數學表達力的多元價值及培養策略

摘 要 數學表達力是學生在一定的場景中恰當地運用數學的思想語言表達數學問題或者數學模型的能力。數學表達力的培養對促進學生理解數學知識、發展思維能力、開展數學交流、促進情感發展、解決生活問題具有重要意義。教師應樹立“以人為本”思想，為學生的數學表達創設敢于表達的氛圍，構筑樂于表達的平臺，指導善于表達的方法，拓展有效表達的空間，增強學生數學表達的理性思維能力，養成良好的數學表達習慣，逐步提升有質量的數學表達素養。

關鍵詞 數學表達力 教學價值 培養策略

什么是數學表達力呢？不同的人有不同的看法。有教師認為數學表達力在表達形式上是用一段話或者一個相對系統、完整的句群進行表達，表達內容上既有觀點闡述又有理據分析，既能用數學語言表達數學思想又能用數學方式表征實際問題的深層次數學表達[1]。也有教師認為數學表達力就是學生在數學學習中，將自己解決數學問題的觀點、思想、方法、過程等，用恰當的數學語言準確流暢地表達出來的能力[2]。筆者認為要準確揭示它的內涵，需要考慮以下幾個因素：表達的主體——小學生，其思維尚處于具體形象向抽象思維過渡的階段;表達的形式——數學語言，其特征是準確、簡潔、抽象和嚴謹;表達的對象——數學問題或者說數學模型;表達的目的——情境交流的需要等。因此，筆者認為數學表達力就是指學生在一定的場景中恰當地運用數學的語言表達數學問題或者數學模型的能力。

一、數學表達力的多元價值

1.數學表達力是學生理解建構數學知識的橋梁

作為一門學科，數學有其自己獨特的特點：抽象性、精確性和應用的廣泛性。這些特點對提高人的科學文化素質具有重要的意義。學生在學習數學知識的過程中，一般都伴隨著語言的內化過程（也就是數學表達），進而促使數學知識的自主建構生長。比如教學負數的意義，教材呈現用負數表示低于零度的溫度和用負數表示低于海平面的海拔高度數據，讓學生在比較中直觀地感悟正數和負數是一組相反意義的數量。但僅有這樣的例子對負數的意義理解顯然不夠。一位老師精心設計了這樣的活動：讓學生聯系自己生活實例，借助畫圖形式描述生活中正數和負數的具體含義，并作出解釋。有學生說媽媽信用卡上的金額有正數和負數，分別表示花錢和還錢的金額;還有學生說爸爸公司去年因為疫情虧了一些錢，今年經濟轉好又賺了很多錢;有的學生畫出樓梯的負一層和樓上第一層，是以地平線為分界線劃分的……通過多個直觀情境數據含義的表述，學生對正數、負數本質意義的理解水到渠成。

2.數學表達力是促進學生思維生長的動力

在筆者多年的教學實踐中，一直深切地感受到學生常常會遇到心有靈犀卻口難開的囧境，這其實就是學生思維面臨頓悟的一種征兆。這個時候如果能借助一些學生熟悉的材料讓學生的思維外顯表達出來，理解也就水到渠成了。比如蘇教版《數學》一年級下冊“兩位數加兩位數（進位加）”，教學例題34+16，首先借助小棒操作或者計數器操作，讓學生理解個位相加滿十必須向十位進一的道理，就需要組織學生反復觀察比較，敘說操作的過程，即個位的6加上4，正好捆成一捆即1個十，十位3個十加1個十再加進過來的一個十，一共是5個十，所以在十位寫5。有條理地表達操作過程和筆算過程，既是學生數學表達力的形成過程，也是學生的思維從具體算理的感性認識到抽象算法的概括理解過程。

3.數學表達力是用數學語言表征世界的方式

如何用數學的語言表達世界？就是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表征問題，用數學知識與方法構建模型并解決生活實際問題[3]。換言之就是建構一個數學模型。比如圓的周長，古人早就有“周三徑一”的表述，這一模型是古人經歷長期的生活觀察形成的規律認識。如何讓學生經歷這樣的發現過程？筆者在教學中先組織學生實踐操作：用繞繩法或者滾圓法測量幾個大小不同的圓的周長與直徑，再分別計算出它們的比率。通過計算、比較，學生逐步發現并得出“圓的周長和直徑的比率總是三倍多一點” 這樣的規律。

