“數(shù)學(xué)畫”：為兒童提供可視化的思維路徑

周麗

【摘 要】數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，抽象、嚴(yán)謹(jǐn)是這門學(xué)科的特點(diǎn)，直觀、形象是兒童的思維特性，兩者之間的矛盾常常影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。兒童是天生的畫家，“數(shù)學(xué)畫”可以解決這一矛盾，抽象的數(shù)學(xué)以直觀的圖形呈現(xiàn)，助力學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)畫 數(shù)學(xué)思維 深度學(xué)習(xí)

一、緣起：孩子的方法真簡(jiǎn)單

筆者的孩子進(jìn)入小學(xué)階段學(xué)習(xí)后，平時(shí)喜歡研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。在一次檢查孩子自主研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有一道題孩子的做法給筆者留下了深刻印象。這道題是這樣的：10個(gè)男生圍成一圈，每?jī)蓚€(gè)男生之間排1個(gè)女生，一共可以排幾個(gè)女生？這是一道典型的間隔排列問(wèn)題，通常情況下學(xué)生會(huì)在三年級(jí)接觸這類知識(shí)。筆者看見(jiàn)孩子的答案是“10”，心里想：是不是蒙的呢？于是就問(wèn)孩子：“你怎么知道是10個(gè)女生呢？”“媽媽，我是畫圖知道的呀！”孩子把自己畫的圖找出來(lái)說(shuō)道：“你看，10個(gè)男生圍成一圈，我用圓圈代替男生，然后每?jī)蓚€(gè)男生中間畫一個(gè)三角形表示女生，數(shù)一數(shù)發(fā)現(xiàn)就是10個(gè)女生。”筆者忍不住鼓掌稱贊道：“真是了不起！用畫畫解決了這么難的數(shù)學(xué)題！這么巧妙的方法媽媽都沒(méi)有想到呢！”

通過(guò)這次交流，接下來(lái)筆者就留心觀察自己班級(jí)學(xué)生的思考方式，發(fā)現(xiàn)有些動(dòng)手能力強(qiáng)的學(xué)生，只要一遇到有點(diǎn)難度的問(wèn)題，就會(huì)用畫畫來(lái)理清自己的思路，找到解決問(wèn)題的方法。心里不禁感嘆：兒童是天生的畫家，畫畫是他們表達(dá)思想最重要的方式。學(xué)生在畫圖的過(guò)程中，能夠?qū)⒊橄蟮奈淖洲D(zhuǎn)化成圖形，通過(guò)觀察圖形，再找到解決問(wèn)題的思路，獨(dú)立思考能力得到發(fā)展，知識(shí)得到內(nèi)化。正如蘇霍姆林斯基說(shuō)的那樣：“兒童的智慧在他的手指尖上。”

二、解讀：理解 “數(shù)學(xué)畫”

“數(shù)學(xué)畫”就是引導(dǎo)學(xué)生把題目中的條件、問(wèn)題、意思等抽象的內(nèi)容用直觀的圖形表現(xiàn)出來(lái)，立足點(diǎn)是兒童的身心特點(diǎn)、認(rèn)知發(fā)展和數(shù)學(xué)本質(zhì)，能夠幫助還處在直觀思維的小學(xué)生理順解題思路，快速建立解題模型。無(wú)論是從生活實(shí)例的啟發(fā)來(lái)看，還是從小學(xué)生學(xué)習(xí)需求來(lái)說(shuō)，“數(shù)學(xué)畫”是學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的有效工具和媒介，是聯(lián)系兒童和數(shù)學(xué)最完美的存在。

三、實(shí)踐：指尖上的數(shù)學(xué)智慧

小學(xué)階段數(shù)學(xué)教材編寫本身就很重視數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，低年級(jí)學(xué)生通過(guò)圖形來(lái)理解數(shù)、抽象數(shù)、探索規(guī)律，中年級(jí)學(xué)生第一次正式接觸畫圖的策略，高年級(jí)教材更是借助圖形來(lái)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、算理等。每一次的教學(xué)與圖形相遇，教師在教學(xué)過(guò)程中都要巧妙滲透“數(shù)學(xué)畫”，將教學(xué)內(nèi)容化靜為動(dòng)，讓學(xué)生在各類形式的圖形分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中，不斷感受和體會(huì)“數(shù)學(xué)畫”的好處，慢慢掌握“數(shù)學(xué)畫”的技巧，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1.在探索規(guī)律中，感受“數(shù)學(xué)畫”的簡(jiǎn)單

新課改后，低年級(jí)數(shù)學(xué)教材無(wú)論是從形式還是內(nèi)容上，都十分注重學(xué)生能力的培養(yǎng)，倡導(dǎo)讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力。因此，探索規(guī)律成為學(xué)生非常重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。數(shù)學(xué)規(guī)律的探索離不開(kāi)圖形，遇到此類問(wèn)題時(shí)，教師就可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生感受“數(shù)學(xué)畫”對(duì)于探索規(guī)律簡(jiǎn)單、清晰的作用，從低年級(jí)開(kāi)始就可以借助直觀圖形，發(fā)展學(xué)生抽象思維能力，使其逐步建構(gòu)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的初步認(rèn)識(shí)”一課，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：擺一個(gè)平行四邊形需要4根同樣長(zhǎng)的小棒，你能用7根小棒擺出2個(gè)大小相同的平行四邊形嗎？像這樣擺下去，求擺3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)平行四邊形小棒的根數(shù)？（見(jiàn)圖1、表1）

