研究概率統(tǒng)計(jì)教學(xué),迎接新高考

潘燚云

江蘇省從2021屆開始，數(shù)學(xué)學(xué)科采用新高考模式。新高考對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)模塊的考查力度很大，知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容增加，難度增大。在高三復(fù)習(xí)課上，要重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

下面以一節(jié)高三概率統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)課為例，研究新高考下的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)。

一、對(duì)焦模考題，師生齊探究

（21屆高三蘇錫常鎮(zhèn)二模第21題）某中學(xué)的一個(gè)高二學(xué)生社團(tuán)打算在開學(xué)初組織部分學(xué)生打掃校園。該社團(tuán)通知高二學(xué)生自愿報(bào)名，由于報(bào)名的人數(shù)多達(dá)50人，于是該社團(tuán)采用在報(bào)名學(xué)生中用抽簽的方式來確定打掃校園的人員名單。抽簽方式如下：將50名學(xué)生編號(hào)，通過計(jì)算機(jī)從這50個(gè)編號(hào)中隨機(jī)抽取30個(gè)編號(hào)，然后再次通過計(jì)算機(jī)從這50個(gè)編號(hào)中隨機(jī)抽取30個(gè)編號(hào)，兩次都被抽到的學(xué)生打掃校園。（1）設(shè)該校高二年級(jí)報(bào)名打掃校園的甲同學(xué)的編號(hào)被抽到的次數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望;（2）設(shè)兩次都被抽到的人數(shù)為變量X，則X的可能取值是哪些？其中X取到哪一個(gè)值的可能性最大？請(qǐng)說明理由。

師：我們先解決簡單的問題，X的可能取值是哪些？

生1：10≤X≤30（X∈N*）

師：很好，我們首先要求X取到每一個(gè)值的概率，再比較誰最大。先請(qǐng)同學(xué)們寫出X取到每一個(gè)值的概率。

生2：我的式子是P（X=n）=

生3：P（X=n）是關(guān)于n的函數(shù)，所以可以令它為f（n），求函數(shù)的最值。

設(shè)計(jì)意圖：在新高考下，概率統(tǒng)計(jì)可以和其他模塊的知識(shí)點(diǎn)綜合出題，本題是概率統(tǒng)計(jì)和函數(shù)綜合，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力。

師：令f（n）=[Cn][50]·[C30-n][50-n]·[C30-n][20]

=··

=。

同學(xué)們，接下來怎么求這個(gè)函數(shù)的最值呢？

生4：求導(dǎo)。

生5：把正整數(shù)n先替換成大于等于1的實(shí)數(shù)x，再求導(dǎo)。

生6：這個(gè)里面有階乘，求導(dǎo)太繁了。

師：那怎么找到最值呢？

生7：f（n+1）和f（n）做商。

生7的解題過程展示：

=×=，

若（30-n）2-（n+1）（n-9）=909-52n>0，則n≤17，

當(dāng)n≤17時(shí)，f（n+1）>f（n）;當(dāng)n≥18時(shí)，f（n+1）

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)求最值是高考的高頻考點(diǎn)，本題中f（n）是自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，且含有階乘，需進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)求最值的應(yīng)用意識(shí)。

二、鏈接高考真題，全員實(shí)戰(zhàn)演練

（2018年全國卷I理科第20題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品。檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件做檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0

師：這道題和剛才的模考題一樣，都是求概率的最大值。

生8：20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p）=[C2][20]p2（1-p）18，求f（p）的最大值即可。

生9：和剛才那道模考題一樣，f（p+1）和f（p）作商，和1比較大小。

生10：這道題p就是實(shí)數(shù)，而且也沒有復(fù)雜的階乘形式，為什么不對(duì)f（p）直接求導(dǎo)呢？

生10：20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p）=[C2][20]p2（1-p）18。

因此f′（p）=[C2][20][2p（1-p）18-18p2（1-p）17]=2[C2][20]p（1-p）17（1-10p）。

令f′（p）=0，得p=0.1.當(dāng)p∈（0，0.1）時(shí)，f′（p）>0;當(dāng)p∈（0.1，1）時(shí)，f′（p）<0。所以f（p）的最大值點(diǎn)為p0=0.1。

設(shè)計(jì)意圖：本題有兩個(gè)方面的用意。一是兩道題都是概率統(tǒng)計(jì)和函數(shù)的綜合問題，體現(xiàn)了新高考的綜合性和應(yīng)用性;二是雖然都是求概率的最值，但是選擇的方法卻是不同的，需要學(xué)生深刻體會(huì)新高考下題目的靈活性。

新高考標(biāo)志著我們已經(jīng)進(jìn)入“無綱可依、有章可循、標(biāo)準(zhǔn)引領(lǐng)、體系建設(shè)”新時(shí)代。研究新高考，功在平時(shí)。新高考下，概率統(tǒng)計(jì)考查的范圍越來越廣，和其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合得越來越多，靈活性和難度都有了很大提升，我們必須把握好高三復(fù)習(xí)課堂的主陣地，從容迎接新高考。

注：本文系南京市玄武區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃“個(gè)人課題”“基于新高考模式下的概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)的實(shí)踐研究”（“十三五”字第玄個(gè)〈中〉2020018號(hào)）的研究成果。