無限不循環小數本質的探究

李秀麗

[摘 要]小數和分數的互化是小學生進行各種換算的必備技能，除法運算更是建立起小數和分數的親密聯系，但是在無限循環小數和無限不循環小數與分數的互化中則存在一些阻礙，甚至有些人對無限不循環小數屬不屬于小數產生了懷疑。因此，有必要將分數與小數關系的本質探查清楚。

[關鍵詞]小學數學;分數;小數;無限;有限;認知;發展

青島版教材中“小數”的內容主要出現了四次。三年級下冊教材中初步介紹了小數的概念：“像0.1、0.4、0.55、1.2……這樣的數，都是小數”。五年級下冊教材中介紹了有限小數與無限小數的概念：“小數部分的位數是有限的小數，叫作有限小數”，“小數部分的位數是無限的小數，叫作無限小數”。五年級下冊中，教材介紹了分數與除法的互化。六年級上冊教材中介紹了一段數學史料，引出圓周率π，π=3.1415926535…”。

一、認知發展方面

認真研究就會發現，小學數學教材對于“小數”課程的編寫是非常有條理的，層層遞進，具有嚴密的邏輯性。首先，由熟悉的生活事例引出小數的基本意義。其次，通過除法運算不帶余數的商來揭示小數的“有限”與“無限”。再次，說明任意分數都能通過除法運算將其轉化為小數 （能夠除盡的，商就是有限小數;除法豎式中余數從某一位開始循環，導致商從某一位開始循環，這樣的商就是無限循環小數;由除法運算得出的無限小數必定循環，無限不循環小數不可能由除法運算求商得出）。最后，進一步借助圓周率來推出小數的另一種形式——無限不循環小數，這類小數是無理數。至此，所有小數的形式被“一網打盡”。

這樣的教材編排順序貼近學生的生活經驗，體現了識數、算術、數域整理的密切關系，體現了學生的知識基礎，契合學生認知事物的規律。顯然，如此安排可以使學生對小數的基本意義、無限循環小數、無限不循環小數等知識進行連續闖關、逐個擊破。但是，學生要真正領會小數的本質就不太容易，因為在學習小數的基本意義時，教材是借用單位之間的進率來詮釋的，如貨幣單位元、角、分，長度單位米、分米、厘米，讓學生在小數與十進制分數的互化過程中感知小數的意義，給學生造成“十進制分數與小數之間嚴格對應”的印象。在學習小數除法運算及分數與除法的關系時，學生知道除法運算的商是小數的合理來源，而且通過經歷無法除盡的情況，也就是從某一步開始，余數開始重復出現，導致商也重復出現，這時的小數位數就會無窮無盡，感知無限小數的現實來歷。但教材并沒有讓學生去追溯無限小數的前身——其對應的分數（被除數和除數），因此，學生自然不會深究有限小數與無限（循環）小數對應的分數是否都是十進制分數。那么，等到借助圓形的周長與直徑的比值揭示“圓周率是一個無限不循環小數”時，學生更不會思考無限不循環小數是否也來自某個分數了。

二、數學形式方面

數學是關于模式的科學，數學模式具有多種多樣的表征，小數就是數的一種表征，或者說存在形式。把十進制分數改寫成的有限小數，可以認為是對十進制分數的喬裝易容——換了一種書寫形式。顯然，無限循環小數是非十進制分數的另一種存在形式。照此理論，無限不循環小數就找不到對應的分數。然而，這樣用類比法為無限不循環小數尋根，會讓思路走進死胡同。要想為“小數都是源自分數，是分數的第二表征”找到合理解釋，教師必須另辟蹊徑。下面，筆者先梳理小數的表征方式。

有限小數：0.29= [210] + [9100]

無限循環小數：0.377…=[310] + [7100] + [71000] +……

無限不循環小數：3.14159…= 3 + [110] + [4100] +[11000] + [510000] + [9100000] +……

[5]=2.23606…=2 + [210] + [3100] + [61000] + [010000] +[6100000] +……

一般地，對于任意純小數：[0.a1a2a3a4…ak]= [a1101] + [a2102] + [a3103] + [a4104] + … + [ak10k] =[i=1kai10i]。也就是說，當k是定值時，有限小數“[0.a1a2a3a4…ak]”可以用若干個十進制分數的和“[i=1kai10i]”來表征;當k趨于正無窮時，無限循環小數“[0.a1a2a3a4…ak]”可以用無限個分子循環出現的十進制分數的和“[i=1kai10i]”來表征;當k趨于正無窮時，無限不循環小數“[0.a1a2a3a4…ak]”可以用無限個無規律的十進制分數的和“[i=1kai10i]”來表征。綜上所述，用“把十進制分數（有限或無限個十進制分數的和）改寫成無分母形式的特異分數，即為小數（有限小數、無限循環小數、無限不循環小數均在此列）”的定義就能將有限小數、無限循環小數和無限不循環小數的表征方式統一起來。

三、數學本質方面

什么是數？這既是一個高等數論問題，又是一個形而上學的哲學問題。“數”常常被看成是對“物品數量”的標記。那么，生活中物品數量是以何種形式存在？人們對同類物品的整理方式分兩種：合并與分割。通過合并累計，人們形成了整數的計數單位;通過對一個物品的切分，人們形成了小于1的分數計數單位。

計數其實就是對計數單位的數目進行記錄和描述。顯然，這樣的計數結果有三種：第一種是只包含大于或等于計數單位“1”的物品數量記錄信息（整數）;第二種是只含有小于計數單位“1”的物品數量記錄信息（純小數）;第三種是既含有大于等于計數單位“1”的物品數量記錄信息，又含有小于等于計數單位“1”的物品數量記錄信息（混小數）。

據此，教師可以將這些數字分門別類。第一種分類方式是分成兩類：一類是只含有大于或等于計數單位“1”的數字，叫作自然數;另一類是既含有大于或等于計數單位“1”的計數單位，又含有小于計數單位“1”的計數單位的數，叫作小數。第二種分類方式是分成三類（或許這種分類更有效）：第一類是所含計數單位大于計數單位“1”的數（整合數，如250=200+50），第二類是只含有計數單位“1”的數（真正自然狀態下的數量狀態，全部一個一個累加起來），第三類是所含計數單位全部小于“1”的數（純小數，如0.265）。

無論是哪種分類方式，都可以看出不同數的數學本質：自然數的計數單位只含有“基數1”，整數的計數單位全部大于或者等于“基數1”，小數的計數單位全部小于“基數1”。因此，“含有小于‘基數1的計數單位的數叫作小數”，這樣定義，就可以涵蓋有限小數、無限循環小數、無限不循環小數等三種小數類型。這樣一來，不僅為無限不循環小數恢復了小數身份，而且可以直擊小數的數學本質。

（責編 吳美玲）