探討深度學習導向的單元教學設計

王利鋒

摘 要：一課時、一個單元的設計是否恰當、成功，應關注在該主線、主題下，基于統一的研究視角，通過派生下位學習，螺旋重現，形成對本主題中大概念學習的一般觀念、一般方法，增強主題構架對學生學習思維、方法的吸附力，形成深度學習，促進深度學習方法的元認知。

關鍵詞：單元教學;深度學習;整體教學

高中數學人教A版（2019）新教材必修二將正余弦定理放在平面向量的應用單元下，旨在突出向量作為研究幾何與代數工具的邏輯主線。用向量方法研究三角形性質所得到的“產物”很多，正余弦定理簡潔、經典而得以關注與重用。向量單元的性質研究的統一視角是：在研究對象的基本表示（向量式）下，通過其內含要素的特殊關系、運算進行分化，形成性質。研究坐標運算（平面向量基本定理下的性質）、數量積等性質，都是基于該視角進行。

基于該研究視角下，筆者提出了三大步構想：首先，整體研究正余弦定理，螺旋重現性質的一般方法，這一步也是形成向量主題承前啟后的關鍵節點;然后進行解三角形的簡單應用，同時在面對組合三角形時，適時伴隨向量方法;最后，融入實際問題情境中的建模應用。鑒于篇幅有限，本文只展示第1課時向量法整體研究正余弦定理的教學設計：

教學環節1：發現問題

問題1：影響一個三角形的形狀與大小的基本要素有哪些？

問題2：這些要素之間的關系，你已經學過哪些？還會存在更多的邊角等量關系嗎？

設計意圖：引導學生從初中學過的證明三角形全等的方法（SSS，AAS，ASA）中發現問題。

教學環節2：分析問題

問題1：三角形中的邊角關系中都是長度與角度，我們在以前的學習中，有沒有聯系長度與角度的工具？

問題2：你能用什么向量形式語言表示一般△ABC？

問題3：-=是一個向量關系，但邊角關系是數量關系，如何將其“數量化”？

設計意圖：問題3是一個關鍵的探究過程，需要學生回顧梳理向量的運算，從而發現內積運算是將向量關系轉化為數量關系的運算，即需要將三角形中的向量與另一個新向量作內積，是后續探究與不同的新向量產生不同性質的“先行組織者”，也是性質之源。

教學環節3：性質探究

問題1：對于關系式中的向量與什么樣的向量作內積后，能產生一個只有邊與角的數量關系？（盡量不含邊角以外的量）

設計意圖：與不同的向量相乘，產生不同的性質，在向量的選擇上，依據數量積的運算特點，首先容易想到自乘（平方），然后是三角形三邊所在的向量，對于與三邊所在的向量垂直的向量，可能有些學生難以聯想到，教師可以根據學生的探究情況進行適當引導。

備用問題2：根據垂直向量的數量積，你還能有其他的選擇嗎？

筆者從實際教學結果來看，學生得到的邊角關系中包含正余弦定理、射影定理，還有些是定理的變形形式，在當初學習數量積時，探究其性質，也是通過對內含要素的特殊化（作數量積的兩向量相等、夾角為0，90°，180°，銳角，鈍角等）的視角進行探究，重現探究性質時從一般到特殊的研究路徑：

（1）與自身相乘（平方）得到余弦定理，這是數量積運算較為特殊的情形，是長度與角度的融合。

（2）與同乘一個“現成”的向量（，，中某一個），或者與其同向的單位向量，意外收獲一套“射影定理”，其幾何直觀是兩邊所在的向量在第三邊方向上的投影的疊加，蘊含“射影”的意義。

（3），，與垂直的一個向量相乘，得到正弦定理，其幾何直觀是兩邊所在的向量在垂直于第三邊方向上投影的數量相同。

（4）還有其他學生根據關系式-=的特點，利用平方差公式，兩邊同乘+，兩邊同時得到：c2-b2=accosB-abcosC，只是這些性質，沒有像正余弦定理那樣簡潔、經典而已。

教學環節4：方法總結

問題：請你嘗試總結一下用向量工具研究幾何性質的一般方法。

設計意圖：-=是三角形邊角關系的隱性表示，通過與不同向量的數量化后，出現了不同外顯形式的邊角關系;在基本概念、一般觀念的界定下（三角形法則可以作為三角形圖形的表示），基于統一的研究視角下，讓學生螺旋重現從一般到特殊的性質探究，是學生性質探究的一般方法與路徑，也是將來學習其他性質（如“用向量方法探究三角形性質”）的先行組織者。

單元教學、學習不是“拼盤”，需要在主線、主題的框架構建下，統一大概念的一般觀念、研究視角，不斷螺旋上升、重現，在知識內容載體的學習中，形成一般觀念，在學生發現問題、分析問題、解決問題的過程中，不斷強化主題構架的思維吸附能力，達到深度學習的目的，逐步形成對深度學習的元認知。

參考文獻：

[1]章建躍.數學學科核心素養導向的“單元-課時”教學設計[J].中學數學教學參考，2020（5）：5-12.

[2]章建躍.數學學科核心素養導向的“單元-課時”教學設計（續）[J].中學數學教學參考，2020（6）：6-12.