經驗范式去研究更為復雜的函數，然后又從復雜函數“退化”到簡單函數，這樣從簡單到復雜，再從復雜到簡單的雙向認知過程是認識函數主要的活動經驗。

從這個角度看，基于學生經驗的教學體現了單元教學的特質，將單元中具有相同或相似活動過程作為“經驗單元”不斷地重復激活，運用相同或類似經驗進行系統的認知活動，讓單元知識在已有活動經驗的指引下不斷地同化、調整、豐富或重構，最終形成穩定牢固的知識結構留在大腦中。這樣的認知過程體現了經驗的整體性和單元教學的邏輯連貫性。

（二）實現承上啟下，促進自主建構

研究表明，學生是基于已有知識去建構和理解新知識的，每一個新經驗都有過往經驗的成分，同時也會影響和改變后續經驗[4]。因此，在教學時，教師既要考慮到此次活動經驗的起點是什么，還要考慮到此次活動為后續學習留下哪些有價值的活動經驗，這就是經驗的承上啟下。本節課中，在研究參數對圖象影響的探究方式上，借鑒研究函數y=a（x-h）2+k圖象的變化規律與y=x2圖象產生聯系的經驗，自然遷移到將函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與函數y=sinx的圖象產生同化與順應。在具體研究參數對圖象的影響時，既考慮到初中已學二次函數的活動經驗[如參數a對y=a（x-h）2+k圖象開口大小的影響]，又考慮到當前活動經驗對后面學習其他參數時所起的思維示范作用。換言之，只要將參數φ這一探究活動講到位，學生就可以在研究其他參數時進行自主建構。一般情形下，經驗具有一定的連續性和可復制性。在設計活動時，教師要運用經驗的連續性和可復制性引導學生進行相似的建構與理解，讓學生在一定思維范式的引領下進行經驗的對接和思維的聯結，實現自主建構。

（三）重構原有經驗，實現認知提升

如果在教學中不去關注學生的原有經驗（有些可能是不好的或不恰當的經驗），那么原有經驗和新知識的學習就可能發生沖突，對新知識的建構就會形成阻礙。教師在教學中關注學生原有經驗，引導他們去體會和認識原有經驗中出現偏差或錯誤的原因，不僅能很好地建構新知識，而且還能使原有不完整或錯誤的經驗成為促進學習的積極因素。比如本節課在研究參數φ對圖象的影響時，學生很可能受初中“左加右減”口訣的影響，這種口訣式的“經驗”是非理性的，也是膚淺和機械的。只有引導學生分析圖象變換的本質才是可靠的，要讓他們知道是點的變化才引起圖象的變化，點的變換是圖象變換的關鍵，尋找到圖象變換前后的對應點，將認知活動的重心聚焦在變換前后對應點的坐標關系上。這樣的活動自然成為后面認識其他參數時的先行組織者。數學活動中那些具體數學規律（如本節課中參數對函數影響的規律）的發現要么是被已有認知結構所吸收（同化），要么就是引起已有認知結構的改造（順應），產生新的認知結構[5]。學生學習新知的過程就是已經獲得的經驗在新情境中進行檢驗和遷移的過程，學生的認知結構在這個過程中發生了同化和順應，逐步實現對原有知識結構的重新組織，即實現了經驗的重構。

總之，在實際教學中，教師要充分關注學生的認知經驗，設計前后邏輯連貫的數學活動，讓學生在活動中進行整體的認知活動，以此促進學生對數學概念的深度理解，真正提升學生的數學核心素養。

參考文獻：

[1]江世春.基于學生學習起點的有效教學[J].教學與管理，2013（14）：23-24.

[2]仲秀英.學生數學活動經驗的內涵探究[J].課程·教材·教法，2010（10）：52-56.

[3]丁益民.實施中觀教學 促進深度學習[J].數學通訊，2020（20）：6-8.

[4]約翰·杜威.我們怎樣思維·經驗與教育[M].姜文閔，譯.北京：人民教育出版社，1991.

[5]劉斌.從構建學生數學認知結構看高中數學教材的編寫[J].課程·教材·教法，1998（5）：25-28.

（責任編輯：陸順演）