高等代數與解析幾何一體化教學探索
——以新疆大學為例

胡 琳， 楊曉梅， 聶麟飛

(新疆大學 數學與系統科學學院，烏魯木齊830046)

1 引 言

從上個世紀50年代開始，數學分析、高等代數和解析幾何就是高等院校數學專業學生的三門基礎課程.通常它們是三門相互獨立的課程，開設時間均在大一至大二期間.數學各專業均以這三門課為基礎安排后續專業課程內容和教學體系，因此它們在教學中占有極其重要地位，并有很大的課時比例.但隨著新課程的開設及其學時的增加，分別開設高等代數與解析幾何兩門課占用課時較多的弊端已初現.同時，眾所周知，高等代數是將幾何抽象化，解析幾何是以代數的方法研究幾何，幾何與代數互為問題，互為方法，互相交融，因此將高等代數與解析幾何合并為一門課程是非常必要的.這也得到了陳省身、楊中道等數學家的倡導，并在南開大學、西安交通大學等高校開始實施.將其合并后，從某種意義上講，這兩門課程均得到了加強.因為不僅節省了學時，而且還能將代數中某些高度抽象的概念借助于幾何工具具體化，使得學生更易于理解.這一點對于新疆大學這樣的西部地區綜合性大學更為重要.由于我校混合編班教學，部分基礎較差學生對一些概括抽象名詞的理解還存在一定偏差，因而我校自2012年開始在數學學院所有專業中，對高等代數和解析幾何實施課程合并，以華東師范大學陳志杰教授主編的《高等代數與解析幾何》為教材.本文就高等代數與解析幾何合并后，為了培養出更高質量的人才，逐步縮小中西部學生教育差距，努力為提高西部地區的教育水平發展做出貢獻，在教學內容的互補性、教學手段的合理性、教學模式的多樣性和課程中的思政四個方面進行了初步探索.

2 高等代數與解析幾何一體化教學的探索

本節將從教學和思政兩個方面，進行初步探索.

2.1 重視“數、形”結合，相輔相成，相互滲透

從幾何和代數的發展歷史看，它們一直秉承著“代數為幾何提供研究方法，幾何為代數提供直觀背景”[1]的關系.尤其是在高等代數與解析幾何一體化教學后，幾何的研究為代數提出問題，而代數的討論結果又可以適時地運用到幾何中去.對此，剛剛進入大學的一年級新生，并不能很好地理解.由于他們對微積分的認知程度較低，尤其是一些來自邊遠學校的同學，他們在中學階段的數學學習本就有些欠缺，對于高等代數的抽象性更是心理準備不足，從而在學習該課程時缺乏信心.因此，在整個教學過程中，應充分注重“數”“形”之間的相互交融，從學生的認知角度考慮，用“數”助“形”，以“形”輔“數”，可以幫助他們很好地化解學習高等代數抽象概念時的困難，進一步達到形象思維與邏輯思想同步發展的目的，更好地起到“數學是思維的體操”的作用.例如，兩個向量線性相關，從代數的角度看，即存在不全為零的數，使它們與兩個向量的線性組合值為零.學生對此理解并不透徹，但當教師給出空間中的向量圖形后，學生們頓時明白空間中兩個向量線性相關也就是“共線”，從而將一個模糊的代數概念轉化為具體的幾何圖形.在課堂上，通過“形”的展示，使學生在互動中解決了“數”的問題，從而即可使學生對抽象的代數有了更直觀的感覺.又如，利用線性方程組的解的情況分析判斷空間平面、直線的位置關系時，學生們在“數”“形”的互相交流中逐漸自己去發現諸如“兩直線異面”“兩直線平行”“三個平面平行”“三個平面兩兩相交成一個三棱柱狀”“三個平面交于一點”等直觀問題的理論描述.這樣就將一個看似較為棘手的幾何問題轉化為簡單的代數問題，培養了學生用代數方法解決具體的幾何問題的能力.

