線(xiàn)性代數(shù)課程內(nèi)容安排與課堂教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)探析

唐秋林

摘?要：線(xiàn)性代數(shù)是高等學(xué)校理工類(lèi)與經(jīng)管金融類(lèi)等專(zhuān)業(yè)學(xué)生的一門(mén)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，是學(xué)習(xí)后繼課程的工具，它在自然科學(xué)、工程技術(shù)和管理科學(xué)等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。線(xiàn)性代數(shù)教材作為教學(xué)的重要知識(shí)載體，合理的內(nèi)容安排尤其重要。但是，線(xiàn)性代數(shù)內(nèi)容的抽象性以及運(yùn)算的煩瑣給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)很大困難。教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。本文對(duì)線(xiàn)性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容為什么要這樣安排，在課堂教學(xué)中怎樣有效利用教材創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)恼n堂教學(xué)情境這兩個(gè)方面進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：線(xiàn)性代數(shù);課程內(nèi)容;情境創(chuàng)設(shè);人才培養(yǎng)

教材是一切教育活動(dòng)的基本依據(jù)，是育人的根本載體[1]。作為高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)的基本課程之一——線(xiàn)性代數(shù)，它主要是圍繞如何解線(xiàn)性方程組展開(kāi)的相關(guān)內(nèi)容的研究。通過(guò)有目的、有意圖地挑選行列式、矩陣、線(xiàn)性方程組、向量空間、歐氏空間以及二次型等內(nèi)容，去影響學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，拓展學(xué)生的知識(shí)領(lǐng)域，這對(duì)于培養(yǎng)大學(xué)生的計(jì)算能力和抽象思維能力都是十分重要的。那么，如何合理安排這些內(nèi)容的順序呢？在課堂教學(xué)中如何有效利用教材創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣呢？我們就從這兩個(gè)方面來(lái)談線(xiàn)性代數(shù)的內(nèi)容安排。

一、內(nèi)容安排順序合理

我們以高等教育出版社出版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《工程數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)》（第六版）為藍(lán)本，來(lái)研究線(xiàn)性代數(shù)教材。對(duì)于第一章，為什么內(nèi)容要安排行列式呢？主要考慮學(xué)生的知識(shí)體系，由于學(xué)生在中學(xué)已經(jīng)掌握了解線(xiàn)性方程組的基本方法，對(duì)于如下線(xiàn)性方程組，我們不妨提出如下問(wèn)題：

（1）5x+4y=7

x+y=6???（2）x+y=7

x+y=8

（3）x+y=7

2x+2y=14??（4）x+y+z=5

4x+6y=0

不解這些方程組，能確定它們的解嗎？顯然，（1）有唯一解，（2）無(wú)解，（3）有無(wú)數(shù)解，（4）有無(wú)數(shù)解。對(duì)于（1），既然有唯一解的情形，能否用公式給出呢？從而引出行列式的內(nèi)容介紹。主要研究行列式的定義、性質(zhì)和展開(kāi)法則，進(jìn)而介紹克萊姆法則來(lái)解一種類(lèi)型的方程組。

通過(guò)第一章的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)能解決一類(lèi)特殊的方程組，給出公式解，即滿(mǎn)足克萊姆法則的方程組的情形。對(duì)于一般的方程組，即形如a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm的方程組，該如何求解呢？

顯然，該線(xiàn)性方程組的解由其系數(shù)和右端項(xiàng)：

a11a12…a1nb1

a21a22…a2nb2

am1am2…ammbm

作為一個(gè)整體來(lái)確定。為此，我們需要引入矩陣概念及其運(yùn)算，然后再來(lái)研究這個(gè)整體是如何影響方程組的解的，即第二章的內(nèi)容介紹。

為了研究一般方程組，即形如a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm的解，我們從具體的線(xiàn)性方程組出發(fā)，分析它的解題過(guò)程，尋找其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，從而引入矩陣的初等變換，并研究矩陣的秩這兩個(gè)重要的概念，進(jìn)入第三章的內(nèi)容介紹，揭示方程組的解的個(gè)數(shù)與解的表現(xiàn)形式。

北宋大詩(shī)人蘇軾在游覽廬山時(shí)留下了著名詩(shī)詞《題西林壁》：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同，不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。”就像我們登到南通狼山頂上俯瞰南通市區(qū)，感受其美不勝收的景色，心曠神怡。如果我們?cè)僮哌M(jìn)南通的大街小巷，我相信又是另一番感受。在前一章，我們將一個(gè)線(xiàn)性方程組的增廣矩陣作為一個(gè)整體，研究它是如何影響方程組的解的。如果我們換個(gè)角度，從矩陣的內(nèi)部來(lái)分析，重新考量它是如何影響方程組的解的，相信會(huì)有別樣的收獲，為此，我們研究第四章，即向量組的線(xiàn)性相關(guān)性。

我們已經(jīng)會(huì)對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換化成行最簡(jiǎn)形，甚至，對(duì)任意矩陣A，可作初等行、列變換化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，即存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ=Er0

00，r=r（A），那么還有什么辦法可將矩陣化為比較簡(jiǎn)單的形式呢？為此，我們?cè)噲D將矩陣A變形，討論當(dāng)矩陣A是方陣（對(duì)稱(chēng)）時(shí)，能否找到可逆矩陣（正交矩陣）P，使得PTAP=Λ，一旦對(duì)對(duì)稱(chēng)矩陣A找到可逆矩陣P，使得PTAP=Λ，Λ為對(duì)角矩陣，就為方便的計(jì)算A的高次冪提供了可能，自然地就引入特征值、特征向量的概念和理論，由此，我們討論第五章：相似矩陣及二次型。

通過(guò)前五章的研究，我們已經(jīng)完整地了解了一個(gè)線(xiàn)性空間的研究?jī)?nèi)容。自然想研究?jī)蓚€(gè)空間以及兩個(gè)空間的關(guān)系，這時(shí)線(xiàn)性空間和線(xiàn)性變換的知識(shí)就應(yīng)運(yùn)而生，這一章會(huì)比前面的所有知識(shí)更加抽象，應(yīng)用性也更加廣泛，學(xué)完之后會(huì)達(dá)到有高屋建瓴的感覺(jué)。

二、創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)情境，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

從上面的分析我們看到，線(xiàn)性代數(shù)課程內(nèi)容以線(xiàn)性方程組及其相關(guān)內(nèi)容為主線(xiàn)，各個(gè)章節(jié)的內(nèi)容看似相互獨(dú)立，其實(shí)前后知識(shí)連貫性和邏輯性很強(qiáng)。同時(shí)，每一章的概念繁多，運(yùn)算比較煩瑣細(xì)碎，定理多而又抽象。課堂教學(xué)中“滿(mǎn)堂灌”“重理論，輕應(yīng)用”的現(xiàn)象還較為普遍，加上課時(shí)的限制，教師不太可能細(xì)致地講解所有的內(nèi)容。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，線(xiàn)性代數(shù)內(nèi)容晦澀難懂，常常是知其然而不知其所以然，也會(huì)有學(xué)而無(wú)用的錯(cuò)覺(jué)，這在一定程度上影響了他們學(xué)習(xí)興趣。而線(xiàn)性代數(shù)作為理工科以及經(jīng)管各專(zhuān)業(yè)學(xué)生的一門(mén)必修的重要基礎(chǔ)理論課，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)及能力、解決實(shí)際問(wèn)題的能力以及科學(xué)計(jì)算能力起到非常重要的作用。那么，我們?nèi)绾芜M(jìn)行課堂教學(xué)改革，破解上面所述的困境呢？