以《三角形的面積》為例論述有效數學課堂的建構

王華佳

【摘要】本文以《三角形的面積》教學為例，論述在小學數學教學中提高課堂有效性的策略，提出在課前布置合作探究任務、課中開展合作交流、課后互助提升等教學建議，以提高學生的自主學習能力、合作溝通能力和思考探索能力，建構高效的數學課堂。

【關鍵詞】小學數學 《三角形的面積》 自主學習 有效教學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）09-0088-02

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出，學生的學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。參與實踐、自主探究、交流協作都是學習數學的重要方法。在人教版五年級上冊《三角形的面積》一課中，教師應積極挖掘有探究意圖、能承載數學意識、含有數學思想方法的教學內容，要充分發揮課本例題、習題的功能，以課本例題、習題為藍本進行探究主題的創設，把教材中靜態的知識轉化為“主動觀察、動手操作、產生疑惑、提出猜想、得出規律、反思驗證”的動態過程。另外，探究的素材應具有一定的挑戰性和趣味性，能夠激發學生主動探究的欲望。例如，學生經歷將兩個相同的三角形拼成一個平行四邊形的操作活動，在觀察和交流中發現三角形面積與平行四邊形面積之間的關系，并能準確表達三角形和平行四邊形的關系。這樣的設計既有利于學生主動運用經驗，又有利于學生對問題進行深入有效的研究和討論，進一步發展學生的數學思維。

一、課前布置探究任務

（一）《三角形的面積》教材分析

《三角形的面積》是“圖形與幾何”的范圍，是小學階段學習幾何知識的重要內容，也是學生今后學習其他幾何知識的基礎。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確指出，教師應引導學生利用方格紙或割補等方法探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式。為落實這一目標，該部分教材內容均是以探索活動的形式出現的。學生在學習三角形面積的計算方法之前已經親身經歷了平行四邊形面積計算公式的推導過程，因此教師可以借鑒前面學習的轉化的數學思想進行教學，這樣有利于培養學生的探索能力。

新課改以來，在教學圖形面積計算時，教師把通過探索獲得面積計算公式作為重要環節滲透轉化的數學思想，但每次的轉化教學分別要落實到什么程度以及是否有不同的側重點，則需要進一步思考。翻閱人教版、蘇教版、北師大版三套教材，筆者發現其單元結構和課時安排類似，均以“平行四邊形—三角形—梯形”為序，在《平行四邊形的面積》一課中主要呈現的是從平行四邊形到長方形的等積轉化，而三角形的面積計算公式推導則強調通過“加倍”（即要構造一個全等圖形來拼組）得到相應的平行四邊形再比較、計算，至于梯形面積計算公式的推導，則呈現出算法多樣化的取向，鼓勵學生開展對圖形的多元分析，在此基礎上得出一般算法。教材普遍這樣編寫，提示我們：這個單元各課的教學目標既相互呼應，又層層遞進。因此，對“三角形的面積”新授課來說，不僅要繼續強調轉化的思想，更要落實一種常用的轉化方法——加倍法。因為“加倍法”（或稱“鏡像法”）是一種典型的化歸方法，不僅對圖形轉化有用，而且在解決其他數學問題時也會用到。

（二）《三角形的面積》背景分析

在學習“三角形的面積”之前，教材安排了認識三角形（包括學習三角形的三邊關系、內角和、三角形的分類等）、長方形的面積、平行四邊形的面積等內容，為學習三角形的面積奠定了基礎。三角形的面積教學主要是通過操作活動——剪拼三角形，求出拼成的平行四邊形和每個三角形的面積，進而從多組數據中發現平行四邊形和三角形的關系，在操作中發現拼成的平行四邊形的底和高與三角形的底和高的關系，根據關系和之前學習的相關經驗，引導學生獨立推導出三角形的面積公式;最后再通過練習鞏固知識，學會用三角形的面積公式解決實際問題。這部分內容的重點是讓學生在探究活動中經歷三角形面積公式的推導過程，掌握三角形面積公式并體會轉化方法的應用。

可以看出，三角形的面積教學的難點是組織學生自主加入三角形面積計算公式推導的整個過程。在這節課教學中，教師要積極創設情境，讓學生經歷“發現問題—提出問題—提出猜想—進行驗證”等探究活動，引導學生自主推導出三角形面積的計算公式。

