基于“立序”視角的小學數學教學思考

錢國華

關鍵詞 小學數學;“立序”;知識之序;認知之序;學習之序

中圖分類號 G623.5

文獻標識碼 A

文章編號 2095-5995（2021）12-0053-03

教學的規范性是建立在學生相關學習規律基礎之上的，而“序”是規范性教學的重要尺度。小學數學教學之“序”包括知識之序、認知之序與學習之序。有序的數學教學，能培養學生數學思維能力，調動學生創新思維意識，同時還能引導學生嘗試獨立思考，讓學生的數學認知、思維、學習等從失穩走向穩定，從固化走向靈動。

一、“序”的缺失：聚焦當下數學教學問題

“序”是一切物質演變的趨勢與樣態。比利時科學家普里戈金曾說，“這個世界上的一切事物都向著自身相對有序的狀態發展”，教學也是如此。在教學中，教師要處理的兩個根本性的問題就是“選材”和“立序”。“選材”強調教師要因材施教;“立序”則強調教師教學時要循序漸進。當下的數學教學問題現象，有很多可以歸結為“序”的缺失，其結果是學生思維模糊，對知識的理解不深刻，具體表現如下：

（一）知識之序缺失導致學生認知模糊

知識之序體現在教材之中。教材內容的編排遵循從簡單到復雜、從淺顯到深刻的原則。前面的知識是后面知識的基礎，教師按照知識序列進行教學，學生便可逐步深入，從整體上把握知識體系。如果教師在教學中忽略了知識之序，那么學生對數學知識的理解就會流于表面。例如，有的教師在教授“分數的初步認識（二）”時，由于沒有及時復習“分數的初步認識（一）”中的相關內容，導致學生在建構分數知識體系時顯得力不從心，這反映了知識之序的缺失。知識之序是教學的根本，是教學的靈魂，在教學中既不能缺位又不能越位，否則就只能得到“欲速而不達”的結果。因此，教師在進行數學教學設計時必須對教材中涉及的相關內容進行仔細梳理，這樣才能引導學生更好地構建知識體系。

（二）認知之序缺失導致學生思維失穩

認知之序包括兩個方面，一方面是數學知識的形成規律，另一方面是學生認知、思維和心理的發展規律。認知之序的缺席容易導致學生認知與思維的失穩。在教學中，筆者發現許多教師對學生認知心理之序的理解較為膚淺。例如，在教授“圓的周長”一課時，有的教師忽略了學生的認知之序，為了區分“半圓的周長”和“圓周長的一半”，不惜進行煩瑣的公式推演，形成了“πr”（圓周長的一半）“πr+2r”（半圓的周長）等公式，反而對學生識記知識造成了阻礙。實際上，教師可以通過引導學生畫圖來表征“圓周長的一半”和“半圓的周長”，用圖形來表現兩者的特點，引導學生自己推導公式，這樣才能獲得更好的教學效果。學生的思維發展遵循由具體形象思維到抽象邏輯思維發展的規律，忽略學生的認知之序，教學就將事倍功半。

（三）學習之序缺失導致學生理解膚淺

有序是教學的本真追求。教師開展教學，不僅要關注數學知識之序、學生認知心理之序，還要關注學生的數學學習之序。一般來說，學生對數學知識的理解，是從外部的實踐活動開始的，而后逐漸過渡到內隱的思維活動。如果教師的教學活動指向不明，學生的數學學習一定是模糊的、不確定的。例如，在教授“10的分與合”一課時，有教師直接通過課件呈現“10的分解”結果，讓學生根據課件理解記憶。這樣的操作看似是一種“有序操作”，但卻沒有讓學生充分經歷從“無序”到“有序”的過程，學生僅僅是依葫蘆畫瓢，而沒有經過自主探索，這就導致學生對知識的理解較為膚淺。所以，教師應通過實踐活動有意識地引導學生探索知識，引導學生質疑知識、解構知識和建構知識，幫助學生深刻地理解數學知識，同時促進學生高階認知和高階思維的發展。

