在數與形之間感悟數學思想

裘一能 裘迪波

【摘要】本文以特級教師葉柱《數與形》教學片段賞析為例，論述引導學生在數與形之間感悟數學思想的策略，將數的問題轉化成形的問題，從直觀的圖形表征中尋找計算方法;通過數與形之間的相互轉換，讓學生體會到數與形都是表征問題的方式，由此打通形象思維與抽象思維之間的通道。

【關鍵詞】《數與形》 數學思想 教學片段

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）29-0082-02

人教版數學六年級上冊教材將“數學廣角”中的《數與形》單獨列為一個主題單元，目的是引導學生體會數形結合思想的直觀性，培養學生觀察、分析、推理以及解決問題的能力。但在學生的認知結構中，數是數、形是形，兩者難以和諧統一。如何將數的問題轉化成形的問題呢？教師應當從直觀的圖形表征中尋找計算方法，通過數與形之間的相互轉換，讓學生從中體會數與形都是表征問題的方式，由此打通形象思維與抽象思維之間的通道。溝通數與形之間的聯系，可促使學生將知識內化于心、外化于形，使深度學習真正發生。下面，以特級教師葉柱執教的六年級上冊《數與形》為例，探索以“數形結合”為基石，讓學生在解決問題中真正體會到“寓數于形”“以形解數”“數形互補”的數與形之間的聯系、發展與變化，促使學生在數與形之間的相互轉換中，感悟數形結合的數學思想。

一、寓數于形

師：“1”這個數可以用哪一種“形”來表示？

生1：長方形、三角形。

生2：“1”可以表示一個圓形、正方形、平行四邊形等。

師：你用了“等”字表示“1”，這表示還可以有很多不同的圖形，那我們就選擇其中一個代表吧，假如“1”用一個正方形來表示，那么“2”應該怎么表示？“4”怎么表示？“99”呢？

生3：“2”表示2個正方形，“4”表示4個正方形，“99”表示99個正方形。

師：同學們都知道不同的數字可以表示不同個數的正方形，那么，“1+3+5”這個算式可以用什么圖形表示呢？請你將想到的圖形在本子上畫下來。

（圖形展示如圖1、圖2、圖3）

生4：我畫了1個加3個、加5個小正方形。（如圖1）

生5：因為1+3+5是一個等差數列，我就想到了可以用“金字塔”的圖形。（如圖2）

生6：我發現“1”是一個正方形，加上3個會組成一個更大的正方形，加上5個就會得到更大更大的一個正方形。（如圖3）

師：從這三個圖形中，我們發現了一個固定的算式，如果采用形來表示，可以有多種不同的表示方法。圖3這樣組成的圖形與前面兩種比較，好處在哪里呢？

生7：組成的圖形是一個大正方形，很容易知道一共有3×3=9個，9=32。

師：那如果是1+3呢？1+3+5+7呢？請直接說出答案。

生8：1+3=4，1+3+5+7=16。

師：這里只有1+3+5的圖形，你覺得加7，添上7個小正方形應該添在哪里呢？

[ ][ ][ ][ ][1=12][1+3=22][1+3+5=32][1+3+5+7=42]

生9：我認為上面加一排，右邊加一排，可以組成一個更大的正方形。

生10：像他這樣拼，可以拼成一個邊長為4×4的正方形。

師：如果是1+3+5+7+9+11+13，請你計算一下答案。誰能用簡潔的語言解釋一下為什么是這個答案？

生11：答案是7的平方。因為按照這樣的規律，2個數相加是2的平方，3個數相加是3的平方，以此類推，7個數相加就是7的平方。

師：你還能聯系上面4×4的圖形，推理得出1+3+5+7+9+11+13的圖形嗎？

【賞析】要實現數形結合，就要完成從數到形的轉化，打通從數到形的“隔斷墻”。先通過簡單的數字“1”引導學生思考用哪一個形來表示，還有2，4，99呢？學生初步感知數與形的對應關系。接著引導學生思考，并畫一畫1+3+5這個算式可以用怎樣的圖形來表示，讓學生構造形，體會形雖然有多種，但數與形卻一一對應，感悟同樣的形可以產生不同的計算方法，用不同的方式計算同一個幾何量，達到用“數”來表示“形”，用“形”來理解“數”，感受數與形之間的聯系、發展與變化。最后，引導學生聯系圖形推理1+3+5+7+9+11+13，想一想算式的結果和組成的圖形之間的聯系，進一步激發他們探究規律的欲望。從數到式、從獨立的形到組合的形，從多樣化的形到呈正方形，層層遞進、深入思考，學生體會到了“數中有形”，更加深入地感悟“形中有數”。

