導數問題在高中數學教學過程中的應用探討

摘 要：導數是高中數學教學的一大難點知識，同時它也多以大題的模式出現在學生的試卷末端.如果能夠通過有效方法幫助學生了解導數問題的重要突破口，那么學生的數學學習成績也能夠由此得以突破.相關的高中數學教師須認真分析導數問題解題關鍵，幫助學生抓住導數具體內涵.認清相關函數的差別關系，提高學生對于導數知識的整體認知特性.教師可由函數最值問題、三角函數問題、切線問題出發，幫助學生了解相關案例在數學課堂上的應用特點.

關鍵詞：導數;高中數學;學生

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2021）27-0028-02

收稿日期：2021-06-25

作者簡介：朱學任（1971.10-），男，江蘇省連云港人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

在高中階段的數學教學過程中，教師可借由導數問題連接起學生之前所學習過的函數思想，并幫助學生對函數思想具體運行模式產生深刻了解.這些年來，伴隨著高考改革制度的不斷推進，相關的導數問題難度也隨之加大.為加強學生的整體解題能力，提升學生的數學認知水平.教師也必須把導數問題靈活的套用在各類數學題目之中，對其進行進一步的探究以及思考.

一、導數在高中數學教學過程中的引入意義

1.幫助學生了解函數性質

現階段學生所學習的導數知識是高中數學教材內擁有著特殊地位的知識，它是能夠串聯起初等數學與高等數學的交流橋梁.在高中階段的函數學習過程中，教師也可以借由導數幫助學生理解函數的相關性質.

一般而言的話，學生在學習函數時必須了解函數的定義域、值域、單調性、周期性等.但是對于一些較為復雜的函數圖像，學生在學習過程中就沒有辦法用描點法作出圖像了.對此，教師可以利用好導數知識，讓學生利用函數的一階導數去判斷整個函數的單調性、極值以及最值.然后再次結合描點法進行問題解決，這能夠幫助學生在簡便作圖過程中了解函數的實際性質，這樣學生的數學知識學習面也成功被教師擴大了.

2.幫助學生掌握函數思想

高中數學課堂上的很多數學問題都是存在著一定難度的，如果學生在解決這些數學問題時仍然沿用初中的那一套，那么他們也是沒有辦法去解答這些問題的.

在高中數學教學過程中教師應注重各類建模思想、數形結合思想、轉換思想的應用特點，利用函數思想讓學生根據函數的導數性質去研究具體問題.發揮出導數知識的功能性以及應用性，以此來幫助學生了解這些問題的實際解決答案.教師可以由此來鼓勵學生認知函數思想，突顯出新課程教學的優越性.一般而言的話，無論是在證明不等式還是在數列求和以及一些實際問題解決過程中，導數知識的應用都能夠幫助學生構建與之相關的函數模型，最后應用導數去解決這些問題.

3.幫助學生學好其他學科

高中階段其他理科學科都與高中數學存在著一種較為緊密的關系，學生所學習的導數知識就是微積分的核心概念，它在物理、生物、天文、工程、地質學中都有著十分廣泛的應用.在幫助學生了解完導數知識之后，學生會很輕松地掌握物理課堂上的勻速、變速直線運動特點，對化學課堂上的反應速率以及平衡方程產生深刻理解.這樣一來，學生的整個理科學習能力也能夠得到加強.教師可以由一類知識出發，完成學生整個理性思維的發展.

4.幫助學生發展自我思維能力

在學習完導數知識之后，學生在后期的學習過程中大多會以一種動態的、無限的變量的數學觀點去研究數學問題，這時學生也徹底擺脫了以往的靜止不變的數學觀念.它真正能夠通過數學探索了解到變量與變量之間的相互轉換關系，最終知曉動與靜的實際結合面.發展學生的辯證思維能力，讓學生的理性思維得以提升.

二、利用導數解決相關數學問題的應用

1.應用導數去解答函數最值問題

在高中階段的數學學習過程中，函數的最值問題是學生學習函數常遇到的一類問題.在解答該類題目時，學生需要結合函數的相關性質、通過選用不同方法進行解決.一般而言的話，大多數學生都會采用導數法進行解答.二次函數的最值求解問題是高考考查次數最多，在高中數學課堂上最為經典的一類例題.