4.數學表達力是理性思想和理性精神生長的促進劑

通過數學表達，學生可以學會清晰地表達自己的數學思維、數學情感，而在表達的過程中，學生也逐漸感悟到數學語言的準確、簡潔、抽象、嚴謹，這些就是數學思想與理性精神的深層觀照[4]。比如教學分數的意義，在三年級時我們只能要求學生說出這樣的話：把一個物體平均分成幾份，表示這樣一份或者幾份的數就是分數。而到了五年級，就可以要求學生把分數意義的描述提升到較為抽象的表述：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份或者幾份的數就是分數。從“一個物體”“一個計量單位”和“一些物體組成的整體”到單位“1”，跳躍的不僅僅是知識的抽象，更是數學理性思維的適度提升。

二、數學表達力培養策略

1.營造學生敢于表達的氛圍

要培養學生的數學表達力，首先要學生肯表達、愛表達。但不同的學生生活習性和性格氣質都不相同。日常教學中，常常會遇到學生羞怯、不敢回答問題的情景，這時教師一方面要耐心等待、鼓勵和啟發，不要輕易代替或者否定其錯誤的表述，努力增強學生數學表達的信心。另一方面要善于營造學生敢于表達的環境。比如，教師用幽默的教學語言吸引學生，創設學生感興趣的情境激活學生，提出挑戰性問題驅動學生，努力使學生處于一個身心放松、積極有趣的對話氛圍。

小學生基本處于具體運算階段，他們的思維發展逐漸呈現從具體形象思維過渡到抽象邏輯思維，數學語言的表達往往呈現出不夠嚴謹、缺乏條理等特點，需要我們彈性地對學生提出適度的表達力目標，引導學生從“照樣子說”到“說自己的話”，從“說一句話”到“說一段話”，把“淺說”變為“深說”，漸進發展。比如：要求學生在一個正方形里面畫一個最大的圓，總有一部分孩子很隨意地在里面畫一個他認為最大的圓，這個時候，需要教師正面干預：你怎么說明你畫的圓是最大的圓？逼迫學生主動運用數學概念作出解釋。這時學生的思維就會從隨意的結果式畫圖轉變為理性的過程性推理，主動糾正為：因為最大的圓的直徑等于正方形的邊長，應先畫出正方形的兩條對角線，將交點作為圓心，再量出正方形邊長的一半作為半徑，這樣畫出的圓面積最大。這一嚴謹的數學表達過程，與數學操作的嚴謹推理相輔相成。值得注意的是，對數學表達的規范程度不應該死板統一，應考慮學生實際情況做到適度要求，逐步促使學生形成良好的數學表達力。

2.搭建學生樂于表達的平臺

良好的數學表達力的形成，不僅需要對話，更需要適時的反思。教學中教師要及時組織師生、生生展開交流討論和回顧反思，在反思中促進對話、內化思維，不斷增強數學表達力。這種對話與反思，可以是學生出現數學表達錯誤時，引導他們析錯辨錯主動建構;可以是對解題方法進行重新剖析，將數學表達由個別推向一般;還可以是直觀活動之后引導學生用數學的眼光理解問題、解決問題、感悟基本數學思想[5]。

比如教學平行四邊形面積，一開始將一個平行四邊形通過拉動框架變形為長方形，提問：平行四邊形的面積有沒有改變？為什么？有人說面積變大了，因為高變高了。有人說不變，因為四條邊沒改變。這里教師鼓勵所有的學生參與討論，互相補充、積極表達不同的思想。學生在爭辯中逐漸學會數學表達要以理服人、條理清楚、觀點鮮明、論據充分。在學生通過多個平行四邊形的轉化操作與交流后，教師又及時組織反思：平行四邊形面積可以怎樣計算？通過剛才的學習有哪些收獲？使學生在特殊化歸為一般的深刻體會中逐步內化自己的思維方式，將對數學思想方法的認識上升為數學思維策略，并反過來進一步促進學生數學表達力的提升[6]。

