初中數(shù)學(xué)概率計(jì)算題解題技巧

唐紅

[摘 要]“概率”是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn).概率計(jì)算題的解答需要學(xué)生能正確理解概率定義，認(rèn)真分析題意，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.文章主要從概率定義計(jì)算題出發(fā)，分析目前概率題主要考查的四類題型，針對(duì)每類題型給出具體案例，并進(jìn)行分析，以期給一線初中數(shù)學(xué)教師提供思路，促進(jìn)教師提升教學(xué)質(zhì)量，以及幫助學(xué)生提升解題能力.

[關(guān)鍵詞]概率;計(jì)算題;解題技巧;初中數(shù)學(xué)

一、基礎(chǔ)概率公式的應(yīng)用

概率最簡(jiǎn)單的測(cè)驗(yàn)形式是直接套用公式，此類題型最常見(jiàn)的考題為“摸球題”，題干中給出一個(gè)暗箱放置各色球，已知球的個(gè)數(shù)求某類球被摸到的概率，或者已知某類球被摸到的概率反推球的個(gè)數(shù).另一種常見(jiàn)題型是直接給出統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布求概率.后來(lái)有了各種變式題，究其根本，仍然是概率定義和公式的應(yīng)用.學(xué)生只需正確理解概率定義，套用公式即可得到正確答案.

[例1]某機(jī)構(gòu)調(diào)查初三男生身高進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，從該地區(qū)隨機(jī)抽取初三1000名男生，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)結(jié)果如下：

點(diǎn)評(píng)：此題考查了概率公式.這是概率定義和公式題的簡(jiǎn)單拔高，只需學(xué)生讀懂題意，找到概率公式的分子和分母，即可正確作答.

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想是很常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思維方式，其在概率計(jì)算中亦有重要的應(yīng)用.在相關(guān)概率題型的解答過(guò)程中，樹(shù)狀圖的運(yùn)用較為廣泛，學(xué)生通過(guò)繪制圖形，可以很好地梳理出已有的組合，快速作答.此類題型對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和動(dòng)手能力都有一定要求，教師在平時(shí)教學(xué)中要多增加此類題型的練習(xí).

[例3]在“眾志成城，抗擊疫情”黨員志愿者服務(wù)社區(qū)活動(dòng)中，小明和敏敏兩人分別從A，B，C三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)社區(qū)參加活動(dòng)，兩人恰好選擇同一社區(qū)的概率是（ ）.

分析：先畫樹(shù)狀圖展示所有9種等可能結(jié)果數(shù)，找出兩人恰好選擇同一社區(qū)的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解.

解：畫出樹(shù)狀圖：

由圖可知，共有9等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人恰好選擇同一社區(qū)的結(jié)果為3種，因此兩人恰好選擇同一社區(qū)的概率是[39=13].

點(diǎn)評(píng)：本題考查樹(shù)狀圖的運(yùn)用，通過(guò)樹(shù)狀圖展示出所有等可能的結(jié)果n，這樣的方式一目了然，學(xué)生可輕松從等可能結(jié)果中挑選出題目的要求結(jié)果.

三、幾何概率的應(yīng)用

幾何概率在概率題中出現(xiàn)頻率較高而且有一定難度，解答此類題目，關(guān)鍵在于確定區(qū)域的測(cè)度，簡(jiǎn)單而言，就是找到計(jì)算的長(zhǎng)度、面積或體積，然后直接套用公式，再分別求出測(cè)度相除即可得到答案.對(duì)于幾何概率題，往往可分為下面四步：第一步，分辨問(wèn)題性質(zhì)，厘清題意;第二步，讀懂題目中給出的參數(shù)代表的含義;第三步，確定所要計(jì)算的數(shù)學(xué)量;第四步，套用概率公式.

[例4]一只蝸牛在圖1所示的地圖上自由爬動(dòng)，每個(gè)網(wǎng)格完全相同.當(dāng)它停下來(lái)時(shí)，停在圖中陰影部分的概率是（ ）.

