課堂教學中應讓學生充分經歷“猜想與驗證”的過程

李峰

【摘要】數學課程標準指出，數學學習內容應當“有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動”，“動手實踐、自主探索、合作交流是學生學習數學的重要方式”.為了體現新課程理念，我在教學“圓的周長”這一內容時對教材進行了一些校本化處理，也對學生的學習方式、教師的教學方式進行了一些嘗試和探索.本文將對這兩方面做法進行介紹.

【關鍵詞】 推測;經歷;猜想;分析;驗證

“圓的周長”這一常規內容，我教過很多遍，有關“圓的周長”的典型課例也看過很多次了.如今，再次執教這一內容，我對這一內容有了進一步的認識.現將“圓的周長”這一課的教學片段展示如下.

教學片段

一、創設情境，提出問題

師：這里有一個用橡膠管做成的圓形呼啦圈，怎樣才能知道做這個呼啦圈用了多長的橡膠管呢？

1.測量圓的方法.

（1）圍的方法;

（2）滾動的方法（課件演示）.

師：我們剛才是利用圍的方法或滾動的方法求圓的周長的，如果求一個很大的圓形廣場的周長，你還能用這兩種方法嗎？

2.計算的方法.

師：圓的周長與圓的哪些要素有關？

二、初步推測，形成猜想

猜測一：圓的周長與圓的哪些要素有關？是與圓心有關，與半徑有關，還是與直徑有關？

直徑越長，周長越長;直徑越短，周長越短.（教師可結合手中的4個不同大小的圓和學生一起探究）

猜測二：圓的周長與直徑有什么關系？

師：對于一個圓來說，周長和直徑到底存在什么關系？（教師舉起手中的一個圓）

圓的周長與直徑存在倍數關系.

猜測三：圓的周長大約是直徑的幾倍？

師：很明顯，任何一個圓的周長都要大于它的直徑，研究周長與直徑之間的倍數關系，應該用圓的周長除以直徑，看看周長是直徑的多少倍.那么，請你猜測一下，圓的周長大約是直徑的多少倍？說出你猜測的依據.（小組討論）

三、設計方案，驗證猜想

觀察討論：圓的周長大約是直徑的幾倍？

1.看到圖1所示的這幅圖，你發現了什么？

通過觀察發現，半圓的弧線大于直徑.

得出結論：圓的周長比直徑的2倍還要多一些.

2.觀察圖2中的圖形，你發現了什么？

通過觀察發現，正方形的周長（直徑的4倍）大于圓的周長.

得出結論：圓的周長比直徑的4倍還要少一些.

3.仔細觀察圖3中的圖形，你能得出什么結論呢？

通過觀察發現，圓周上的每一條小弧線都大于正六邊形的邊長（半徑）.

得出結論：圓的周長比直徑的3倍還要多一些.

小結：一開始，我們認為圓的周長在直徑的2倍至4倍之間.后來，我們確定圓的周長比直徑的3倍還要多一些.

這個結論是否可靠，我們需要進一步用數據來進行驗證.

四、分析數據，得出結論

1.學生計算C÷d，并把結果填入表1中.（課件展示表1）

師：你發現了什么？

得出結論：圓的周長總是直徑的3倍多一些.

2.揭示圓周率的意義.

師：圓的周長總是直徑的3倍多一些，這個倍數是一個固定的值，叫作圓周率，用字母π表示.（雖然π是一個希臘字母，但它代表的是一個數）

3.介紹有關圓周率的歷史.

（介紹過程略）

4.推導圓的周長的公式.

師：我們已經明確了圓的周長與直徑的關系——C÷d=π，

若已知直徑，怎樣求圓的周長呢？

（C=πd）

若已知半徑，怎樣求圓的周長呢？

（C=2πr）

說明：在實際計算中，若無特別說明，則π取3.14.

