數學教學中對“元認知”的初步認識

錢蕓

[摘? 要] 文章通過“一元二次方程的解法——配方法”的教學，闡述如何對學生進行元認知訓練，并通過問題串的方式讓學生體會數學的本質. 元認知學習并不是一節課就能解決的，所以教師要在平時的教學中不斷提升學生的數學思維.

[關鍵詞] 元認知;數學科學素養;深度學習

元認知思想

要了解元認知的概念，首先應了解人的認知活動. 人的認知活動一般來說可以劃分為認知活動和元認知活動. 認知活動是指對客觀事物的特征及事物之間聯系的反映，認知活動研究的是有關問題、資料等具體的信息，而元認知活動是人類對自己認知過程的一種自我覺察、自我評價、自我調節的過程. 元認知的概念比認知活動更高級，它是任何以認知過程與認知結果為對象的知識，或是任何調節認知過程的認知活動.

在數學教學過程中對“元認知”

的初步認識

（一）教學過程

本節課題為“一元二次方程的解法——配方法”，筆者的教學設計以及提問中都涉及了“元認知”.

1. 溫故知新

師：方程（x+3）2=5的解是什么？

生（齊）：x=-3± .

師：你們解這個方程用的是什么方法？

生（齊）：直接開平方法.

師：用這種方法的依據是什么？

生1：兩邊開方.

生2：平方根的意義.

師：解一元二次方程的基本思路是什么？

【學生經過筆者的提示，回答出了答案：二次方程→一次方程. 教師補充：降次.】

教師小結：形如（x+h）2=k（k≥0）（方程的左邊必須是完全平方式，方程的右邊必須是一個非負常數）的一元二次方程可以用直接開平方法求解.

這既是對上一節課的復習，也是這節課的開端.

2. 思考討論

師：如何解方程x2+6x+9=5？

學生通過復習，馬上就想到了方程的左邊是一個完全平方式，用直接開平方法很快速地就解決了.

師：如何解方程x2+6x+4=0？

生1：方程兩邊同時加上5……

師：如果把方程左邊的“+4”變成“+3”，這個方程該如何解決？

生2：方程兩邊同時加上6……

師：方程左邊的常數變化時，每一次方程左、右兩邊所加的數都要改變才能用直接開平方法嗎？

生3：是的.

生4：只需要保證方程左邊最終的常數項為9就行了.

師：請把你的解答過程敘述一遍，老師來書寫.

師：上述解方程的第一步是什么？

生4：移項.

師：上述解方程的第二步為什么要加“9”？

生4：湊完全平方公式.

師：這個“9”是怎么湊出來的？

生4：根據完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2來湊.

師：接下來用什么方法來解？

生（齊）：直接開平方法.

師：恭喜你們，你們學會了一種新的解一元二次方程的方法——配方法.

3. 引出新課題

師（敘述基本概念）：像上面那樣，先把一個一元二次方程變形為（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常數），若k≥0，再通過直接開平方法求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

師：用配方法解一元二次方程的基本步驟是，第一步，變形為（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常數）;第二步，用直接開平方法解方程.

師：第一步變形后，假如k<0怎么辦？

生1：此方程無實數解.

師：你們認為用配方法解一元二次方程最大的難點是什么？

生2：湊完全平方式.

【接下來，筆者對配方進行了基礎鞏固. 首先復習了完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，然后通過填空的方式鞏固完全平方公式. 具體的試題如下.】

填一填：

（1）x2+2x+____=（x+___）2;

（2）x2-8x+____=（x-___）2;

（3）y2+5y+____=（y+___）2;

（4）y2- y+____=（y-___）2.

師：等式右邊所填的這個數和等式左邊的一次項系數有何關系？

生3：所填的這個數是一次項系數的一半（由于已有符號，所以所填的數應該是一次項系數一半的絕對值）.

？搖師：等式的左邊所填的這個數和等式右邊所填的數又是什么關系？

生4：等式左邊所填的這個數是等式右邊所填數的平方.

師：這個過程就是配方的過程. 當二次項系數為1時才有這個規律. 當二次項已知且二次項系數為1，并且一次項已知時，進行配方時等號左邊的常數項是一次項系數一半的平方.

4. 例題探究

用配方法解下列方程：

（1）x2-4x+3=0;

（2）x2+3x-1=0.

對于第（1）題，在板書的同時，教師小結了用配方法解二次項系數為1的一元二次方程的步驟：

①移項，把常數項移到方程的右邊;

②配方，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方;

③開方，根據平方根的意義，方程兩邊同時開平方，化為兩個一元一次方程;

④求解，解這兩個一元一次方程;

⑤定解：寫出原方程的解.

對于第（2）題，學生口述，教師板書. 出現易錯點時，教師及時糾正，并培養孩子清晰的數學語言表達能力.

