數學求導在高中物理解題中的運用

虞健明

摘 要：數學與物理是兩門聯系非常緊密的自然學科，縱觀物理學發展史，數學對推動物理學的進步和發展發揮著重要的作用。無論是在物理學習過程中，還是運用物理知識解決問題的過程，都會用到數學知識，越是高深的物理理論研究，越離不開數學工具的運用。

關鍵詞：高中物理;數學求導;物理解題

物理與數學作為兩門基礎自然學科，在科學研究和實踐應用中有著緊密的聯系。縱觀物理學發展史可以發現，數學是物理學研究的基礎，是精準表述物理學的一種科學語言，它使抽象繁復的物理學理論能夠簡明直觀地表達出來，有力地推動了物理學的創新與發展。即使在物理學高度發達的今天，數學依然是物理研究不可或缺的重要工具。無論在物理學習時，還是在物理問題解決中，總會有數學知識相伴，越是高深的物理問題，對數學知識的依賴程度越高。像數學中的幾何、導數、代數、函數、解析幾何等知識，都是有效解決高中物理問題的數學工具。如果能夠在物理學習中充分發揮數學工具的重要作用，那么，物理解題過程就會變得簡單而高效。其中，高中數學學科中的導數就是一個提高物理解題效率的重要工具。求導即求一個函數的導函數，簡稱求導。導函數是求極值和函數的單調性的重要方法。將導函數的性質運用到高中物理解題中，可以起到事半功倍的效果。

一、運用數學求導破解物理極值問題

例1：如下圖，在平面xoy內，y軸與虛線間的區域中，除了圓形區域外，都有勻強磁場，且磁場方向是垂直紙面向外，磁感應強度為B。平面中的虛線與x軸相交于Q點（3L，0）并與y軸平行。平面中的P點是圓形區域的圓心，其坐標是（2L，0），圓的半徑為L。當一個質量為m，電荷量為q的帶正電的粒子從y軸上的某點以垂直y軸的角度進入磁場（忽略粒子重力），那么（ ）

A.若該粒子未經圓形區域到達Q點，則粒子進入磁場時的速度是。

B.若粒子第一次經P點通過x軸，那么，粒子進入磁場時的速度是。

C.若粒子第一次經P點通過x軸，那么，粒子進入磁場時的速度是。

[分析與解]：設粒子穿越磁場時的圓心角是θ（下圖），根據圖中各圖形間的幾何關系可知

rsinθ+Lcosθ=2L，得

據得，故正確的答案是B。

觀察此題解答過程可以發現，主要運用了數學中三角公式變換的知識，但這部分內容在數學教學大綱中并不是重點，學生對該部分知識的掌握并不熟練和牢固，所以，理解起來有點困難。

為此，我們可以啟發學生，變換解題思路：將前的三角函數設為再根據導數函數的性質求極值，這樣，就降低了解題難度，提高了解題效率，詳細解答如下：

，令則，即θ=600，得rmin=L。據得。

例2：在一根不可伸長的輕質線一端系一質量為m的小球，線的另一端系于O點，把球拉到水平后靜止釋放，問，小球到什么位置具有最大的豎直速度？

[分析與解]：設輕線轉過θ角時，小球的速度為v，它的豎直分速度為v2=vcosθ，由機械能守恒定律可知：

，，

對上述關于的函數，

對θ求導，，

令y'=0，得θ=90°（舍去），。

答：當時小球的豎直速度最大。

二、運用數學求導破解電磁難題

從數學的角度審視高中物理中根據法拉第電磁感應定律（），求感應電動勢這個過程，本質上就是通過閉合回路的磁通量對時間的求導過程，建立物理與數學間的解題思維聯系，對迅速求解物理問題有重要的意義。

例3：在上圖中，一水平木板上固定著兩根平行的金屬導軌，導軌每米的電阻是，用一根導線（電阻不計）分別連接兩根導軌上的P、Q端點，兩導軌相距I=0.2m。有隨著時間變化的勻強磁場垂直于木板平面，已知磁感強度B與時間t的關系是B=kt（比例系數k=0.20T/s），有一金屬桿（電阻可忽略）以與導軌垂直的角度在導軌上滑動（摩擦力忽略），在金屬桿以固定的加速度由靜止開始滑向導軌另一端的過程中，試求在t=6.0s時，金屬桿受到的安培力。

按照常規物理解法是先求出回路中的動生電動勢和感生電動勢，并判斷出電動勢的方向，最后求出回路中的總電動勢。此過程比較復雜，如果用數學導數知識求解，解題過程可得以簡化，提高解題效率。

[分析與解]：設金屬桿運動加速度為a，在t時，金屬桿移動的距離為：。金屬桿的運動速度為：v=at金屬桿與導軌間形成的回路面積為：。此時，回路中的磁通量為：，

回路中的感應電動勢為：。回路的總電阻為R=2Lr0。

回路中的感應電流為：。金屬桿受到安培力為：F=Bli。

解得。代入數據求得：F=1.4×10-3N。

可見，利用數學求導知識解題更簡潔，不但提高了解題速度，還可以加深學生對電磁感應現象本質的理解。透過物理現象看到背后的數學規律，發散了學生的思維，拓展了學生的認知。

三、運用數學求導求解物體運動規律

在物理中，我們可以利用s-t圖像中圖線斜率來求物體速度，圖線上各個點的斜率就是此時物體的運動速度，由此，對物體運動的位移與時間變化間構成的函數進行一次求導，就是物體運動速度與時間變化間的函數。將物理問題轉化為數學問題求解，更直觀明了。

例4：如上圖，將一平面鏡M和一巨型的光屏垂直地面直立固定放置，二者間相距為d，一束氦氖激光經光屏上的一個小孔s垂直光屏射入，射在平面鏡的中點O上，現將平面鏡以O為軸心進行逆時針勻速旋轉，角度是ω，求：平面鏡逆時針旋轉時間時，激光束反射在光屏上的光點移動的速度是多少？

傳統方法：利用運動的分解。

[分析與解]：在t時刻光點P的移動速度可以看成是如圖所示兩個運動的合運動。

在t時間內反射光束轉過的角度為2ωt

則垂直光線方向的速度：

光點的移動速度

求導的方法：

[分析與解]：

根據題意可知經過t時間的旋轉后，反射光束轉動的角度為2ωt。

激光束反射在光屏上的光點P產生的位移為：S=dtan2ωt。

由此可得光點的移動速度為：

總之，將導數知識運用到高中物理解題中，架起了物理與數學間聯系的橋梁，這種跨學科教學方式，既可簡化物理解題過程，揭示物理現象背后的數學本質，又拓寬了學生的思維認知，促進了學生思維能力的提高，發展了學生的綜合素養。

參考文獻

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[2]趙力宏.高中物理課堂學生發散思維的培養[J].數理化解題研究，2020（03）.