利用GeoGebra輔助物理教學

摘? ?要：用常規繪制一維方向上電勢分布圖的教學方法來復習電勢，學生難以理解還會忽略電勢是在整個空間分布的。利用GeoGebra的3D繪圖功能，繪圖過程中使學生認識到標度的重要性、了解物理問題要聯系實際，觀察繪制出圖象知道電勢分布的立體性，觀察兩個點電荷產生電勢疊加后在空間的分布情況，知道等量同種電荷、等量異種電荷在電荷連線及電荷連線中垂線上的電勢分布情況。

關鍵詞：GeoGebra;物理教學;電勢

隨著網絡、電子產品的普及，學生接收信息的渠道變寬，知識面變廣，學生已不再愿意完全被動接受老師所給的信息，他們更愿意自己動手實踐得出結論。 這就要求教師改傳統的傳授型的教學方式，使用更多樣的教學方式讓學生參與到教學中來。課堂上借助計算機的演算功能讓學生自己繪制圖象、演算物理過程，能夠激發學生的學習興趣，同時培養學生各方面的能力和素養。GeoGebra是由美國佛羅里達州亞特蘭大學的數學教授Markus Hohenwarter所設計的一款免費軟件[ 1 ]，有電腦版、網頁版和手機版三種版本，界面簡潔、功能強大，可以很好地應用于數、理教學。在此以高三第一輪“電勢”的復習為例，介紹如何利用GeoGebra進行物理教學。

1? 課前分析

南京師范大學蘇州實驗學校陸光華老師認為，高中物理教學需要整體統籌，新課與復習課的任務不同，高三第一輪復習教師要引導學生從不同角度理解所學知識并能靈活應用[ 2 ]。高三第一輪“電勢”的復習要使學生對電勢為標量有深的了解，同時引導學生從數學表達式與空間具體分布兩個角度總結出等量同種電荷及等量異種電荷構成的電勢的特點，從而推廣到更一般情況下的電勢分布。電勢是高中物理靜電場的重要組成部分，高考試題中經常考到電勢，僅2020年高考中浙江卷第8題、山東卷第10題、江蘇卷第9題、北京卷第7題、全國Ⅱ卷第4題、全國Ⅲ卷第8題都考到了電勢，這些題目從各個不同角度考查學生對電勢的理解，這要求學生不僅要掌握知識點，更要學會用相關知識解決問題。

電場是客觀存在的物質，卻看不見、摸不著，對很大一部分學生來說理解都有些困難，更何況靈活應用。在以往的復習過程中，經常將電場與重力場進行類比——電場強度與重力加速度類比、電勢與地勢類比，對大部分高三的學生來說在概念層面是能夠接受的，但是要應用就有些困難了，尤其電勢的圖象問題。許多老師在復習電勢圖象時從簡單到復雜：單個點電荷電勢隨位置變化→單個點電荷周圍的等差等勢面→等量同種電荷與等量異種電荷在點電荷連線上→兩個點電荷中垂線上電勢隨位置變化，采用都是定性分析的辦法得出大致圖象如圖1[ 3 ]。通過這個方法進行教學，繪制出一維空間上大致的電勢分布圖，能使學生了解以為的電勢分布情況但卻忽略電勢是在空間分布的，對電荷量的大小也沒有概念，不知道電荷量多少比較符合實際。

如圖1（3）、圖1（4）為等量同種電荷在不同方向上的電勢分布圖，用常規的教學方法進行分析，學生的空間想象能力不足，不能理解不同位置電勢分布圖為何不同。通過繪制3D圖象可以讓學生直觀觀察電勢在二維平面的分布，圖象與平面的交線學生可以得到不同方向上的電勢分布圖，GeoGebra繪制的圖象能夠隨意改變坐標的標度，學生觀察不同標度時對應的圖形，提高實驗繪圖及審題時對標度的敏感程度。

2? 教學過程

2.1? 基礎知識回顧

回顧電勢的定義，推導得出勻強電場中的A、B兩點，取B點電勢為零，則A電勢為φA=EdAB： （dAB為AB兩點沿電場線的距離），由推導過程可知電勢為標量，空間各點的電勢可以認為是各個場源產生電勢的代數和。在學生沒有學習微積分的情況下將“電荷q從A點到無窮遠的過程中電場力作用為，rA為A點到場源Q的距離，r為無窮遠到場源Q的距離”當做已知條件，以無窮遠處電勢為零，讓學生根據定義求A點的電勢，得φA=，Q為場源電荷量，q為試探電荷，rA為A點到場源的距離。由于電勢為標量，多個點電荷產生的電勢為各個點電荷產生的電勢的代數和φA=++…+，經過推導過程學生對電勢疊加的數學表達有一定了解。

2.2? 利用GeoGebra的繪圖功能進行教學

2.2.1? 繪制點電荷在一維空間的電勢分布

學生根據操作要求輸入函數：φ（x）==，Q為電荷量，用|x|代表到點電荷的距離，很大一部分學生在輸入函數后并沒有出現圖象，經過一番討論后學生很快就會發現是因為標度選擇不當導致圖象不在視域內，選擇“適應窗口”，標度從1 V變成0.5×1010 V后就可以看到圖象。通過這個過程培養學生的交流溝通能力，同時強調適當標度的重要性，選擇不合適的標度會導致誤差增大甚至看不到圖象。提醒學生在繪圖時要選擇合適標度，讀題時注意橫縱坐標的標度及單位。

觀察圖象，部分學生會質疑圖象中這種情況真實存在的可能性，如圖2（1），圖中相距1 m的A、B兩點的電勢差接近1010 V。在此之前學生對庫侖這個單位沒有什么直觀的感受，通過Geogebra繪制出的圖象可以知道1 C很大。為了符合實際，將電荷量設為Q=5.0×10-10 C。

