對一道阿基米德三角形作業題的研究性學習

李 寧

(海南省海南中學 571158)

一、問題再現

在2020年“停課不停學”期間，筆者通過網絡平臺給學生布置的作業中有這樣一道題目：

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為“阿基米德三角形”.阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上.設拋物線y2=2px(p>0)，弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為( ).

二、從通性通法角度解答

學生未必都能了解阿基米德三角形的性質，比如參考答案直接說∠Q為直角，就顯得莫名其妙.可以著眼于求三角形面積最值的通性通法去思考.

與拋物線方程聯立，得y2-2y0y-p2=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=2y0，y1y2=-p2.

解法2 (根據陳英昊、姚正宇等同學的解答整理)

與拋物線方程聯立，得y2-2pmy-p2=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=2pm，y1y2=-p2.

三、研究性質用性質

對于拋物線y2=2px(p>0)，弦AB過焦點F，弦AB中點為M，此時的△ABQ為阿基米德焦點三角形.下面研究相關性質.

性質1 阿基米德焦點三角形的頂點Q在拋物線的準線上.

性質2 阿基米德焦點三角形底邊AB上的中線與拋物線的對稱軸平行或重合.

由性質2可以把解法2后半部分做一點改進：

性質3 在阿基米德焦點三角形QAB中，QA⊥QB，QF⊥AB.

由性質1和性質3，可以從幾何上思考這道作業題.

圖1

解法4 (根據潘逸聲同學的解答整理)過點A,B分別向準線引垂線，垂足為點D,E.由點B向AD引垂線，垂足為點C，準線與x軸交點為點G.

在Rt△ADQ和Rt△AFQ中，AQ為公共斜邊，|AD|=|AF|，從而|DQ|=|QF|.

同理，|EQ|=|QF|.

點評如果熟悉性質，解決這道作業題還是挺輕松的，如解法3.但是如果是解答題，還是需要嚴格論證，掌握通性通法.

四、相關練習

練習1 已知拋物線C:y2=4x，圓M:(x-a)2+(y-2)2=4，若圓M上總存在點P，使得過點P的拋物線C的兩條切線相互垂直，則實數a的取值范圍是____.

練習2 已知拋物線C:x2=4y，點M是C的準線l上的動點，過點M作C的兩條切線，切點分別為P,Q，若O為坐標原點，則O到直線PQ的距離的最大值為____.

練習3 過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F作直線l交拋物線于A,B兩點，拋物線在A,B兩點的切線交于點Q.若|AB|=8p，則S△QAB=____.

參考答案：1.[-3,1](軌跡思想，切線相互垂直則切線交點在準線上，只需⊙M與拋物線準線有公共點即可)；

2.1(定點意識，直線PQ過焦點)；