用拋物線的兩條弦平行的充要條件解題

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

圖1

還可求得兩點“C(1,2),D(1,-2)”或“C(1,-2),D(1,2)”.

因而，共有下面的四種情形：

圖2

圖3

以上解法運算量較大(還涉及解一元三次方程)，下面運用拋物線的兩條弦平行的充要條件給出題1的另一種解法(該解法運算量要小不少).

定理1 若四點A,B,C,D均在拋物線y2=2px(p≠0)上，則AB∥CD?yA+yB=yC+yD.

再由四點A,B,C,D不共線，可得

推論1 若四點A,B,C,D均在拋物線y2=2px(p≠0)上，則|yA-yC|=|yD-yB|?AB∥CD或AD∥BC.

證明由定理1，可得|yA-yC|=|yD-yB|?(yA-yC=yD-yB或yA-yC=yB-yD)?(yA+yB=yC+yD或yA+yD=yB+yC)?AB∥CD或AD∥BC.

定理2 若四點A,B,C,D均在拋物線x2=2py(p≠0)上，則AB∥CD?xA+xB=xC+xD.

推論2 若四點A,B,C,D均在拋物線x2=2py(p≠0)上，則|xA-xC|=|xD-xB|?AB∥CD或AD∥BC.

帶魚所謂的“銀鱗”是有保護作用的特殊脂肪形成的表皮，又叫“銀脂”，富含對人體有益的不飽和脂肪酸、卵磷脂等，可起到降低膽固醇、補益大腦等作用。

(1)求直線CD的斜率k的取值范圍，及點G的縱坐標的取值范圍；

(2)若直線CD⊥x軸，求直線AB的方程；

(3)若直線CD的方程是x=my+q，求m的取值范圍；

解析(1)如圖1所示，可設點G(-1,t).

可得k≠0.

由題設AC∥BD及推論1，可得

|yA-yB|=|yD-yC|.

解得m2=12t2-2(0<12t2-2<7).

由推論1可得|yA-yB|=|yD-yC|，即AC∥BD或AD∥BC(當AD∥BC時，把兩點C,D的位置互換后也得AC∥BD)，所以m2的取值范圍是(0,7).