畫圖法在解決問題中的運(yùn)用

吳娜玲

摘 要：解決問題貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，解決問題包含的信息多、綜合性強(qiáng)，而小學(xué)生的具象思維占主體地位，對(duì)題意的理解、有用信息的提取存在一定的難度，通過畫圖可以幫助學(xué)生理解題意、分析數(shù)量關(guān)系，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生更好地解決問題，但不同的題目適用不同的畫圖方法，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中善于積累、善于歸納，這樣才能做到心中有“圖”，才能巧妙應(yīng)用畫圖法解決各種問題。

關(guān)鍵詞：解決問題;畫圖法;解題方法

數(shù)學(xué)是一門邏輯性、抽象性和應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，解決問題是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要部分。小學(xué)生分析問題的能力較弱，對(duì)問題的解決感覺到困難，尤其遇到比較難解決的問題時(shí)，學(xué)生如何正確分析理解數(shù)學(xué)信息，總結(jié)數(shù)學(xué)方法呢？其實(shí)可以通過畫圖法幫助理解題意，把問題直觀化，這樣既簡(jiǎn)明又快捷。教材也一直滲透著畫圖解決問題的方法，如低年級(jí)的課本中有各種主題圖、插圖等，直觀的課本主題圖可以幫助低年級(jí)學(xué)生更好地理解題意。到了高年段后，解決問題蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)更多，綜合性更強(qiáng)了，但學(xué)生可以把問題的有用信息提取出來，嘗試著用畫圖來幫助理解數(shù)量關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為直觀的示意圖。我相信，解決問題肯定事半功倍。

畫圖法對(duì)問題的解決如此重要，不同的題型適用不同的畫圖法，要善用畫圖法，才能巧解問題，以下與大家談?wù)剮讉€(gè)用畫圖法來解決問題的常見例子。

一、多用線段圖，解決行程問題

“行程問題”是小學(xué)解決問題的重點(diǎn)部分，雖然行程問題在生活中經(jīng)常遇到，但對(duì)學(xué)生來說只是初步感知，很少系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，因此對(duì)行程問題比較難以把握。在行程問題中，最典型的畫圖法就是線段圖。例如：小紅的速度60米/分，小蘭的速度50米/分，兩人同時(shí)從家出發(fā)相向而行，5分鐘后擦肩而過又相距40米，兩家相距多少米？在筆者所任教的班級(jí)，一個(gè)班47名學(xué)生，本題正確率是68.1%，提示學(xué)生畫線段圖幫助解決問題后，正確率提升到87.2%，這深刻體現(xiàn)了畫圖策略的實(shí)際價(jià)值。

講述時(shí)，學(xué)生說了兩種方法，分別是圖1與圖2，圖1著重引導(dǎo)學(xué)生理解重復(fù)的部分要減掉，圖2著重引導(dǎo)學(xué)生理解兩段拉開后相連多了一個(gè)40，因此要減去40，在說題過程中，學(xué)生把整個(gè)過程一步步用畫圖表示出來，通過線段圖，學(xué)生突破了難點(diǎn)：為什么要減40。由此可見線段圖在解決行程問題中的作用。小學(xué)生思維受具體事物支持，借助畫圖，通過圖與文字的結(jié)合，將學(xué)生頭腦中的資源與眼前的畫面產(chǎn)生聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)整體中的各個(gè)重要部分及其關(guān)系的把握一目了然，可以促進(jìn)學(xué)生知識(shí)生成，提高學(xué)習(xí)能力。

二、善用立體圖，解決圖形幾何問題

圖形幾何是小學(xué)的重要組成部分，五年級(jí)下冊(cè)的長(zhǎng)方體與正方體的認(rèn)識(shí)這一單元，知識(shí)點(diǎn)不多，但解決問題的知識(shí)點(diǎn)考查方式卻有很多的變化，學(xué)生經(jīng)常感到混亂，無法掌握，若能畫出立體圖，把各個(gè)數(shù)據(jù)標(biāo)出，整個(gè)題目會(huì)更直觀、形象。例如：一個(gè)長(zhǎng)方體鋼材，從上面截下一個(gè)高是3厘米的長(zhǎng)方體后，剩下一個(gè)正方體，正方體的表面積比原來長(zhǎng)方體的表面積減少了48平方厘米，求原來長(zhǎng)方體的體積。本題的正確率很低，47名同學(xué)只有2名同學(xué)做對(duì)，學(xué)生普遍表示對(duì)題意的理解存在困難，而對(duì)學(xué)生來說，畫出準(zhǔn)確的長(zhǎng)方體也有一定的困難，因此我鼓勵(lì)學(xué)生在草稿紙上畫出立體圖，即使是不那么準(zhǔn)確的立體圖也可以，主要是幫助理解題意，理清現(xiàn)在的正方體和原來的長(zhǎng)方體之間的聯(lián)系，立體圖可以直觀體現(xiàn)出缺少的表面積其實(shí)就是被切下來的長(zhǎng)方體的4個(gè)側(cè)面，既然切割完后的立體圖形是正方體，說明原來的長(zhǎng)方體是上下面為正方形的長(zhǎng)方體，所以這四個(gè)面面積相等，就用48÷4=12（平方厘米），12÷3=4（厘米），原來的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)等于4厘米，寬等于4厘米 ，高等于4+3=7厘米，所以體積就可以用4×4×7算出來。