2.2 降低認知難度，實施小組“分層”教學

本課程作為數學專業的基礎課程之一，教學分為主講課、習題課和課后自學三部分.教師既要教給學生知識，還要培養他們的數學素養，從而使他們成為符合新世紀建設需要的高素質復合型人才.本課程的教學對象主要是大學一年學生，一部分同學在從中學學習到大學學習的轉變過程中，不適應每節課知識容量增加、概念抽象等情況，導致學習積極性不高，遇到問題時更欠缺分析問題和解決問題的決心.究其原因，首先，他們不能完全擺脫中學的學習模式，更傾向于以被動的方式來接納新知識.其次，新疆地處祖國西部邊陲，是多民族聚居區，隨著西部建設步伐的加快，迫切需要培養各民族大學生，但是部分邊遠地區學生相對同期入校的其他學生，中學數學基礎較薄弱，理解能力較弱，這些都或多或少影響著這部分學生的學習積極性和學習效果.主講教師根據學生的特點和實際水平，講授教材中較難理解的內容時，在堅持科學性的前提下，把通俗性與科學性有機地結合，降低理論的認知難度.例如，關于行列式按行(列)展開的教學，教材上通過證明給出兩個極為相像的等式，如何區別記憶？某一行(列)元素均乘自己的代數余子式的和是行列式的值，就好似每個人回自己家，在父母允許的情況下可以帶走家里的“所有”物品，即行列式的值；而去他人家里就什么也不可以取，即某一行(列)每個元素乘其他行(列)對應元素的代數余子式的和為“0”.通過這樣的類比，學生們立刻順利地記牢了此知識點.

整個教學過程中，在教師主導學習的基礎上，實施小組合作的分層教學方式也是必不可缺的.學生有不同的層次結構，興趣不同、目標不同、投入精力不同，因此在習題及課后自學階段，可以采取孔子提出的“深其深，淺其淺，益其益，尊其尊”的“分層教學”方法，因材施教，因人而異.在實際教學中，將一個自然班分為三層.一層同學有較好的數學基礎，對數學感興趣，有志于繼續深造；二層同學數學基礎一般；三層同學數學基礎相對薄弱.再根據個人喜好，不同層次的學生三人一組，實行小組協作式學習.課堂上，教學過程中有“合”有“分”，即有面向全體的統一講授，也有分層次的自學、答疑環節.改變傳統的教師包講，學生包聽，少數學生跟隨，多數學生“旁觀”的狀況，調動每個同學的學習積極性，使他們都能真正成為學習的主人.

華羅庚先生在維諾格拉夫的《數論基礎》的中文譯本序言中曾說：“讀該書而不做該書的習題無異于‘入寶山而空返’.”由此可見習題對數學學習的重要性.習題選擇上，不同層次的學生有不同的選擇：對一層的同學，在基礎題之外，還需留有一些拓展和加深某些知識的思考題；對二層和三層的同學，則選擇側重基礎知識和基本技能的題.除此之外，還可以在三人小組中安排所有習題的討論.由于經驗背景的差異，學生對問題的理解不同.充分利用學生之間這種差異的資源，開展互補互助性學習模式，使他們在自主探究、合作交流中，利用他人想法激發自己的靈感，創造出更好的方法.與此同時，通過交流也有效地將學生“被動”學習變為“主動”學習，更好地促進不同層次學生之間的溝通、互動，最終達到“一層、二層”提高和“三層”達標的目的.此外，三人小組還要進行知識歸類、整合.在每一章結束后，各小組派代表匯報本章的總結，小組成員接受教師和其他同學的提問，進行知識的查漏補缺，自我矯正.

2.3 引入混合教學，提高學習效率

混合教學模式被譽為顛覆性的教育創新模式[2].它結合了線上學習和傳統課堂學習的雙重優勢，在拓展學習空間、豐富學習資源、合作學習和及時促進師生交流反饋等方面卓有成效.筆者結合所在院系學生特點，選用了清華大學與學堂在線共同研發的，集教學、學習、管理功能于一身的“雨課堂”網絡平臺.在該平臺上，教師根據授課進度，以分層教學中的小組為單位，發布小組作業或個人章節測試，學生在規定時間內上傳.教師及時給出改進意見和相應分數，并對優秀的小組作業在課堂上組織匯報.這種示范效應在學生中形成了良性循環，使更多人參與到了教學活動中.在討論區還可以設定相關主題，教師與學生均可參與其中，實時解決學生在學習中出現的問題，做到“今日事今日畢”.在教學實踐中將傳統教學方式的優點和學習平臺的師生互動交流充分結合，既發揮了教師在教學過程中引導、啟發、監控的主導作用，又能讓學生積極、自主地參與到學習過程中，發揮學生地創造性.通過一年多的實驗，筆者發現學生學習的積極性明顯提高，已基本養成了自覺通過在線資源獲取學習資料的習慣，提問和交流討論次數明顯增加，最終成績顯著提升.