師：要求圓的周長，需要知道哪些條件？（直徑或半徑）

教學反思

“圓的周長”這一內容是組織學生進行探究性學習的極好素材.我把這節課的課題確立為“探索與發現”.探索什么呢？就是探索圓的周長與直徑的關系.發現什么呢？就是發現“圓的周長總是直徑的3倍多一些”的規律.在實際教學中，我為學生提供了進行數學活動和交流的機會，讓學生經歷操作、觀察、猜測、驗證等探究活動，感知圓的周長，理解圓周率的意義，自主推導出圓周長的計算公式.

那么，教學這一傳統內容，怎樣才能體現一些創新性的教法呢？為此，我們做了以下幾方面的嘗試.

（1）在確立重點上有所突破

以往教學這節課時，我們一般把教學重點放在圓周長公式的推導和應用上.而今我們把這節課的教學重點確立為探索圓的周長和直徑的關系，其目的在于突出探索的過程.

（2）在處理教材上有所突破

對于教材，我們做了一些校本化處理.以往在教學這一內容時，這節課要從圓周長的意義講到圓周率的得出，再講圓周長公式的推導，最后講公式的應用.而今，為了給學生更多的探索時間和空間，讓學生體會圓周率的推算過程，我們將“利用公式解決問題”放在下一節課進行.

（3）讓學生親身經歷“發現問題—合理猜測—數據驗證”的探索過程

讓學生經歷探索與發現的過程，是數學課程標準所倡導的理念之一.在引導學生探索圓的周長和直徑的關系時，我讓學生進行了三次猜測：第一次是讓學生猜測“圓的周長與圓的哪些要素有關”，目的是讓學生初步明確探索什么（探索圓的周長與直徑的關系）;第二次是讓學生猜測“圓的周長與直徑存在什么關系”（如加、減、乘、除，哪一種關系），進一步明確探索的目標;第三次是讓學生猜測“圓的周長大約是直徑的幾倍”.我在處理這一環節時，為學生提供了3幅圖：第一幅是一個圓被直徑分成兩部分，學生通過觀察，發現上、下半圓的弧分別大于直徑，于是得到第一個結論——圓的周長比直徑的2倍還要多一些;第二幅是圓外切正方形，學生通過觀察發現，圓的周長小于正方形的周長，而正方形的周長恰好等于圓直徑的4倍，于是得到第二個結論——圓的周長比直徑的4倍還要少一些;第三幅是圓內接正六邊形，學生通過觀察發現，圓的周長大于內接正六邊形的周長，而圓內接正六邊形的周長恰好等于直徑的3倍，于是得到第三個結論——圓的周長比直徑的3倍還要多一些.從第一幅圖的“2倍多”到第二幅圖的“4倍少”，圓的周長除以直徑的結果是2點幾倍還是3點幾倍，是沒有定論的.但是通過第三幅圖，我們鎖定“圓的周長比直徑的3倍還要多一些”這一結論，從而確定了圓的周長與直徑的倍數關系的區間，為后來的數據計算驗證提供了理論依據，最后得出圓周率的意義.

事實上，我們從有關圓周率的研究史料中也能了解到，今天我們研究圓周率的過程與古人的研究過程是相似的.古希臘的阿基米德從圓內接正多邊形和外切正多邊形兩個方向推導，獲得了圓周率介于22371和227之間的結論.后來，我國的劉徽和祖沖之利用“割圓術”對圓周率進行更精確的計算.雖然我們沒有像古人那樣精確地探索圓周率問題，但學生親身經歷了類似古人的探索過程，發現規律，得出與科學家基本一致的研究結果.學生因此獲得了成功體驗，增強了熱愛數學的情感.

（4）在介紹有關圓周率的史料方面對學生進行國際理解教育

以往，我們在介紹有關圓周率的史料時，只介紹劉徽、祖沖之的成就，而忽略了古希臘數學家阿基米德的成就.因此，我們在對學生進行愛祖國、愛科學教育的同時，應對學生進行國際理解教育.