教師在教學二次函數最值問題時需幫助學生先了解固定區間內的最大值與最小值，并在參數思考情況之下根據常規化的解題思路應用數形結合方法解出問題.不過大多數學生在運用此類方法進行解題時常會因為自身的馬虎而出現一些解析錯誤，一些學生甚至沒有對區間內的單調性進行判斷就做出解答.這樣的學習模式難以幫助學生了解該類題目的解答內涵，為此，教師也需針對學生的這種學習模式進行改革.例如在教學題目——在閉區間[-3，0]上函數f（x）=x2-3x+1的最大值與最小值各為多少？對于學生來講，該道題目是一項較為基礎的最值求解問題，其解題思路也大多是由閉區間上函數的極值求出.過后再與端點處的函數值進行比較，從而確定整個函數的最值.由此，該題的解答方法也變為f ′（x）=3x2-3，過后求解出f（-3）、f（-1）、f（0）的值，通過比較得出f（x）在閉區間內的最大值為3.在應用導數進行函數最值解答時，教師需將其歸納成以下的三個步驟.首先將函數在該區間內的極值求出，其次，再將函數在端點處的函數值求出，最后比較端點處函數值與極值大小得出整個問題的答案.

2.應用導數去解答三角函數問題

三角函數的靈活性較強，其各類變式以及轉換問題是高考命題者常考察的一類重點.同時教師在教學三角函數問題時也應該結合好數形結合教學方法，幫助學生由圖形出發，了解三角函數的變化關系，最后依照三角函數在某區間內的增減性來解出問題答案.這樣的教學模式也避免了傳統課程教學的繁雜解題方案，教師可以利用導數求解三角函數問題.在教學過程中發散學生的轉換思維，最終幫助學生產生對于該類題目的深刻認知.

例如在教學題目——y=（1+cos2x）2，求解y′.在閱讀完題目之后，教師就應該了解該道題目是一道比較簡單的導數求解題.在解題過程中，教師也應該要求學生運用導數解題的規范方法進行解答.但是一些學生由于不清楚復合函數的求導法則，在求解過程中他們也會產生一系列的錯誤.在實際解答過程中，一些學生甚至還出現了非常離譜的計算結果.對此，教師應對整個題目進行深入分析，了解該道題目的解答重點.避免學生的錯誤認知，讓學生能夠在了解三角函數過程中順利的解答出題目.首先，教師可以先將題目轉換為y=u2、u=1+cos2x，過后聯系式子進行求解，從而正確地解出整個問題答案.學生會在轉換過程中了解三角函數的導數解題技巧，并掌握這一類題目的解題方案.

3.運用導數解決切線問題

教師在教學一些幾何相切問題時應該將導數思想融入其中，讓整個相切問題變得更為簡單.幫助學生產生對于數學題目的認知興趣，最后提高學生的整個解題效率.在高中階段的數學教學過程中坐標系切線方程求解問題是學生常遇到的一類問題，該類題目的難度較大，學生在解題過程中會因為計算過程的復雜而出現一系列的錯誤.對于此種情況，教師須在解題過程中適時融入導數方法，將解題過程變得更為簡便.

例如在教學題目——已知曲線C是y=f（x）的圖像，試將經過點P（x0，y0）的曲線的切線方程求出.在讀完題目之后，教師就應該了解該道題目的解題要點就是導數思想的引入.教師可以先將導數的有關概念和方程在黑板上進行展示，過后要求學生對該道題目做出觀察，了解該道題目的一些特殊條件.在實際解題過程中，教師需先引導學生判斷P點是否在對應的曲線C上，過后再在此基礎上求出對應的導數f ′（x）.在實行運算過程中需了解一些分類討論的情況，如點P是否在曲線C上，點P是否為切點等.通過此種類比模式，教師可以尋找到該道題目的兩種解題分支.最后總結問題解題技巧，讓學生在求解切線問題過程中了解導數思想的融入關鍵點.此外，高中數學課堂上也存在著一些特殊性的曲線求切線問題，如三角曲線切線.在解決這一類問題時，教師應該摒棄傳統的畫圖模式，要求學生將圖形問題轉換成代數問題.讓整個解題思路顯得更為簡單，從而幫助學生快速解答出這一類問題的答案.

導數思想在高中數學題目講解過程中的有效應用能夠幫助高中階段的學生提升自我數學學習能力，讓學生了解導數課程的正確打開方法.教師需引導學生掌握與導數相關的概念以及基本性質，在此基礎上逐漸引入三角函數問題、切線問題、函數最值問題.通過此種教學改革手段讓整個高中數學課堂變得更為高效，促使學生在知識獲取過程中了解導數問題的一般化解決步驟，最后加強學生的實際應用能力.

參考文獻：

[1]任小英.導數在高中數學解題中的合理應用[J].中學教學參考，2016（20）：31.

[2]鄧晗陽.導數在高中數學解題中的應用探討[J].科學大眾：科學教育，2016（12）：27.

[3]羅婭，湯強.高中數學“導數”教學問題探究[J].亞太教育，2015（28）：57，50.

[責任編輯：李 璟]