對于常見的單位學生有比較直觀的了解如：1 kg大概多重、1 m大概多遠，但是對于1 C具體多大學生沒有概念，經過對這部分內容的學習，學生可以知道距帶電量1 C的點電荷0.6 m到1.6 m間的最大電勢差可達1010 V（遠大于1000 KV的特高電壓），經過這個過程培養學生將物理學與實際相聯系的意識。

2.2.2? 繪制點電荷在二維空間的電勢分布

一維空間點電荷的電勢分布，學生通過數學表達式知道正點電荷周圍電勢與其到點電荷距離成反比，學生可以畫出定性的反比例函數圖象，橫坐標為一維空間，縱坐標為電勢，課本及參考書所繪制的圖象基本也是一維空間的電勢分布圖，導致很多學生對電勢和電場分布的空間認識不足。如：電子以某一速度進入下列電場，在只受電場力的作用下做勻速圓周運動，則該電場可能是（? ?）

A.正點電荷形成的電場

B.負點電荷形成的電場

C.兩個等量正點電荷形成的電場

D.兩個等量異種點電荷形成的電場

大部分學生只選擇A，對于選項D，很大一部分學生不能理解，其主要原因是對電勢和電場空間分布認識不足。

通過繪制二維空間電勢的分布圖，可以讓學生很直觀得出二維空間內電勢分布的特點尤其需要關注兩個點電荷連線上及中垂線上電勢分布情況，同時也為想象三維空間電勢分布提供幫助。

先在函數欄輸入函數φ（x，y）=，Q為電荷量設為5.0×10-10 C，代表到點電荷的距離，打開3D繪圖區可以看到當個點電荷產生的電勢分布圖，繪制過程如圖2（2）。

2.2.3? 繪制等量同種電荷、等量異種電荷在二維空間的電勢分布

在對基礎知識的回顧過程中已經強調電勢為標量，空間的電勢分布可以認為是多個場源在空間產生的電勢的代數和，在這一步的操作中學生很快能意識到將兩個點電荷產生電勢的函數相加就可以繪制出兩個等量同種電荷與等量異種電荷在二維空間的電勢分布圖。

本節的重、難點是分析等量同種電荷、等量異種電荷在電荷連線及電荷連線中垂線上的電勢變化情況，為了更好地觀察，構建x-z平面與y-z平面，電勢分布圖與x-z平面的交線為兩個點電荷連線上的電勢曲線，電勢分布圖與y-z平面的交線為兩個點電荷中垂線上的電勢曲線，圖3（3）、圖4（3）分別為等量同種電荷與等量異種電荷的電勢分布圖，經過圖象分析電勢分布情況并總結出規律。從而突破了本節的重點，解決了難點。

為了更好地觀察電勢分布特點可以設置面與電勢分布圖的交線，如圖3（4）為等量同種電荷的電勢分布圖象，圖4（4）等量異種電荷的電勢分布圖象。旋轉視角，逆著z軸方向觀察等差等勢線可以觀察到等量電荷的等差等勢線在二維空間的分布情況，從而對等差等勢面有更深的印象。

3? 總結

學生自己利用GeoGebra繪制電勢分布的3D圖象，繪制圖象的過程中會遇到很多問題，其中比較常見的是標度選擇導致看不到圖象，相比課堂上老師的強調，學生繪圖過程中自己發現標度選擇的重要性能夠產生更好的效果。觀察圖象分析討論1 C的點電荷0.6 m到1.6 m間的最大電勢差可達1010 V讓學生了解庫侖是一個很大的單位，為學生解決費米問題提供基礎知識，同時能夠提醒學生物理問題要與實際相結合。通過觀察3D的電勢分布圖，可以讓學生很直觀得出二維空間內電勢分布的特點，輸入對應的函數學生可以觀察到點電荷、等量同種電荷、等量異種電荷、不等量電荷及多電荷在二維空間電勢的分布情況，也可以調節點電荷點間的距離得到不同的圖形，課堂讓學生感受到的物理不僅是定理、公式，通過物理學習也可以繪制出美麗的圖形，增加學生的學習興趣。課堂上讓學生思考是否可以畫出三維空間內的電勢分布情況，有學生提出可以，用顏色代表電勢強弱就可以畫出來，有些遺憾的是GeoGebra沒辦法將顏色和數值建立聯系畫不出三維空間內的電勢分布但學生能提出這個想法說明對空間、維度已經有了更深層次了解。

GeoGebra除了強大的繪圖功能還有動態演示功能如南京市中華中學唐超老師利用GeoGebra制作動畫為學生演示火車拐彎[ 4 ]、南京師范大學張賽男等老師利用GeoGebra曲線擬合、仿真實驗[ 5 ]等。經過開發，GeoGebra在物理教學方面將會得到更廣泛的應用，將更好地輔助物理教學。

參考文獻：

[1] 高競男. GeoGebra在農村初中數學教學中的應用研究[D]. 開封：河南大學，2011.

[2] 陸光華. 例談高中物理教學的統籌安排——“物體的平衡”教學規劃[J]. 物理教師，2020， 41（3）： 18-21.

[3] 邊良. 關于靜電場中電勢圖象的復習建議[J]. 物理教師， 2012，33（11）： 69-71.

[4] 唐超. 利用GeoGebra 3D視圖功能輔助物理教學——以火車轉彎為例[J]. 中學物理教學參考， 2017，46（23）： 55-57.

[5] 張賽男， 周延懷， 邵新一. 基于Geogebra的輔助物理教學研究[J]. 軟件導刊， 2012，11（6）： 199-201.