研究概率統計教學,迎接新高考

潘燚云

江蘇省從2021屆開始，數學學科采用新高考模式。新高考對概率與統計模塊的考查力度很大，知識點內容增加，難度增大。在高三復習課上，要重點提升學生的數學核心素養。

下面以一節高三概率統計復習課為例，研究新高考下的概率統計教學。

一、對焦模考題，師生齊探究

（21屆高三蘇錫常鎮二模第21題）某中學的一個高二學生社團打算在開學初組織部分學生打掃校園。該社團通知高二學生自愿報名，由于報名的人數多達50人，于是該社團采用在報名學生中用抽簽的方式來確定打掃校園的人員名單。抽簽方式如下：將50名學生編號，通過計算機從這50個編號中隨機抽取30個編號，然后再次通過計算機從這50個編號中隨機抽取30個編號，兩次都被抽到的學生打掃校園。（1）設該校高二年級報名打掃校園的甲同學的編號被抽到的次數為Y，求Y的數學期望;（2）設兩次都被抽到的人數為變量X，則X的可能取值是哪些？其中X取到哪一個值的可能性最大？請說明理由。

師：我們先解決簡單的問題，X的可能取值是哪些？

生1：10≤X≤30（X∈N*）

師：很好，我們首先要求X取到每一個值的概率，再比較誰最大。先請同學們寫出X取到每一個值的概率。

生2：我的式子是P（X=n）=

生3：P（X=n）是關于n的函數，所以可以令它為f（n），求函數的最值。

設計意圖：在新高考下，概率統計可以和其他模塊的知識點綜合出題，本題是概率統計和函數綜合，考查了學生靈活應用知識的能力。

師：令f（n）=[Cn][50]·[C30-n][50-n]·[C30-n][20]

=··

=。

同學們，接下來怎么求這個函數的最值呢？

生4：求導。

生5：把正整數n先替換成大于等于1的實數x，再求導。

生6：這個里面有階乘，求導太繁了。

師：那怎么找到最值呢？

生7：f（n+1）和f（n）做商。

生7的解題過程展示：

=×=，

若（30-n）2-（n+1）（n-9）=909-52n>0，則n≤17，

當n≤17時，f（n+1）>f（n）;當n≥18時，f（n+1）

設計意圖：函數求最值是高考的高頻考點，本題中f（n）是自變量為正整數n的函數，且含有階乘，需進一步加強學生對函數求最值的應用意識。

二、鏈接高考真題，全員實戰演練

（2018年全國卷I理科第20題）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品。檢驗時，先從這箱產品中任取20件做檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品做檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p（0

師：這道題和剛才的模考題一樣，都是求概率的最大值。

生8：20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p）=[C2][20]p2（1-p）18，求f（p）的最大值即可。

生9：和剛才那道模考題一樣，f（p+1）和f（p）作商，和1比較大小。

生10：這道題p就是實數，而且也沒有復雜的階乘形式，為什么不對f（p）直接求導呢？

生10：20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p）=[C2][20]p2（1-p）18。

因此f′（p）=[C2][20][2p（1-p）18-18p2（1-p）17]=2[C2][20]p（1-p）17（1-10p）。

令f′（p）=0，得p=0.1.當p∈（0，0.1）時，f′（p）>0;當p∈（0.1，1）時，f′（p）<0。所以f（p）的最大值點為p0=0.1。

設計意圖：本題有兩個方面的用意。一是兩道題都是概率統計和函數的綜合問題，體現了新高考的綜合性和應用性;二是雖然都是求概率的最值，但是選擇的方法卻是不同的，需要學生深刻體會新高考下題目的靈活性。

新高考標志著我們已經進入“無綱可依、有章可循、標準引領、體系建設”新時代。研究新高考，功在平時。新高考下，概率統計考查的范圍越來越廣，和其他知識點結合得越來越多，靈活性和難度都有了很大提升，我們必須把握好高三復習課堂的主陣地，從容迎接新高考。

注：本文系南京市玄武區教育科學“十三五”規劃“個人課題”“基于新高考模式下的概率與統計教學的實踐研究”（“十三五”字第玄個〈中〉2020018號）的研究成果。