（三）課前探究任務設計

課前，筆者通過布置“三角形面積的計算方法”的探究任務，讓學生通過銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形等幾何圖形學具來探討，要求學生在課前根據以下要求自主探究：

1.三角形如何轉化成已學過的其他圖形？

2.觀察轉換后的圖形和原來的三角形，你發現了什么？

3.有了這些發現，你能寫出三角形面積的計算公式嗎？

4.把你的推導公式過程梳理一下，在下一節課上說給大家聽。

二、課中合作交流

有了課前的自主探究，學生經歷了圖形的轉化過程，初步了解了三角形面積計算公式的推導，接著筆者引導學生思考、交流以下問題：

1.你打算把三角形轉化成什么圖形來計算面積？轉化后的圖形與原三角形之間有什么關系？（邊說邊操作把三角形轉化成你想要的圖形）

2.說一說自己推導得到的三角形面積公式以及推導過程。

3.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形都可以用同一種方法推導嗎？

教學片段如下：

師：相信同學們已經根據之前布置的學習任務進行了三角形面積計算的相關探究，現在請你們在小組內分享你的收獲。可以結合以上3個問題來組織語言。

生1：我使用的是兩個銳角三角形，拼成了一個平行四邊形。銳角三角形的底和高分別也是這個平行四邊形的底和高，因為平行四邊形的面積等于底乘高，所以再除以2就可以得到這個銳角三角形的面積。

生2：我有個疑惑，你是任意的兩個銳角三角形拼起來的嗎？如果一大一小還能拼成嗎？

生3：我覺得要等底等高的兩個銳角三角形才行。

生4：我覺得還是拼不成，如果形狀不同是沒辦法拼成的。

生1：哦，我懂了，應該要兩個完全相同的銳角三角形才能拼成。

生2：對，“完全相同”很重要。其實你剛才使用的就是兩個完全相同的三角形，只是總結的時候漏了這些關鍵字。

生4：我也來說說我的方法，我使用的是兩個完全相同的直角三角形，拼成了一個長方形……

在合作、交流、討論的過程中，教師還應相機引導學生充分利用幾何直觀，將自己轉化、推導的過程表述清楚，大膽提出自己的疑惑，爭取在交流中達成共識。從而發展學生的空間觀念，培養學生的幾何直觀能力與推理能力。

有了課前的探究和課中的交流討論，學生進一步提高了發散思維和以多種方法解決問題的意識及能力，面積公式的推導方法除了有“用兩個完全相同的三角形拼一個平行四邊形”，還有“將一個直角三角形剪拼成一個長方形”和“將一個銳角三角形折疊成一個長方形”等新的推導面積公式的思路。最后，教師通過“不同的三角形都可以用同一個公式推導嗎”這一問題的交流，讓學生發現以上3種推導方法都適用于任意三角形。

三、課后互助提升

課后布置小組合作學習任務單：以下說法正確嗎？為什么？小組內一人思考一個問題，通過錄制語音或者視頻簡要說明自己的想法。語音或視頻發到所在學習小組群。最后，達成共識后由組長填寫答案，第二天上交。

1.兩個等底等高的三角形一定可以拼成一個平行四邊形。（? ）

2.兩個三角形可以拼成一個平行四邊形。（? ）

3.三角形的面積是平行四邊形面積的一半。（? ）

4.兩個面積相等的三角形，它們的底和高一定分別相等。（? ）

這樣設計教學環節，從學生的易錯點出發，通過課后在微信學習小組群交流探討，幫助學生加深理解三角形與平行四邊形的關系，進一步深化學生對三角形面積公式的理解。

從以上教學案例可以看出，在小學數學教學中，通過課前布置學習任務，課中交流討論，課后布置討論任務，能讓學生主動認領“任務”，積極地相互配合與研討;通過教師在課堂上引導學生開展交流討論互動，使課堂氛圍輕松而又有序，活潑而又認真。讓學生在有趣的課堂氛圍中主動探究、相互協作、大膽猜想，不僅培養了學生的自主探究意識，而且培養了學生的團隊合作精神。

（責編 林 劍）