二、“序”的回歸：建立學生對學習過程的科學認知

學生數學學習的“無序化”呼吁學生數學學習之“序”的回歸。在小學數學教學中，教師不僅要關注自身的教學之序，更要關注學生數學學習之“序”。“序”的回歸，可以幫助教師建立對學生學習過程的科學認知。在數學教學中，學生學習之“序”的回歸是根本，教師教學之“序”的回歸是保障。那么，我們應當從哪些方面來為學生的數學學習“立序”呢？

（一）知識之序的回歸

知識之序主要有兩個方面的內容：其一是知識的誕生、發生與發展之序，這要求教師在教學中瞻前顧后，體現數學知識從外在到內在、從現象到本質、從結果到原因的過程;其二是數學知識與相關知識的關聯之序。教師在教學時要引導學生發掘數學知識的本源，即本質之源，梳理數學知識的脈絡，同時體現數學知識的生成、生發過程。教師把握好數學知識之序，才能讓學生學得明白、理解到位。例如，教授“分數的基本性質”時，教師可以先引導學生比較分數和除法算式，讓學生認識分數和除法算式的聯系與區別，為學生學習分數的基本性質奠定基礎。在此基礎上，教師可以再引導學生借助動手畫圖、操作等探索性的活動，探究分數的基本性質，并比較商不變的規律和分數的基本性質。由于循著數學知識的發展脈絡和前后關聯開展學習，學生的學習過程就會行云流水、自然而然，學生的數學知識建構與統整也在潛移默化中得以完成。

（二）認知之序的落實

所謂認知之序，就是教師教學時要遵循學生的認知心理發展順序。只有遵循學生的認知心理發展順序，教師才能有效地幫助學生建構認知結構。認識結構實質上就是外在的知識結構在學生心理上的一種建構。換言之，認知結構是知識結構在學生心理的投射。例如，教授“梯形的面積”時，學生已經學習了“平行四邊形的面積”“三角形的面積”等知識，因而對“倍拼法”“剪拼法”等求面積的方法有了一定的認知，在頭腦中形成了相應的表象和心理圖式。因此，筆者鼓勵學生自主探究梯形的面積公式。學生基于各自的認知結構、心理圖式，從不同的視角對梯形面積的求法進行了深入的探索。如有學生應用“倍拼法”將梯形轉化成平行四邊形求梯形面積，有學生應用“剪拼法”將梯形轉化成長方形求梯形面積，還有學生將梯形運用“分割法”轉化成三角形求梯形面積……由此可見，正是基于已有的認知結構，學生才可以進行多樣化的探索，才能獲得不同的知識轉化策略。

（三）學習之序的重建

小學數學既是“科學性的數學”，又是“心理學的數學”“教育學的數學”。如果說，知識順序要秉持知識的科學特質，認知順序要契合心理學的特質，那么學習之序就要契合教育學的特質。優化學生的學習之序，要重點關注學生的數學學習環節與學習方式。當然，學習之序往往是建立在知識之序、認知之序的基礎上的。例如，教授“間隔排列”時，筆者根據學生的認知心理特質，遵循其從直觀動作到具體形象、再由具體形象到抽象邏輯的認知規律，設計了這樣的活動內容和程序：引導學生操作小棒、圓片等工具，將其一一間隔排列，認識兩端物體和中間物體，并且思考兩端物體和中間物體的關系。這樣的教學設計，能有效地將學生外在的操作經驗內化為學生的認知表象。在此基礎上，筆者引導學生動手畫圖，分析物體——間隔排列的規律，然后讓學生用算式來總結觀察的結果，以此深化學生的認知，提升學生的理性思維。

三、“序”的實踐：促進學生學習質的提升

著名特級教師吳正憲老師說過：“知識的傳授應當立足于知識的邏輯發展。”學生的數學學習應當是循序漸進的，循知識之序、認知之序，建立學習秩序，從而讓學生的數學學習獲得邏輯演進、無痕推進、不斷躍進。可以這樣說，“序”是學生數學學習的DNA。相較于碎片式的數學學習，有序性的數學教學，更能促進學生數學學習能力的提升和數學核心素養的生成。

