從“解析幾何的運算”看高考中的“數學運算”核心素養

陳淑玲

【摘要】“數學運算”是指在解題過程中，對運算的對象、法則、思路、方法的理解、掌握、探究和選擇.本文從“數學運算”核心素養的內涵出發，結合高中生運算水平現狀，從解析幾何的運算談如何優化運算.

【關鍵詞】高中數學;數學運算;內涵;現狀;優化運算

【基金項目】本文系福建省教育科學“十三五”規劃2020年度課題“靈動課堂理念下的高中數學教學研究與實踐”（項目編號：FJJKXB20-870）的研究成果

“數學運算”并不是簡單的數學計算能力，它反映了一名學生的綜合能力.“數學運算”是數學學科核心素養的六個構成要素之一，它幾乎貫串其他五個數學核心素養中，是高考中考查比例最大的一個核心素養.

一、“數學運算”核心素養的內涵

“數學運算”意味著在解決問題的過程中，選擇適當的算法來解決數學問題的核心水平.它主要包含：清晰計算對象，了解操作算法，利用運算思想，確定操作方法，設計計算過程，找到操作的結果.高中數學課程旨在從多角度標準化中培養學生的數學思維，并可以有效解決實際問題.“數學運算”是解決數學問題的基本途徑.因此，在教學中，教師應該注意如何更好地提高學生的“數學運算”素養.

二、高中生運算水平現狀

部分學生在學習數學時對數學運算不重視，只注重解題思路方法的探索.比如，解析幾何中的求圓錐曲線的弦長，有些學生思路會了就放棄具體運算，結果到了真正運算時，往往因為弦長運算公式的選取缺乏合理性導致計算量偏大，還有些學生因為一個符號或坐標的出錯，導致整道題算錯.久而久之，很多學生出現解題思路清晰，解題時過多地依賴口算、心算，不愿意在草紙上動筆，結果極容易失誤.一旦遇到解析幾何中運算量比較大的復雜運算，就產生畏懼心理和不自信心理，經常是一個題目拿到手，不知從何入手開始運算，于是開始依賴計算器和“小猿搜題”等軟件，圖省事、求快速，不愿自己動腦動手.在數學解題中，有些學生在解題時稍微遇到難一點的運算就沒勇氣往下算，還有些學生在運算過程中，書寫潦草，導致運算出錯，運算結束后，缺乏對運算結果的檢查、檢驗過程，導致不能及時發現并改正錯誤.解題后，學生不善于歸納、總結、反思解題運算的方法技巧，沒有思維的發散性，對于能一題多解的問題，只能找到比較常規的解法，沒法尋求更簡便的運算途徑，不去選取更合理的運算策略，運算過程煩瑣笨拙，從而導致運算失誤或緩慢，必然導致正確率下降，進而打擊了學習的積極性.

由于高中數學內容多、課時少，導致教學任務繁重，部分教師對數學運算的理解不到位，在課堂上只注重解題思路和方法的探求，忽視對具體運算過程的示范、引領、指導和要求，很少給學生預留當堂完成運算求解的時間和機會，這就不能及時發現并指正學生的運算錯誤.而對于學生作業和考試中的運算錯誤，由于教師缺乏重視，只是讓學生自己核對答案并訂正，很多學生忙于完成大量的作業，并沒有真正將訂正落實到位，學生的運算能力自然下降.

三、提高高中生數學運算能力的具體實踐

無算不成數學題，要有不怕算的思想.高中生的數學計算能力就是能夠按照題目的條件、待求等，探求與設計合理的運算路徑，在兼顧計算方法的技巧性和計算速度的快捷性的同時，保證計算結果的準確性.算理就是計算過程中的原理，是解決為何這樣算的問題.比如，有的同學看到二次方程就用韋達定理，但是沒有判別式作保證，算理不對就會使計算結果失去意義.當然，我們還希望簡捷，能兩步求解就不要搞成三步、四步，多想少算、優算肯定是上策，在運算以前盡量考慮多種可能的方案，比較彼此的優劣，像下圍棋一樣，走一步要想好后面的幾步，所謂“磨刀不誤砍柴工”，這就需要解法的設計.拿到題后沒有斟酌直接計算，很容易誤入歧途，特別是運算比較復雜的問題，運算在求解解析幾何問題中的地位大家都是清楚的，那么該如何優化運算呢？

1.優化常規動作

例1 已知點P是圓Q：（x+2）2+y2=32上任意一點，定點R（2，0），線段PR的中垂線與半徑PQ相交于M點，點P在圓周上運動時，設點M的運動軌跡為E.若點N在雙曲線x24-y22=1（頂點除外）上運動，過點N，R的直線與曲線E相交于A，B，過點N，Q的直線與曲線E相交于C，D，請問：|AB|+|CD|是否為定值（說明理由）？

問題分析：這是一道常規的涉及圓錐曲線的弦長的問題，學生基本上按部就班求解即可.易求點M的運動軌跡方程為x28+y24=1①，設直線AB的方程為y=k1（x-2）=2②，聯立①②消元得（2k21+1）x2-8k21x+8k21-8=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=8k212k21+1，x1x2=8k21-82k21+1，可以求出

AB= 1+k21· x1+x22-4x1x2

= 1+k21· 8k212k21+12-4·8k21-82k21+1=42（k21+1）2k21+1.（*）

然而，在許多情況下，聯立圓錐曲線方程與直線方程消元后得到的一元二次方程的系數都含有參數，利用韋達定理求弦長，計算量都不小.如果用AB= 1+k21 Δa= 1+k21 -8k212-4（2k21+1）8k21-82k21+1=42（k21+1）2k21+1求解，可以發現利用韋達定理實實在在是繞了一大圈，前面寫出的韋達定理沒有任何作用，這個步驟的優化，可以減少含參數的式子的化簡，減少出錯的概率.

例2 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為22，過左頂點A的直線l與橢圓交于另一點B.若|AB|=43，求直線l的傾斜角.

問題分析：這個問題也與弦長問題有關，容易求得橢圓方程為x22+y2=1.很多學生設直線l的方程為y=kx+2，代入橢圓方程，得到（2k2+1）x2+42k2x+4k2-2=0，不管是直接用韋達定理代入弦長公式AB= 1+k2· x1+x22-4x1x2，或是利用公式AB=1+k2Δa求解，計算量都不小，但是，如果能發現本題中一元二次方程中有一個根是-2，則有-2+xB=-42k22k2+1，就容易求得另外一個根為xB=2-22k22k2+1，則AB= 1+k2xA-xB=1+k2·222k2+1=43，這樣運算就可以減少計算量.這就需要學生突破常規，在熟練運算中養成“常規動作”的好習慣，靈活選取最適合的弦長公式解題，優化步驟才能保證解題質量.又如，設直線方程時方程形式的選取，不同形式的直線方程直接關系到計算量的大小.若直線經過的定點在縱軸上，一般設為斜截式方程y=kx+b便于運算，即“定點落在縱軸上，斜截式幫大忙”;若直線經過的定點在橫軸上，一般設為x=my+n可以減小運算量，即“直線定點落橫軸，斜率倒數作參數”.