2.4 融入課程思政，傳遞家國情懷

在高等代數與解析幾何課程的講授中，主講教師將學生的價值塑造融入到知識傳授中來，結合具體人物作為學習榜樣，引領學生感受數學的美；繼承老一代數學家的家國情懷，樹立為民族復興，祖國強盛而努力讀書的職責和使命.通過向同學們介紹新疆大學數學學科奠基人——陳德璜先生的經歷：在建國初期懷揣“到新疆去，為祖國培養少數民族人才”的理想與信念，放棄清華大學的講師職位，響應國家號召，來到新疆民族學院(新疆大學前身)工作.從親自編寫民族學生的漢語課本，到添置教學用具；從選拔漢語水平相對較好的民族學生作為實習助教，到自學維語，陳老一步一個腳印、手把手地培養了一批批各族的數學工作者.使各族同學們深刻感受到陳德璜先生所具有的胡楊精神，同時自己作為新一代新大人要傳承這一優秀作風，與各族同學像石榴籽一樣緊緊抱在一起，接力拼搏，以豐富的知識為興疆固邊服務，為新疆社會穩定與長治久安勇于開拓、無私奉獻.

3 教學效果

通過上述措施的具體實施，在我校合班模式下已取得了良好的教學效果.首先，學生成績從之前及格人數占70.24%，平均分65分，上升到目前的及格人數占86.16%，平均分上升到70分.特別是西部地區同學的及格率從62.52%上升到82.43%.

圖1

其次，從學生反饋的調查問卷上看，62.5%的同學更為喜愛這樣的教學模式.從“雨課堂”后臺的記錄看，近24%的同學課后會去觀看課程回放，近80%的同學能通過彈幕等方式積極參與到線上討論之中，尤其是對部分基礎比較薄弱的西部地區同學，通過線上隨時隨地與教師討論及分組研究的教學模式，他們的學習主動性與成績都有很大提高.

圖2 圖3

圖4 圖5

最后，通過課程中不斷融入的思政元素，學生們對數學的熱情不斷提升，對自己肩負的責任也更加明確.從考研數據表明：2016級同學中有54.6%的人參加了全國研究生入學考試或是被保送至各高校科研院所繼續深造，其中西部同學占22.8%.2020級同學的調查問卷顯示，66.3%的同學想要畢業后繼續深造，其中西部同學占41.3%.經過了解，絕大部分同學考研的目的不僅僅是自我的提升，更是想要為家鄉的建設做出點貢獻.

圖6 圖7

4 結 論

“高等代數與解析幾何”作為數學專業的基礎課程，其教學效果直接影響學生后續課程的學習.從對本課程的教學情況看，與以往只是在教室中教師一人進行“數與形”分離的“獨角戲”模式相比，融入思政元素及混合模式的分層教學模式，使學生們完成了從“讓我學”“聽老師安排”到“我要學”“自己找題目做”的華麗轉身，引導他們尤其是西部地區的同學們培養了好的學習方法和學習習慣，從而增強了自信心，提升了學習能力，為繼續深造打下了堅實的學習基礎，進而為家鄉的穩定與發展做好充分準備.

不可否認，這幾種探索還有不足之處，如在課堂上由于合班教學的模式，不能關注到每一位學生的學習狀態，線上討論時部分學生仍舊不愿參與其中，這就不能很好地了解到每一位同學對所學知識的掌握程度.因此，我們將繼續進行更深入地探究， 將更多地挖掘出“高等代數與解析幾何”一體化教學的優勢所在.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.