通常情況下會(huì)有兩種教學(xué)方式：一是直接法，教師先出示小棒擺的情況，然后學(xué)生觀察、討論，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后填寫表格。二是操作法，教師讓學(xué)生先擺一擺，然后再填寫表格。顯然，第一種教學(xué)方法，學(xué)生的感受不是很深刻，思維不夠靈活的學(xué)生，往往發(fā)現(xiàn)不了規(guī)律。第二種方法，學(xué)生經(jīng)過(guò)動(dòng)手操作后有了直觀的感受，就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，但是對(duì)于數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)還缺少一個(gè)支架。

在教學(xué)這類問(wèn)題時(shí)，我們不妨引入“數(shù)學(xué)畫”，第1個(gè)和第2個(gè)平行四邊形畫給學(xué)生看，接下來(lái)第3個(gè)、第4個(gè)、第5個(gè)讓學(xué)生自己畫。在動(dòng)手畫的過(guò)程中動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)規(guī)律，學(xué)生從而發(fā)現(xiàn)每多一個(gè)平行四邊形，就多3根小棒，這樣就自然發(fā)現(xiàn)平行四邊形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)之間的關(guān)系，總結(jié)出規(guī)律，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也就水到渠成，自然生成了。

2.在解決問(wèn)題中，感知“數(shù)學(xué)畫”的直觀

為了讓學(xué)生深刻體會(huì)“數(shù)學(xué)畫”的重要性，蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)安排了“解決問(wèn)題的策略——畫圖”這一單元，通過(guò)畫示意圖、線段圖來(lái)理解題意，從而找到解決問(wèn)題的方法。在教學(xué)中，教師要利用具有代表性又容易理解的例題，引導(dǎo)學(xué)生充分感受“數(shù)學(xué)畫”在條件和問(wèn)題呈現(xiàn)上的直觀，并形成這一類問(wèn)題解決方法的遷移，在今后的學(xué)習(xí)中能自己通過(guò)“數(shù)學(xué)畫”找到解決問(wèn)題的方法。

例如，教學(xué)“解決問(wèn)題的策略——畫圖”的第一課時(shí)，一般先有四個(gè)環(huán)節(jié)：學(xué)生想到畫圖、畫好圖、用好圖和感受畫圖的好處。接下來(lái)，為了能讓學(xué)生進(jìn)一步深刻感受“數(shù)學(xué)畫”的好處，掌握解決這一類問(wèn)題的方法，筆者增加了一個(gè)環(huán)節(jié)：引導(dǎo)學(xué)生借助“數(shù)學(xué)畫”把長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的所有變化情況都畫出來(lái)，再通過(guò)電腦動(dòng)畫驗(yàn)證所有動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。全班不可能每個(gè)學(xué)生都有很好的抽象思維能力，尤其是一些學(xué)困生，他們的這一能力更是薄弱。在例題教學(xué)完長(zhǎng)增加、寬增加的圖形后，依然要讓學(xué)生畫一畫長(zhǎng)、寬不同變化等所有可能出現(xiàn)的情況，并適時(shí)進(jìn)行直觀演示，給學(xué)生解決這一類問(wèn)題的支點(diǎn)，感知“數(shù)學(xué)畫”的直觀（見(jiàn)圖2）。

3.在理解算理中，感悟“數(shù)學(xué)畫”的清晰

計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重要的組成部分，學(xué)生掌握較好的是算法，通常對(duì)于算理一知半解，特別是對(duì)小學(xué)高年級(jí)分?jǐn)?shù)除法的算理更是不知其所以然。為了幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法的算理，教材中充分借助了圖形，讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。

分?jǐn)?shù)乘法借助“數(shù)學(xué)畫”以后，學(xué)生能清晰地理解算理，但是分?jǐn)?shù)除法這一知識(shí)，學(xué)生往往只掌握了分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，即除以一個(gè)數(shù)（0 除外）等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，而對(duì)算理理解不夠深刻。為了遵循教材的編寫意圖，把算法的學(xué)習(xí)建立在理解算理的基礎(chǔ)上，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，筆者始終把“數(shù)學(xué)畫”引入教學(xué)中，以動(dòng)態(tài)圖形形象地呈現(xiàn)例題。

四、展望：在“數(shù)學(xué)畫”中提升素養(yǎng)

“數(shù)學(xué)畫”的內(nèi)容和形式是一個(gè)發(fā)展的過(guò)程，低年級(jí)學(xué)生開(kāi)始跟著教師畫一一對(duì)應(yīng)的圖，用圖把各種數(shù)量關(guān)系表示出來(lái);中年級(jí)學(xué)生開(kāi)始接觸線段圖、示意圖，感受畫圖的好處;高年級(jí)學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)，可以自己嘗試畫示意圖，提升探究能力和思維分析能力。“數(shù)學(xué)畫”是把一個(gè)個(gè)難懂的數(shù)學(xué)難題用兒童喜聞樂(lè)見(jiàn)的方式予以呈現(xiàn)，更是為了讓他們理解數(shù)學(xué)，直至愛(ài)上數(shù)學(xué)，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。