【接下來，教師給出練習題，以讓學生鞏固所學. 】

用配方法解下列方程：

（1）x2-6x-7=0;

（2）x2+3x+1=0.

5. 拓展提升

用配方法解一元二次方程：2x2+x-6=0.

師：這個方程和前面的方程有什么不同？

生1：前面的方程容易配方一些.

師：那么，為什么這個方程不容易配方呢？

生1：因為前面的方程的二次項系數都是“1”.

師：那如何把這個方程的二次項系數變為“1”呢？

生2：方程兩邊同時除以2就可以了.

師：這樣做的依據是什么？

生3：等式的基本性質.

師：很好！于是二次項系數不為“1”的一元二次方程，也可以用配方法求解了！

（二）教學反思與感想

整節課抓住了配方法的本質，滲透了降次和數形結合的數學思想. 這節課的提問非常符合這一階段學生的思維方式，整節課學生都在不斷地調整認識中逐步掌握知識，符合元認知訓練的結構. 課堂上，筆者采用元認知的基本思路對學生進行細致的引導. 元認知的思路結構給學生搭好了思路的“梯子”，讓他們在思維上面一步一步地往上爬，學生非常輕松地學會了一元二次方程的新解法——配方法. 師生之間的問答，循序漸進，能提升學生的元認知能力. 學生的書寫思路清晰，實現了知識的遷移，且自主探究給予了他們一種強烈的成就感.

在這節課中，如果筆者直接提出新課題“配方法”，學生會產生疑惑，且會有畏難情緒，于是筆者將整節課設計為遵循元認知規律的一堂課，問題串就是架構元認知思維的扶梯. 在這節課中，元認知的體驗是在不知不覺中進行的，元認知結構也較為完整. 當然，元認知的訓練不能只用在一節課上，要普遍運用于平時的教學活動. 在筆者目前進行的數學教研活動中，理解概念、記憶定理、證明命題等活動都屬于認知活動，而怎樣更快地理解、記憶和掌握解題策略的一些選擇、方法和對其結果的評價等則屬于元認知活動. 數學元認知是我們對數學認知活動的認識、監控和總結，元認知結構則是以上三者的有機結合. 元認知知識是我們對自己、他人認知活動的過程、結果等事項的認識，主要依靠情境性知識、程序性知識、評價性知識、數學核心思想、數學思維模式和數學策略性知識等;元認知體驗是伴隨我們的認知活動所產生的自覺意識和情感體驗;元認知監控是通過前面兩者的相互作用，從而實現對認知的目標、方向、策略和進程的一種監督、調節和控制手段.

（三）數學核心素養與“元認知”的關系

數學核心素養與“元認知”有著密切且不可分割的聯系. 數學核心素養是以數學課程教學活動為載體，基于數學學科的知識技能而形成的重要的思維品質和關鍵能力. 數學核心素養是在數學知識技能的學習過程中形成的，有助于學生深刻理解與掌握數學知識技能. 對于義務教育階段的數學核心素養，東北師范大學教育科學學院馬云鵬教授認為：“10個數學核心素養包括：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識. ”采用元認知訓練可以大大提升培養這些能力的效率. 比如，讓學生自己創設想象中的情境，在情境中體驗數感;讓學生通過記錄并總結自己的學習進程和學習效果來進行自我監控和自我調節;對現有的模型進行反思性學習，總結不足并牢記經驗;總結自己的學習活動規律，并結合自身記憶特點、遺忘特點等進行思維品質的提升. 我們要從實際教育教學出發，在平時的數學教學中滲透元認知訓練，以實現學生核心素養的培育.

（四）深度學習與“元認知”的關系

要抓住數學的本質、內涵，學生必須進行深度學習. 深度學習具有批判思維、知識整合、深度加工、主動建構、遷移應用等特征，屬于以高水平思維為核心特征的高階學習. 因此可以認為，促進元認知發展是深度學習研究的主要目標之一. 元認知訓練依托課堂，并結合課堂教學內容進行元認知知識講授與元認知技能訓練，通過對學生學習過程的觀察，分析學生學習活動中的不足，并對教學過程及時進行調整，以促進學生對知識的主動建構、深度理解、批判接受、遷移應用及對復雜問題的有效解決，進而促進學生深度學習的實現. 問題解決是元認知訓練和深度學習的共同最終目標，提升初中生數學深度學習能力必然會促進問題解決能力、數學元認知能力的縱深發展，從而提升學生的數學素養.

綜上所述，元認知就是要努力激發學生內在的學習興趣，讓他們積極主動地投入學習，避免消極被動地接受，且應調動一切有利的因素進行分析、思考、解惑、排疑. 學生應思考學習本身的內涵、目的、方法、施控手段、檢驗指標、評價標準等，從而達到主動自學并提升學習效果的目的.