（一）分清知識的主次

把握數學知識之序，要求教師引導學生認知數學知識的來源，把握數學知識“數學知識是誰（什么）”“數學知識從哪里來”“數學知識要到哪里去”等問題。數學知識不僅僅具有縱向的產生、發展的時間軸，更具有橫向的與其他相關知識關聯的時間軸。

相對于碎片化、無序孤立式的數學學習，有機的、有序的數學學習，更能提升學生的數學學習效能。教學中，教師要區分主要的數學知識與次要的數學知識、數學知識的主要方面與數學知識的次要方面。概言之，就是要把握數學知識的輕與重、主與次、先與后等。例如，教授“十幾減9”這一部分的內容時，學生可能會想到很多方法，如“平十法”“破十法”“算減想加法”等。對于這些方法，教師應當予以積極地關注，并鼓勵學生采用多樣化的算法，發散學生思維。而在講解時，教師可以重點引導學生學習“破十法”，抓住教學的重點與主要方面，有效地幫助學生解決計算難題。

（二）把握學習的次序

引導學生進行有效的數學學習，歸根結底就是要讓學生的數學學習先后有序，這里的“序”不僅僅指數學知識的邏輯之序，更指學生數學認知的心理之序。教師通過有效地研究和設計，適當整合和優化教材的教學內容，可以讓學生的數學學習更有效、更靈活。蘇聯著名教育家蘇霍姆林斯基說：“每一個學生都可能成為探索者、發現者、研究者。”尊重學生的數學學習之序，能讓學生的認知、思維規范化、條理化、有序化，讓學生的認知、思維之苗從萌芽走向蓬勃發展。

例如，在教授“認識平面圖形”“計算平面圖形的周長和面積”時，教師教學通常會遵循“由直線圖形到曲線圖形”的順序;在學生學習“數的有關概念”時，教師通常是先讓學生認識整數，再讓學生認識小數和分數等;在學生學習“統計與概率”相關內容時，教師通常先讓學生進行質性描述，然后引導學生進行定量分析，等等。以上教學過程就是遵循整體的認知之序的過程。同樣，在教授單一的一個知識點時也要按照一定的順序展開。如在學習“認識厘米”的內容時，筆者就循著這樣的順序：先通過操作、畫圖等過程幫助學生建立“1厘米”的表象，然后引導學生建構“厘米尺”，最后引導學生用自己制作的厘米尺度量物體的長度。通過這樣的有序化活動，學生逐步學會了度量。他們不僅“知其然”，更“知其所以然”。

（三）培養數學思維

著名數學教育專家曹才翰認為：“所謂的‘認知結構，就是學生頭腦中的數學知識按照自己的理解的深度、廣度等，結合了自己的感覺、知覺、記憶、思維、想象等，組成的一個內部的有規律地組織。”學生的數學認知是從形象走向抽象的。教師要把握學生數學認知的顯與隱，讓學生的數學思維、認知逐步深入，從具體形象邁向抽象邏輯，促進學生類比推理、歸納推理與演繹推理能力的共同發展。

教學中，教師可以采用動手探究或問題鏈等方式，有序推進學生的數學學習，引導學生的數學思維發展由淺入深。例如，教授“因數和倍數”一課時，筆者發現教材中只是簡單地讓學生根據已有知識經驗——“乘法算式和除法算式”去抽象、概括、提煉出因數和倍數的概念，這樣不利于學生對知識的心理內化，也不利于學生建構穩定的認知心理圖式。因此，筆者引導學生動手操作，用24個小正方形拼成一個長方形，探究長方形的拼法，然后讓學生用算式對相關的操作進行表征，比較、研究算式中的每個數之間的關系，從而建構因數和倍數的概念。這樣的探究過程，不僅讓學生理解了因數和倍數的概念，而且讓學生認識到倍數和因數相互依存的關系。

在數學教學中，教學之“序”不是靜態的、固化的，而是動態的、發展的，是“有序”和“無序”的辯證和統一。聚焦“有序”，要求教師的教學設計要有組織、有順序，以學生的學為中心，以學定教、因學施教、順序而導，促進學生思維、認知與素養實現高階發展。

責任編輯：劉源