手執無形尺，心向“度量”思

翟育敏

摘 要：六年級備課加上新世紀組織的辯課活動，讓我研究網絡辯課時對方的課程《生活中的比》，于是先向自己提問。

關鍵詞：小學數學;生活;案例研究

案例研究背景：

①常規發問：什么是比？回答：兩個數相除就是這兩個數的比。

②進階追問：比有什么用處？回答：表示兩個量之間倍數的關系。

③思維叩問：除法能表示兩個量之間的倍數關系，為什么還要學比？這個問題，也來自于張丹教授對學生的提問。

④定向質問：新世紀將“比”歸于“度量”，何意？

于是，個人認為自己去尋找一個能說服自己的答案，才能幫助、引導、說服學生，所以需要對此進行研究。

本課研究是《生活中的比》第一課時，只研究同類量的比。

關于度量的研究：

①查閱、搜集資料，得到與自己以往相同的認知。

② 思考，產生與以往不同的認知。

比、比率的概念與比例推理是度量的核心思想之一。

案例過程描述：

經過課前自己的學習、探究，對上課內容的多次調整，上課時刻意關注了學生的狀態。

一、像不像與比。

本節課問題串第一個問題就是“哪幾張圖片與圖A比較像”，所以咱們的研究也從“像不像”這個問題入手，如何界定像不像？借助方格圖，我們完成了問題串第二個問題關于“長和寬有什么關系”的探究。既可以橫向比較又可以縱向比較，兩張圖片長與長的商、寬與寬的商相同就像，或者兩張圖片各自長與寬的商相同就像。無論哪一種比較方式都得到一個結論：商相同就像。像這樣，兩個數相除又叫這兩個數的比。于是將剛剛所說的兩個數相除通通換成兩個數的比，長與長的比、長與寬的比是最基本的長度之間的比，商相同就變成了了比值相同，也就是“比”相同，于是知道“比相同的兩張圖片像”。

二、源于生活的比。

《生活中的比》一定是源自于生活的，于是大量的生活中的例子為學生呈現出來，這是在解決問題串中第四個問題“你能聯系實際說說生活中有哪些比嗎”。學生在說之前我們可以先提供一些生活中的比，促進學生聯想與理解。

①洗手液與水的體積比為2：1的泡泡水。

②咖啡粉與水的質量比為4：1的咖啡。

③“一硝二磺三木炭”的黑火藥最初配方。

④《考工記》中關于青銅器中銅、錫的成分比例。

⑤中餐的“少許”、“適量”與西餐嚴格的配比。

……

這些生活中的比體現了數學來源于生活，也為之后我們體會“為什么要學比”“比有什么作用”打下知識與情境的基礎。

三、變與不變的規則。

剛剛我們舉例中的體積比、質量比其實就是“按比分配”，當然這都是同類量的比。為什么要“按比分配”？不過就是為了保證規格始終不變，改變咖啡粉的質量就得改變水的質量只為保證口味不變，如何變，是有規則的，這個規則就是比，所以在“變與不變”中讓學生體會，不變的是兩個數量的比，而這個“比”保證了咖啡質量不變。其實這也是呼應開課時的“像不像”。

四、一把有用尺。

有了變與不變的基礎，再往深挖掘，詢問學生：“既然除法可以表示倍數關系為什么還要學比呢？”生1：“多學一點也無妨。”生2：“比簡單，看起來很清楚。”生3：“除法只能表示兩個量之間的倍數關系，但是比可以表示很多個量之間的關系，比如硫磺、硝石、木炭就是三個量的比。”很好，又解決了一個問題③。“比具有直觀表示的特點，比可以表示多個量之間的關系。”比是有用的、有價值的，區別于除法的價值或者說是優于除法的價值。

五、一把無形尺。

說了比的有點，展開想象，詢問學生：“你覺得比像什么？”生1：“比像一把尺子，測量了咖啡的口味。”生2：“比像一個模具，做出了一樣的東西。”生3：“比像一個標準，比就是一個標準，不符合這個標準，做出來的就是不合格的產品。”于是，問題②④解決，“比”就是一個度量的工具，不過是無形的工具。就此，比的度量價值就特別充分了。

六、碰撞“萬千思”。

課堂總結階段，引導學生談收獲，說想法。同學們想探討的問題還很多。

請接受自學生的“靈魂拷問”：

①多個量比時每個量有沒有具體名稱呢？

②如何計算多個量的比值呢？

③比能為負的嗎？

④比的后項不能為0，那么前項呢？

案例研究分析：

一、舊識引新知。

1、舊識依舊在，且無錯誤言。

“度量”是中小學數學課程中的一條主線。度量是指用一個帶單位的數值來描述可測量物體或現象的某一個屬性，從而形成某個含有特殊含義的量，如長度、面積、體積、角度、重量（質量），方位、溫度、時間、貨幣等。這些都是“可測量”屬性，是借助工具得到的，是人實踐的結果。我們常說的“度量”該是指工具度量，這是我已有的舊識，這也是說起度量學生們的認知。

2、舊識發深思，且思且新知。

問題的產生讓我思考，于是我想長度能度量、面積能度量、體積能度量、角度能度量，顏色能度量嗎？顏色也是物體的屬性，它該如何度量？是的，這就得借助“比”這個工具了。黃色和綠色顏料調配在一起一定是藍色嗎？我想要的藍色是你配出來的藍色嗎？所以這就需要有一個標準，而這個標準，就是比。如此，比就體現了自己的價值，不用去做除法，它就像一把尺子一樣存在于那里。“比”不再是簡單的兩個數相除了。思考引發了新知。對于學生而言亦是如此，學生在想“比”的時候不再是簡單地認為就是兩個數相除，他對于比的理解更加深刻。

