在微專題中開展深度教學

徐建新 陳麗真

[摘? 要] 文章以“隱性圓”的微專題教學為例，通過深度轉化、 深度探究、深度延伸，引導學生歸納出各種“隱性圓”的類型，培養學生轉化與化歸、數形結合、特殊到一般等思想，旨在以教師的深度教學促進學生的深度學習.

[關鍵詞] 深度教學;隱性圓;轉化;探究;延伸

“微專題教學”是指以某一具體的知識點或數學思想和方法為主題，圍繞與該知識點或方法關聯緊密的一些具體問題設計教學. 微專題學習目標單一、實用有效，因選題精、針對性強等特點，成為高三教學，尤其是二輪復習較常采用的教學方式.本人認為微專題教學在系統歸納知識方法的同時，還要在“深度”上下功夫，旨在引導學生自主建構知識體系，更深刻地理解和把握數學知識.

本文以課本的例習題、高考題等為載體，通過挖掘、拓展等方式，歸納“隱性圓”的幾種常見類型，使學生經歷數形轉化、從特殊到一般、課外探究等過程，增強學生自主學習、深度學習的意識，達到活化學生數學思維和發展學科核心素養的目的.

[?]在細致審題中深度轉化

數學問題中的條件往往由文字語言、符號語言、圖形語言等進行綜合表征，大都是直接呈現，但也蘊含一些隱含條件，教學時要引導學生細致審題. 審題，是對具體問題進行分析，提取貯存在大腦中的知識，尋求解題思路和方法. 審題要對信息經歷“發現→記錄→轉譯→整合”的過程，其中“轉譯”就是要求能對條件進行合理地轉化，甚至是對某些不是直接呈現的條件或需要挖掘才能發現的潛在信息進行深度轉化. 轉化是極其重要的數學思想.通過不斷地轉化，把不熟悉、復雜的問題轉化為熟悉、簡單，甚至模式化的問題，它不但使問題化難為易，而且能提高學生的思維品質，提高學生分析問題與解決問題的能力.

例1：（2020屆福建省漳州市三月質量檢查理科15題）已知圓O：x2+y2=1，圓N：（x-a+2）2+（y-a）2=1. 若圓N上存在點Q，過點Q作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠AQB=60°，則實數a的取值范圍是_______.

分析：如圖1，如何應用條件“∠AQB=60°”是學生思維的障礙點.

由AQ，BQ與圓O相切，可知△OAQ≌△OBQ. 連接OQ，由∠OAQ=90°，∠AQO=30°，OA=1，得OQ=2，即點Q的軌跡方程為圓T：x2+y2=4. 要使圓N上存在符合條件的點Q，則圓N和圓T有公共點，需滿足1≤≤3，解得a的取值范圍是

1-，

1+.

本題挖掘題目隱含的幾何信息，對條件做兩次轉化：第一次，利用三角形全等，將∠AQB=60°轉化為Rt△OAQ中∠AQO=30°. 由直角三角形的性質，得到OQ=2，點Q的軌跡為圓;第二次，將“存在性”問題轉化為學生熟悉的兩圓有公共點問題，順利地找到實數a應滿足的不等式條件.

由該例題，歸納“隱性圓”的第一種類型.

類型一：圓的定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.

例2：（2018年高考上海卷12題）已知實數x，x，y，y滿足：x+y=1，x+y=1，xx+yy=，則+的最大值為__________.

分析：由代數式x+y=1，聯想到圓的方程. 因此，設點A（x，y），點B（x，y），則點A，B在單位圓上.“+”表示點A，B到直線l：x+y-1=0的距離之和，是線段AB的中點D到直線l的距離的2倍，如圖2. 因AB是動弦，需解決動點D的軌跡問題. 回到題目條件“xx+yy=”，該代數式是否也有幾何意義？若有，表示什么？聯想到向量數量積公式，有·=xx+yy，即

·

cos∠AOB=，得∠AOB=. 由此，在等邊三角形AOB中，OD=. 所以，點D的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓. 如圖3，當OD與直線l垂直時，點D到直線l的距離最大，為.所以，+的最大值是+.

數學問題的條件有時是代數表達式，有時是幾何條件，往往需要借助數形結合實現二者的相互轉化. 在本題中，首先，抓住數量關系中隱藏的“圖形”，由代數式聯想到幾何意義，將條件轉化為“單位圓上兩點A，B滿足∠AOB=”;其次，將求解目標轉化為“點A，B到直線l的距離之和”，并利用梯形的性質，將兩條線段的長度之和轉化為“梯形中位線的2倍”. 通過轉化將抽象的問題直觀化，借助圖形的幾何性質探索代數式的最值問題，使問題明朗化.在轉化過程中，動點D到直線的距離又是一個難點. 由等邊三角形得到點D到原點的距離為定值，滿足圓的定義，得到點D的軌跡是圓，最終將問題轉化為“圓上的動點到定直線的距離的最值”問題. 通過以上層層深度轉化，使原問題輕松獲解.

[?]在特殊到一般的推廣中深度探究

我們知道：在圓中，直徑所對的角為直角;反之，當定點A，B所對的∠APB為直角時，點P的軌跡是圓.