分析：根據(jù)題意知道計(jì)算面積比例可得到概率.

點(diǎn)評(píng)：此題是典型的幾何概率題，也是一道二維空間題目，那么測(cè)度應(yīng)該是長(zhǎng)度或面積，結(jié)合題意和圖形網(wǎng)格特點(diǎn)可知應(yīng)使用面積進(jìn)行計(jì)算.對(duì)于陰影部分面積的求解，直接求解較為困難，故可通過(guò)減去空白部分面積來(lái)求解.

[例5]將一圓盤均分為n份，給每份相等的扇形編號(hào)（每個(gè)扇形只標(biāo)一個(gè)號(hào)碼且互不相等），號(hào)碼為連續(xù)偶數(shù)：2，4，6，…，2n.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若事件“指針?biāo)鋮^(qū)域標(biāo)注的數(shù)字大于8”的概率是[56]，則n的取值為（ ）.

四、概率實(shí)際應(yīng)用

概率在生活中的應(yīng)用非常廣泛，包括前面列舉的摸球、身高估計(jì)、轉(zhuǎn)盤等.對(duì)于概率實(shí)際應(yīng)用題，教師在平時(shí)教學(xué)時(shí)要注重培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型的能力，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，理出關(guān)鍵數(shù)據(jù)，整理成數(shù)學(xué)模型.

[例6]某路口紅綠燈的時(shí)間設(shè)置為：紅燈25秒、綠燈32秒、黃燈3秒.那么當(dāng)某個(gè)人經(jīng)過(guò)該路口時(shí)，遇到綠燈的概率為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

分析：此題看似與實(shí)際應(yīng)用掛鉤，但是本質(zhì)是簡(jiǎn)單的概率公式計(jì)算.

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率在日常生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，學(xué)生只需把握：某事件概率=這個(gè)事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)除以總結(jié)果數(shù).

[例7]在如圖2所示的圖形圖案中，黑白兩色的直角三角形是全等三角形.甲、乙兩人以此作為飛鏢游戲盤，兩人約定：站在同一處投擲飛鏢，若扎在黑色區(qū)域，則甲勝利;反之，乙獲勝.則這個(gè)游戲（ ）.

A.對(duì)甲、乙雙方都公平

B.對(duì)甲有利

C.對(duì)乙有利

D.無(wú)法確定公平性

分析：根據(jù)幾何概率知識(shí)，求出面積比例，即可得出甲、乙獲勝的概率.

解：由題目所給圖形觀察可得：黑色區(qū)域直角三角形有6個(gè)，弓形有3個(gè);白色區(qū)域直角三角形有6個(gè)，弓形也有3個(gè)，所以黑白區(qū)域面積是相等的，對(duì)雙方都公平.

點(diǎn)評(píng)：判斷游戲是否公平，即是判斷游戲雙方獲勝的概率是否相同.此題將幾何概率與實(shí)際游戲相結(jié)合，學(xué)生通過(guò)將面積轉(zhuǎn)換為概率，即可判斷出游戲的公平性.

對(duì)于概率計(jì)算題的解題，教師在平時(shí)要注重對(duì)學(xué)生的觀察能力、建模能力和繪圖能力進(jìn)行培養(yǎng)，通過(guò)不斷引導(dǎo)學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)解題規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生輕松解答概率計(jì)算題.學(xué)生要時(shí)刻把審題放在第一位，對(duì)題目中出現(xiàn)的概率的相關(guān)字眼進(jìn)行細(xì)致分析，分析題型;抓準(zhǔn)解題關(guān)鍵要素，從而有效解決問(wèn)題.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 虎永強(qiáng).淺析“用頻率估計(jì)概率”課程的教學(xué)策略[J].新課程（下），2018（10）：95.

[2]? 劉權(quán).淺談初中數(shù)學(xué)中的概率教學(xué)方法[J].學(xué)周刊，2018（27）：46-47.

（責(zé)任編輯 陳 昕）