3.增強學生善于表達的能力

在日常數學知識的教學中，不僅要鼓勵學生說課題、說操作、說思路、說想法，還要說得有理有據、準確規范，并使之成為數學學習的重要方式和思維習慣。比如學生在學習平行概念時，常常有“兩條不相交的直線就是平行線”這樣不夠嚴謹的表達。如何讓學生意識到這種說法的錯誤呢？上課時教師出示一個長方體框架模型，讓學生在模型上找出幾組平行線，并說明它們為什么互相平行的道理。當有人說“因為它們永遠不相交”時，教師有意識指出上底面的一條長和下底面的一條寬，讓學生觀察后說說新的想法。這時有學生發現：盡管這樣的兩條直線沒有相交，但卻不是平行線。這又是為什么呢？這時教師將長方體的表面用六個長方形圍起來，再次引導觀察發現：原來上底面的長邊和下底面的寬邊不在同一個平面上，所以盡管沒有相交，但也不是平行線。教學到此為止，似乎已經結束了。但教師又提出：上底面前面的長邊和下底面后面的長邊，好像也不再同一個平面上，它們是不是平行線啊？為什么？教師啟發學生想象一下：能不能找到一個面正好把兩條長邊放在上面？在教師啟發下，有學生終于想到可以做一個斜面插進去，使得上底面前面的長邊和下底面后面的長邊都在同一個平面上。在這個活動中，學生對“在同一個平面內”這一關鍵詞的表述印象特別深刻。數學中的嚴謹推理和準確表達，使得每一個結論都是牢固的、不可動搖的。這種思想有助于提升學生的數學素質。

4.拓寬學生有效表達的空間

提升數學表達力必然與數學閱讀、數學傾聽等密不可分。對數學傾聽力的培養，不僅要求學生耐心傾聽，更關鍵是指導學生注意傾聽對方的數學表達是否準確、清楚、簡潔，數學推理是否有理有據。在傾聽其他同學發言時應教育學生不要匆忙下結論、給建議，更不要因為與對方不同的見解而產生激烈的爭執。對數學閱讀力的培養，應指導學生學會思考：書上講的什么、有什么樣的道理、為什么是這樣表述、有沒有不同的想法等問題，主動融入自己的數學思維，而不是人云亦云。

數學表達力除了口頭語言訓練外，還有數學語言的符號化表達和數學寫作訓練。關于數學語言的符號化表達，這方面的研究已有很多，本文暫不作討論。關于數學寫作，可以是課堂開展的實踐研究報告，也可以是學習心得體會，或者數學故事等等。筆者在訓練學生的數學寫作時，常常指導學生結合親身經歷的數學實踐活動，完成一篇數學實踐研究小報告。比如，教學三角形面積計算時，當討論完書本方法之后，教師提出延學任務：書本用兩個同樣的三角形轉化為平行四邊形求得面積，我們能不能只用一個三角形就轉化為學過的圖形呢？希望大家課后動手做一做，并寫出你的實踐過程。在第二天的練習課上，教師邀請幾位寫得比較好的學生進行現場展示和講解。因為學生親身經歷了研究過程，對三角形的剪拼細節特別清楚，對三角形面積計算公式的獲得及其蘊含的轉化思想的印象也更為深刻。

如何提升學生的數學表達力，需要我們進一步轉變教學觀念，積極創設學生敢于數學表達的氛圍，精心構筑學生樂于表達交流的平臺，切實指導學生善于數學表達的方法，拓展有效數學表達的空間，努力增強學生的理性思維，養成良好的數學表達習慣，逐步提升學生的數學表達力。

參考文獻

[1] 蘇光.從“淺表達”到“深表達”提升小學生數學表達力的實踐與探索[J].數學教育通訊，2021（04）：7-10.

[2] 張云.言之有理：學生數學表達力的應然追求[J].小學數學教育，2020（18）：32-34.

[3] 史寧中.學科核心素養的培養與教學：以數學學科核心素養的培養為例[J].中小學管理，2017（01）：35-37.

[4] 張順燕.數學的美與理[M].北京：北京大學出版社，2004.

[5] 彭永新.引導“回顧與反思”，積淀“數學活動經驗”[J].長三角：教育，2012（02）：71-72.

[6] 彭永新.思考力、批判力和表達力：自主學習的核心動力——“平行四邊形的面積”教學新思考[J].小學教學：數學版，2018（12）：43-44.

[責任編輯：陳國慶]