探究1：將“∠APB為直角”用向量表示，得到第二種類型.

類型二：兩定點A，B，動點P滿足·=0，則動點P的軌跡是圓.

設

AB

=2a（a>0），以AB所在直線為x軸，AB中點為原點，建立直角坐標系.設P（x，y），由·=0，化簡得x2-a2+y2=0①，即x2+y2=a2. 在這個過程中，教師可引導學生進一步探究：①式的右邊“0”改成其他常數，也可能是圓.即若·=λ，同理可得x2+y2=a2+λ，只需a2+λ>0，點P的軌跡也是圓.

推廣1：兩定點A，B，動點P滿足·=λ（λ為常數），且λ+AB2>0，則動點P的軌跡是圓.

例3：已知△ABC中，

=10，·=-16，D為邊BC的中點，則

等于

（? ）

A. 6? B. 5? C. 4? D. 3

分析：根據推廣1，由·=-16，猜想點A的軌跡是圓. 如圖4，以BC所在直線為x軸，D為原點，建立直角坐標系.設A（x，y），由·=-16，化簡得x2+y2=9，即點A的軌跡是以D為圓心、半徑為3的圓. 所以選D.

注：在推廣1中，“λ+AB2”即是該圓半徑的平方. 在本例中，可直接由此求得圓的半徑為3.

探究2：將“∠APB為直角”用數量關系表示為“PA2+PB2=AB2”，即由學生熟悉的勾股定理，得到第三種類型.

類型三：兩定點A，B，動點P滿足PA2+PB2=AB2，則動點P的軌跡是以AB為直徑的圓.

設

AB

=2a（a>0），以AB所在直線為x軸，AB中點為原點，建立直角坐標系.設P（x，y），由PA2+PB2=AB2，得（x+a）2+y2+（x-a）2+y2=（2a）2 ②. 化簡得x2+y2=a2. 同樣地，②式的右邊（2a）2改為其他常數，也可能是圓. 即若PA2+PB2=λ，可得（x+a）2+y2+（x-a）2+y2=λ，化簡得x2+y2=-a2.

推廣2：兩定點A，B，動點P滿足PA2+PB2=λ（λ為常數），且2λ>AB2，則動點P的軌跡是圓.

從初中圓的一條幾何性質出發，通過改變條件的表現形式，改裝成高中的符號語言，在用“坐標法”研究軌跡方程的過程中，把握圓方程的本質，深度探究，將結論從特殊到一般進行推廣.教師在簡單的基礎知識復習中，追本溯源，展現知識生成過程，通過改編、推廣或加強命題，基于學生的學段和學情，螺旋式上升地設計教學，使教學具有深度.

[?]在課外拓展中深度延伸

例4：（2004年人教A版必修2，第124頁B組練習題3）已知點M與兩定點O（0，0），A（3，0）的距離比為，求點M的軌跡方程.

分析：設點M（x，y），由=，得（x+1）2+y2=4.

通過該題，將特殊問題一般化，得到第四種類型.

拓展1（類型四）：兩定點A，B，動點P滿足=λ（λ>0，且λ≠1），則動點P的軌跡是圓，稱為阿波羅尼斯圓.

例5：（2020年龍巖市高中畢業班質量檢查理科16題）現有△ABC，AC=4，sinC=2sinA，則當△ABC的面積最大時，AC邊上的高為__________.

分析：由正弦定理，sinC=2sinA?BA=2BC. A，C為定點，因此，點B的軌跡是阿波羅尼斯圓. 如圖5，建立直角坐標系.A（-2， 0），C（2， 0），B（x，y） ，由BA=2BC，可求得點B的軌跡為圓E，方程為

x-2+y2=. 當BE⊥x軸時，△ABC的面積最大，AC邊上的高為該圓的半徑.

教師還可以要求優秀學生課外閱讀、了解阿波羅尼斯圓的性質.

拓展2：如圖6，設M，N分別為線段AB按定比λ分割的內分點和外分點（即==λ），則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且MN=AB.

在例5中，由BA=2BC，得定比λ=2. 由拓展2，可知該阿波羅尼斯圓的直徑是.△ABC的面積最大時，AC邊上的高為圓的半徑.

以教材為背景，對教材展開充分的思考和研究，將一些與課內學習的知識相關聯的但無法在課堂上解決的問題“拋”出，在課外拓展中深度延伸，力爭獲得教材背后所蘊含的知識外延. 課外拓展能促進知識的深化和遷移，為優生數學思維和能力的提升提供空間.

微專題更注重知識間的內在聯系，通過更深層的邏輯關系建立更深刻、更系統的知識體系. “微專題教學”在追求精準教學的同時，應關注深度教學.教師利用微專題，確定準確的教學目標，深化教學設計，對知識、結論進一步發掘和拓展;重視教學過程中不斷地驅動學生的思考，促使學生主動探究，以此強化學生對已掌握的知識進行更深層次的應用.在微專題中開展深度教學，能有效促進學生從憑經驗的淺層學習到有思考的深度學習，實現“因微而深”的教學效果，更能培養學生的高階思維;反之，基于學生深度學習基礎上的深度教學更能提高學生的探究能力，將核心素養落實到實處.? 二者的融合使得教學相長，相得益彰.