小學(xué)生的空間感較差，通過畫圖可以幫助培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，教材也是這樣做的。觀察六年級(jí)數(shù)學(xué)課本上圓柱體積公式的推導(dǎo)過程，也可以發(fā)現(xiàn)畫立體圖形的妙處，從課本上的立體圖形我們很容易看出圓柱的底面半徑等于長(zhǎng)方體的寬，圓柱的高等于長(zhǎng)方體的高，圓柱的底面周長(zhǎng)的一半等于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，這樣通過轉(zhuǎn)化可以由長(zhǎng)方體的體積公式推導(dǎo)出圓柱的體積公式，諸如此類的題目，如果沒有通過畫圖來直觀體現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，而是單純記憶公式解題，就如囫圇吞棗，知其然而不知其所以然。

三、巧用示意圖，解決雞兔同籠問題

大約一千五百年前，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中就記載了一個(gè)有趣的問題——“雞兔同籠”問題。[1]“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”本題的數(shù)據(jù)比較大，因此，在研究過程中我們一般把數(shù)據(jù)換小，便于尋找規(guī)律。例如，雞兔同籠，從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳，雞和兔各有幾只？這里還隱含著常識(shí)：雞有2只腳，兔子有4只腳，在探究前，先讓學(xué)生仔細(xì)審題，讀懂所給條件和隱藏條件再進(jìn)行思考。這道題有兩個(gè)未知數(shù)，雞和兔的只數(shù)都不知道，問題難度較大，畫圖時(shí)，可以畫八個(gè)圓當(dāng)作動(dòng)物的頭，畫小豎線當(dāng)作動(dòng)物的腳。假設(shè)這8只都是雞，每只雞畫上2只腳。畫完后發(fā)現(xiàn)只有16只腳，但題目中說的是26只腳，還差10只，這時(shí)再給一只雞畫上2只腳，發(fā)現(xiàn)還要在5只雞上各畫2只腳，這樣有4只腳的雞其實(shí)就是兔子。所以結(jié)論是兔有5只，雞有3只。[2]同樣的，也可以把這8只動(dòng)物全當(dāng)成兔，這樣給每只兔畫上4只腳，這樣就有32只腳，比題目中的26多了6只腳，這6只就是把3只雞當(dāng)成了兔，每只多算了兩只腳。結(jié)論也是兔有5只，雞有3只。

雞兔同籠屬于數(shù)學(xué)廣角的一個(gè)內(nèi)容，數(shù)學(xué)廣角意在傳遞數(shù)學(xué)思想，這對(duì)學(xué)生來講是一個(gè)難點(diǎn)，通過畫圖法學(xué)生能更好地理解假設(shè)法，突破難點(diǎn)，從而解決雞兔同籠問題。同樣，也能采用畫圖法解決數(shù)學(xué)廣角中的其他題目，例如“搭配問題”“植樹問題”等，學(xué)生要大膽地把題目轉(zhuǎn)化成示意圖，多實(shí)踐、多操作，才能加深對(duì)數(shù)學(xué)廣角知識(shí)的理解，更好地把握數(shù)學(xué)思想。

四、活用集合圖，解決容斥問題

集合圖，也是畫圖法中常見的一種，對(duì)容斥問題的解答有出奇制勝的功效。例如：六（2）班學(xué)生45人，其中參加數(shù)學(xué)興趣小組的有20人，參加語文興趣小組的有18人，兩組都沒參加的有10人，有幾個(gè)人既參加語文興趣小組，又參加了數(shù)學(xué)興趣小組？這個(gè)題目有好幾個(gè)數(shù)據(jù)，又有交集與并集的知識(shí)在里面，我們要懂得用集合圖解決此類解決問題。從集合圖發(fā)現(xiàn)總共有18+20+10=48人，比45人多了3人，并且有一部分是兩個(gè)集合共有的。比總?cè)藬?shù)多了的3人，就是這共有的部分計(jì)算了兩次，也就是既參加語文又參加數(shù)學(xué)的學(xué)生被多算了一次，因此比總?cè)藬?shù)多的那部分就是既參加語文又參加數(shù)學(xué)的學(xué)生。原本無從下手的題目，通過集合圖的呈現(xiàn)，直觀出示了重復(fù)的那部分學(xué)生，數(shù)據(jù)之間的關(guān)系一目了然，簡(jiǎn)單易懂。

在課堂中，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用畫圖來幫助理解題意，理清數(shù)量關(guān)系，從而列出式子解答問題。解答解決問題要循序漸進(jìn)，以畫圖為方法，把抽象復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為形象簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，教學(xué)過程科學(xué)有效，同時(shí)也能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓他們?nèi)フf、去聽、去畫、去寫、去想，多感官學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。但要注意的是，畫圖是幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，從而解決問題的，它不是一幅美術(shù)作品，而且在平時(shí)練習(xí)，尤其是考試當(dāng)中，時(shí)間是十分寶貴的，因此要盡量讓畫圖簡(jiǎn)化快捷，走“簡(jiǎn)筆畫”路線，這樣可以節(jié)省時(shí)間，更具有實(shí)際意義。當(dāng)然解決問題的題型還有很多，不同的題型可以選用不同的畫圖法，這就要求學(xué)生善于積累、善于歸納，這樣才能做到心中有“圖”，才能在遇到難題時(shí)能夠自如地選用適當(dāng)?shù)漠媹D法來幫助解答。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊忠.關(guān)于“雞兔同籠”問題的思考[J].教育實(shí)踐與研究（A），2013（6）.

[2]吳良標(biāo).淺談“雞兔同籠”中的一題多解[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2011（z2）.