二、以形解數

師：這個“形”中還隱藏著其他的數的運算規律嗎？（如下圖形所示）口算：42-32等于幾？

[ ][42-32=7 （4+3）? 22-12=3 （2+1）

32-22=5 （3+2）? 52-42=9 （5+4）]

生1：42-32=7。

師：請你對照圖形觀察，4的平方，3的平方，7分別對應什么圖形？

生2：4的平方對應整個大正方形的個數，3的平方對應除了外面一圈小正方形，里面所有小正方形的個數，7指的是最外面一圈正方形的個數。

師：請繼續計算：32-22，22-12。

生3：32-22=5，22-12=3。

師：那么52-42呢？請問這個圖上有“5的平方”和“4的平方”嗎？你能想象出算式與圖形之間的聯系嗎？

生4（上臺手指圖形）：增加了大正方形外面的一圈，正方形的個數表示5的平方;原來大正方形內正方形的個數，表示4的平方;外面一圈正方形個數表示9個。

師：看看這四道算式，你有沒有發現其中存在著什么規律？

生5：42-32=7，7=（4+3）;32-22=5，5=（3+2）;22-12=3，3=（2+1）。

師：你能指一指4+3，3+2，2+1各表示哪里的圖形嗎？

（生5上臺指4+3，3+2，2+1所表示的圖形，其余學生也用手書空比劃）

師：根據這一規律，你能計算1002-992等于幾，并想象算式與圖形之間的聯系嗎？

【賞析】要實現數形結合，還要完成形對數的反哺，搭建從形到數的“玄關墻”。“數”引導學生去探索規律，而“形”的出現提高了學生探索規律的效率。先讓學生計算42-32，32-22，22-12分別等于幾，并找一找所有數字分別對應什么圖形，巧妙借助圖形幫助學生理解算式中數的含義，為探索“數”的規律做好“形”的鋪墊;接著學生找一找四道算式的規律，指一指“數”規律背后隱藏的圖形，借助圖形的直觀性將抽象的數規律具體形象化，數形對照，算式與圖形一一對應，培養學生尋找數與形的對應能力。如此教學，學生體會“數中思形”，更加深刻地感悟“以形解數”，再根據算式發現規律，并用圖形來表達、驗證規律，有利于學生反思建構，實現形象思維和抽象思維的互助互補、相輔相成。

三、數形互補

師：這個圖形的涂色部分占整個正方形的幾分之幾？請用算式表示。（出示圖4）

生1：[12]+[14]=[34]，涂色部分占整個正方形的[34]。

師：這里通過簡單的計算就能得出結果，如果再加一塊涂色部分呢？請你用一道算式來表示，并計算出結果。（出示圖5）

生2：[12]+[14]+[18]=[78]，涂色部分占整個正方形的[78]。

師：這個[12]+[14]+[18]，能通過計算得到[78]，那么，你能聯系圖形，通過其他更簡單的方法來說一說嗎？

生3：將整個圖形設為“1”，這個空白部分表示[18]，涂色部分也可以表示1-[18]=[78]，因此：[12]+[14]+[18]=1-[18]=[78]。

師：這位同學通過聯系圖形，從不同的視角解釋計算的結果，想法更加巧妙。如果這個圖形不斷增加，你能寫出一個算式，并很快得出計算結果嗎？請試著寫一寫。（出示圖6）

生4：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=[6364]。

師：你是如何快速知道計算結果是[6364]？

生4：因為最后的一塊空白部分為[164]，那么，涂色部分只要1-[163]=[6364]就是各個涂色部分之和。

【賞析】數的運算離不開形的支撐，形的存在是讓學生更加理解數的規則與運算方法。如果說“寓數于形”是順向思維，那么“以形解數”就是逆向思維。在這一教學環節中，學生通過觀察圖形列出算式并計算結果，即把形的直觀描述與數的精確刻畫相結合體現“形中有數”，再利用計算結果聯系圖形找到更簡潔的計算方法，發展到了“以數釋形”。通過圖形不斷增加，設置“你能寫出一個算式，并比較快地得到計算結果嗎？你是如何快速知道計算結果是[6364]”這幾個問題，讓學生反思數與形的關系，進而在發現規律的過程中體會到：如果沒有直觀圖形作思考的載體，學生很難發現和理解規律;只通過圖形，不借助算式也難以建立計算結果與算式之間的聯系，從而在形對數的直觀性、數對形的深刻性兩方面，構筑起數形結合的“承重墻”，發揮了數形互補的作用。

【作者簡介】裘一能（2002— ），男，漢族，浙江嵊州人，現就讀于紹興文理學院，小教專業;裘迪波（1977— ），男，漢族，浙江嵊州人，現就職于浙江省嵊州市教育體育局教研室。

（責編 楊 春）