二、新知解舊識。

1、新知讓舊識更加全面。

常規發問①的深度思考，“兩個數相除又叫做兩個數的比”這是數學世界里比的數學意義，揭示的是數學知識之間的聯系，或者說在數學世界里除法是比的來源。我們“兩個數相除”與“兩個量的比”并不是等價的概念，兩個量的比可以轉化為兩個數相除，但兩個數相除不能籠統地說就是這兩個數的比。

2、新知讓舊識更加理性。

以比的概念形成發展過程縱觀：最先是同類量的簡單倍數比較，如甘蔗飲料的配比1：5;接著是同類量的復雜比，如樹高與其影長之比，具有函數對應的背景;再次是不同類量的比較，具有量綱，如速度;最后，則是從“量”到“數”，引出兩個無量綱的數的比。我們從比的數學定義入手，讓學生思考，既然比與除法、分數都能表示兩個數之間的倍數關系，那為什么還要學習比呢？素材的借助，小組探究的開展，讓學生們逐步理解比在表示多個量之間的倍數關系時更具優勢，更加直觀;讓學生體會到比就像模子一樣，它表示了變化量中不變的關系，它可以對應許多的量。學生的感受是我們最應該關注到的，與去年所帶六年級學生相比較，這一級的孩子，對于“比”的了解從是什么、怎么用，上升到了有什么優勢、為什么要用、可以怎樣更好地用。

3、新知讓舊識更加豐滿。

“比”不再是孤單的比，更有其豐滿的意義。

一個標準，一個模具，一把尺子，一把無形的尺子，容納太多。糖水甜不甜，只看糖的多少不行，還要看水的多少，要把糖和水的關系刻畫出來，這就是關于甜不甜的一種度量。比既是“模具”，若為3：5，只需要滿足3份和5份的關系就可以;比又是一把無形的“尺子”，可以量一杯水甜不甜，量一個人走得快還是慢，量這個商品的價格貴還是便宜，量斜坡陡不陡，量是不是你想要的湖藍色，還能量咱倆究竟誰胖而不僅僅是誰重……有的時候需要深入研究的不僅僅使我們，更應該是要讓孩子們學會去思考，不僅僅是我能從書上知道什么，還可以去了解教材中為什么這樣去安排，價值如何，那么數學知識系統地構建就是成功的、深刻的、豐滿的。

我們都是六年級的老師，我們的學生們大都面臨著不同程度的小升初，能快速準確地解決問題也是我們希望孩子們所擁有的能力。說這個或許有些老師覺得我有點實際，但這也是我們靈活應用知識的一個表現。在上學期比的認識單元學習之后，我們遇到了這樣一個問題，于小學六年級的孩子而言，是比較困難的，因為好理解的方法不好計算，好計算的方法不好理解。

（有甲乙兩塊含銅率不等的合金，甲塊重12千克，乙塊重18千克。現從兩塊合金上各切下重量相等的一部分，將甲塊上切下的部分與乙塊剩余的部分一起熔煉，再將乙塊上切下的部分與甲塊上剩余的部分一起熔煉，得到的兩塊新合金的含銅率相等，從每塊切下的部分各重多少千克？）

方法一：設三個未知數--簡單的關系，復雜的計算

方法二：設數、設未知數--大膽地猜想，小心地求證。

方法三：極值--復雜的思維基礎，簡單的解題過程。

往極端想，假如甲塊是100%的純銅，而乙塊是不含銅的金屬，也就是0%的含銅率。聯想我們的糖水，甲全是糖，乙全是水，那么當我們把這12千克的糖和18千克的水完全混合在一起之后，得到的糖水的含糖率為12÷（12+18）=40%。那么這時，甲杯中的糖就有12×40%=4.8（千克），而原來有12千克的糖，所以給乙的那部分就該是12-4.8=7.2千克。同樣的，說回100%的銅與含銅率0%的金屬，道理是同樣的。所以如果我們采用極值的思想，那么只需簡單的過程就可以解決問題。

如果我們用第四種方法，“構建比的模子關系，發揮比的度量作用”，相對來說就簡單很多。比就像一個模子，背后藏著很多符合這個標準的量。甲塊與乙塊的質量比為12比18，也就是2比3，由于要進行等質量的交換，交換后正好含銅率相同，那么我們只要保證我們分割或者合成的每一塊內含有甲乙的質量比均為2比3，就能得到一塊塊含銅率相等的合金。所以，新合成的合金中，第一塊只需保證包含的原來甲乙兩類的質量比為2比3，也就是包含甲12÷（2+3）×2=4.8（千克）即可，那么剩下的部分就應該來自原來乙塊，同樣的甲塊剩下的部分也轉移給了乙，也就是12-4.8=7.2（千克）。

一把尺子，有形，是工具，能度量;

一把尺子，無形，依舊是工具，依舊可度量！

愿每一位老師眼有光、心有思、手執尺、“渡”少年！

參考文獻：

[1]小學數學課堂教學有效提問策略的研究與實施分析[J]. 楊峰. ?中華少年. 2018（35）

[2]“有效提問的策略”在小學數學課堂教學中的思考[J]. 肖江. ?中學課程輔導（教師通訊）. 2018（20）

[3]數學課堂教學中實現有效提問的對策[J]. 江學宏. ?小學教學參考. 2018（02）