強而弗抑 開而弗達

姚宇雯

摘要：在初中數學教學活動中，特別是在習題教學的時候，解題就是一個思考的過程，解題過程反應出來的就是思維的歷程。我們從不同的方面來考慮題目，從不同的途徑反復考察同一細節，以不同的方式組合這些細節，從不同的角度來處理它們遇到障礙或錯誤，但每一次的沖破障礙都是一種進步。數學學習就是應該多嘗試、不要怕錯誤，思維的鍛煉才是解題的根本目的。

關鍵詞：習題教學; 解題思維 ;思維發展

《禮記·學記》：“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。強而弗抑則易，開而弗達則思?！睌祵W課程標準提出在數學教學活動中教師要激發學生興趣，調動學生積極性，鼓勵學生的創造性思維。教師在課堂上進行習題教學時，最重要的是引導學生用正確的方法去思考，鍛煉和發展學生的思維能力。在不斷的引導和探索中，學生們才能學會獨立自主地思考，從而產生一些自主的想法，獲得一些新的突破。G.波利亞在怎樣解題中談到尋求有用的思路時可以從不同的方面來考慮題目，從不同的途徑反復考察同一細節，以不同的方式組合這些細節，從不同的角度來處理它們，一個有用的念頭也許是一個決定性的念頭，它能在一瞥之間就為你指向通往追蹤目的的途徑。本文以浙教版八下正方形的一道作業題為例談教師在引導學生們進行探究的過程中，如何來發展和鍛煉學生的思維能力，讓他們能夠在解題中獲得創新和提升。

一、提出問題

已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，當∠MAN繞點A順時針旋轉時，這兩條邊交正方形的邊BC和DC（或者是這兩條邊的延長線），交點為M和N。

如圖1所示，當旋轉到某一角度時，BM=DN，此時，容易得到BM+DN=MN.

問題：（1）如圖2所示，當∠MAN旋轉到某一位置，且BM≠DN，那么線段BM、DN、MN之間又有怎么樣的數量關系呢？寫出猜想，并證明你的結論。

（2）當∠MAN旋轉到另一位置時，如圖3所示，同樣的，線段BM、DN、MN之間又有怎么樣的數量關系呢？寫出猜想即可。

二、引導探究

這道題目既是一道證明題，也是一道規律探究型題目，有一定的難度。在引導學生們思考的時候，必須要充分結合已知條件，又要讓學生們發揮想象，做一些大膽的猜想。首先我是做了一個大致的提示，如“題目中為什么要把這種特殊情況告訴我們，當BM=DN時，容易得到BM+DN=MN.”這樣就可以提示學生們從特殊情況開始探究，并按照這樣的方式去探究另外兩種情況，而探究的方向同樣是找出線段之間的數量關系，極有可能還是和差的關系。

有了這個大致的方向之后，學生們就開始從判斷這三條線段之間的數量關系入手，把這個問題轉化成了線段的和差問題。我讓學生們從研究圖1開始，先證明一次，理清這類證明題的總體思路，那么就可以把這種思路運用到另外兩種情形。于是提問：對于探究線段之間的和差關系，我們通常用什么方法來解答呢？學生答：通過截長補短，把線段放在一個可比較的環境下進行比較。接下來學生們對圖1的情況進行證明。

證明過程：過點A作AH⊥MN于點H，如圖4所示。

∵ABCD是正方形，且BM=DN

∴△ABM≌△AND （SAS）

∴AM=AN，∠1=∠2=22.5°

∵AH⊥MN于點H ∴MH=NH，∠3=∠4=22.5°（三線合一）

∴△BAM≌△HAM 、△DAN≌△HAN （AAS）

∴MB=MH，ND=NH

整理得MN=MH+NH=MB+ND

上面是一種“截長”的方法，除此之外還有其他的方法嗎？學生們通過思考，又給出了另一種“補短”的方法，大致過程如下：

先延長MB至E，使得BE=DN，連接AE（如圖5所示），根據SAS容易證得△ABE≌△AND，得AE=AN，∠3=∠2，因為∠1+∠2=90°-∠MAN=45°，所以∠EAM=∠1+∠3=45°=∠NAM，同樣，用SAS可證得△EAM≌△NAM，綜上所述，可得MN=EM=EB+BM=DN+BM.

上面的兩種證法分別是通過“截長”和“補短”的方法把沒有聯系的線段放到了一起進行比較，思路非常清晰。“截長”和“補短”也是常用的兩種證明線段數量關系的方法。通過對圖1中的特殊情況進行證明，接下來繼續研究另外兩種一般的情況，探究線段之間的數量關系。學生們直接把方法移植過去，某個學生采用的是“補短”的方法，如圖6所示，先延長MB至E點，使得BE=DN，可以得到△ABE≌△AND（SAS），所以AE=AN，∠3=∠2，又因為∠1+∠2=90°-∠MAN=45°，所以∠EAM=∠1+∠3=45°=∠NAM，同樣的方法易證得△EAM≌△NAM，所以MN=EM=EB+BM=DN+BM.

這個過程可以說是跟原來那個一樣的，也比較好理解。當這個問題解決了之后，本想結束這道題的探究，然而，有個學生很好奇地問道：前面那個特殊圖形是用了兩種方法來證明，那這個也能用兩種方法嗎？這里只用了一種方法，是否也能用“截長”的方法在中間添加一條輔助線呢？雖然這種方法我也沒有嘗試過，但我也不能拒絕學生的這種探究要求，反而應該鼓勵，讓學生們能夠大膽猜想，不斷嘗試。因為我知道，只有這樣才能讓學生們發揮出潛能，積極去思考，鍛煉和提高學生的思維能力。

三、嘗試創新

對于這道題是否有另外一種解法，我也不能確定，只能一邊思考一邊引導學生們思考，我相信只要思考的方向正確，是可以做出來的。于是我們就參考特殊情形證明過程中的另外一種證明方法，用“截長”的方法來嘗試證明這個結論。

學生們先自行探究并嘗試證明，如圖7所示，過點A作AH⊥MN于H，再證兩組三角形全等，先證明△ABM≌△AHM，接著要證明△ANH≌△AND，最后就可以得到結論。思路是理順了，但是，過程中卻發現問題了。學生們反應，第一組三角形全等就證明不出來。從圖中可以看到，在這組三角形中，有兩個直角∠D=∠AHN=90°，AN是公共邊，還缺一個條件，不能證得三角形全等。另一組也是一樣的，證明不到全等。學生們陷入苦思，還是找不到方法。

此時又有學生提出新的思考角度，認為在作輔助線的時候不作垂直，而是截取MH=MB，再連接AH。學生們對這種方法再一次進行了嘗試，發現這種方法更加行不通，這樣只能得出第一組三角形的兩組對邊分別相等，同樣還是缺少一個條件，而另一組三角形只有公共邊這一個條件可用，證明的難度又加大了。學生們這樣連續遭受了兩次挫折，明顯感覺比較無奈和無助，感覺到他們想要放棄了，而我也正想宣布這道題無解，跳過這個問題，學習下一個內容。

忽然有學生小聲的說是否可以用翻折的方式來找出這條輔助線。也就是將△ABM以AM為軸翻折，△AND以AN為軸翻折，如圖8所示。學生們心中頓時亮了起來了。因為∠MAN=45°，所以∠1+∠2=∠3+∠4=45°，也就是說翻折之后的AB和AD能夠在一條直線上，到了這一步，可以說就非常簡單了。通過三角形全等，可以證得∠AFM+∠AFN=∠B+∠D=180°，所以M、F、N三點共線，也就是MN=MF+NF=MB+ND.同學們在不斷的挫折之后尋找到這樣一個巧妙的方法，都表現得非常開心，我也不禁為這班學生喝彩。

四、歸納總結

在平時的教學中，教師們天天說數學課堂教學要發展學生的思維能力，發展學生的創新意識，大部分都只是在說，而沒有真正落實到位。而我認為，像上面的課堂可以激發學生的潛能，鍛煉學生的思維。雖然這堂課中這道題目占用的時間比較長，使得課堂沒有按照教學設計步驟進行，但我認為是非常值得的，我們平常說的培養學生的能力應該就是這樣的方式。如果沒有學生的好奇，想要尋找另一種方法，就沒有后面精彩的探究，如果在遇到了一兩次挫折之后就放棄，同樣也看不到后面的精彩，學生的潛能也得不到激發。反思的過程中發現，這里面既要學生的積極參與，也要老師的積極配合。如果教師給的提示過多，就變成了講解，學生的思維得不到鍛煉，如果教師墨守成規，一味地按照教學設計進行，可能就不愿意花時間去探討這個問題，直接就到了下一個環節，那么學生的各種好奇、各種猜想和潛能同樣不能發揮出來。因此，這個例子可以說給了我們一個啟發，只要引導適當，給學生們一定的時間和思考空間，鼓勵他們勇于創新發展思維，學生從多方面多層次多角度進行思考，學生的潛能是非常巨大的，而教師就是要做這個激發學生潛能的引導者。

參考文獻：

[1] 曾麗花.如何激發學生的有效思 考試周刊 2013年64期.

[2] G.波利亞怎樣解題 第30頁.