認(rèn)知結(jié)構(gòu)視角下《倍的認(rèn)識》教學(xué)難點與突破

計麗莉 韋宏

【摘要】本文以人教版數(shù)學(xué)教材《倍的認(rèn)識》為例，論述認(rèn)知結(jié)構(gòu)視角下《倍的認(rèn)識》教學(xué)難點突破策略，通過找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點、建立“倍”的模型及在比較中深化“倍”的內(nèi)涵三個方面，以創(chuàng)設(shè)情境、操作活動和方法指導(dǎo)等途徑突破難點，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移。

【關(guān)鍵詞】認(rèn)知結(jié)構(gòu) 《倍的認(rèn)識》 難點 突破 教材分析

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）29-0097-02

教學(xué)難點是指學(xué)生在教學(xué)活動中不易理解和掌握的知識與技能，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。找準(zhǔn)了教學(xué)難點，才能構(gòu)建有效的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。而在教學(xué)實踐中，仍出現(xiàn)教師把教學(xué)難點定得太低或者太高的現(xiàn)象，其原因在于部分教師依賴個人經(jīng)驗和習(xí)慣，以成人的角度來確定教學(xué)難點。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教。”由此，準(zhǔn)確把握教學(xué)難點，教師需基于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)合數(shù)學(xué)課標(biāo)要求，認(rèn)真做好教材的分析工作。

簡單而言，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)習(xí)者頭腦里的知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗。加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)是小學(xué)生主要構(gòu)建的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)會發(fā)生“質(zhì)變”。數(shù)學(xué)教學(xué)中，“倍”是學(xué)生從加法結(jié)構(gòu)過渡到乘法結(jié)構(gòu)的一個重要轉(zhuǎn)折點，在數(shù)學(xué)概念體系中占據(jù)舉足輕重的地位。《倍的認(rèn)識》屬于概念教學(xué)，具有高度抽象性，學(xué)生學(xué)習(xí)和理解起來存在一定的困難。基于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，小學(xué)階段的概念教學(xué)要建立在實際的問題情境中，依托形象化的學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生把復(fù)雜的問題納入已有模式中，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型、解決問題，從而理解數(shù)學(xué)概念。本文對人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中《倍的認(rèn)識》這部分內(nèi)容展開分析，指出《倍的認(rèn)識》的教學(xué)難點，在于找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點、幫助學(xué)生建立“倍”的模型，以及在比較中理解“倍”的內(nèi)涵這三個方面，并試圖通過創(chuàng)設(shè)情境、操作活動和方法指導(dǎo)等途徑突破教學(xué)難點。

一、《倍的認(rèn)識》的教學(xué)難點分析

美國心理學(xué)家奧蘇伯爾認(rèn)為，課堂教學(xué)中，學(xué)習(xí)者需要將新概念融入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。他還提出，觀念的可利用性、可辨別性、穩(wěn)定性與清晰性，是影響學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量。教師可以此作為標(biāo)準(zhǔn)分析教材，對《倍的認(rèn)識》教學(xué)難點進(jìn)行剖析。

（一）找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點

從學(xué)生發(fā)展的認(rèn)知角度看，“倍”的學(xué)習(xí)是學(xué)生從認(rèn)識加法到乘法的一個轉(zhuǎn)折點。因此，學(xué)生建立乘法認(rèn)知結(jié)構(gòu)的開始就是對“倍”的學(xué)習(xí)。教材第50頁的例題中，引入了“小兔子吃蘿卜”的情境，讓學(xué)生觀察不同種類的蘿卜數(shù)，經(jīng)歷從具體實物數(shù)量比較中逐漸抽象出“倍”的過程。教材先通過比較2根胡蘿卜和6根紅蘿卜的數(shù)量，再比較2根胡蘿卜和10根白蘿卜的數(shù)量，以2根胡蘿卜為一份，引出3份2根和5份2根的關(guān)系，建立“幾個幾”和“倍”的聯(lián)系，讓學(xué)生在“幾個幾”的基礎(chǔ)上認(rèn)識“倍”。教材是在學(xué)生已有乘除法知識上進(jìn)行編寫的。“幾個幾”是學(xué)生認(rèn)知乘法結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，屬于學(xué)生原有的認(rèn)知觀念。學(xué)生原有觀念的可利用性越大，對新概念的接受能力越強(qiáng)。教材一開始并沒有以除法知識為起點來讓學(xué)生初步認(rèn)識“倍”，原因在于，直接利用學(xué)生原有的除法觀念來教學(xué)“倍”，思維跨度大，觀念的可利用性不強(qiáng)，不利于學(xué)生有意義地學(xué)習(xí)。

在教學(xué)中找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，引導(dǎo)學(xué)生充分利用原有觀念將“幾個幾”與“倍”建立關(guān)系，是初步學(xué)習(xí)“倍”的關(guān)鍵，亦是難點。由此，教師在解讀教材時，要知道學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)是“幾個幾”，并正確處理好學(xué)生原有觀念與“倍”的關(guān)系，避免在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時對學(xué)生的認(rèn)知起點產(chǎn)生誤判，最終導(dǎo)致教學(xué)效果不理想。

（二）建立“倍”的模型

教材第51頁的例題，是關(guān)于“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”的教學(xué)，旨在運用除法知識幫助學(xué)生深化對“倍“的認(rèn)識，即兩個量的比較，一個量包含幾個另一個量。教材給出“畫示意圖“和“列除法算式”兩種解決方案，主要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，體現(xiàn)方法的多樣化，使得學(xué)生明白解決倍數(shù)問題可以用除法解決，能從除法角度進(jìn)一步理解“倍”的概念，并讓學(xué)生感受到畫圖策略的應(yīng)用價值。但在教學(xué)過程中，很多學(xué)生未能真正理解利用“除法算式”解決這道例題的用意，不少學(xué)生會有“見倍就乘”的想法，顯然，這是“倍“的模型未能在學(xué)生頭腦中真正建立的表現(xiàn)。如果學(xué)生原有的除法觀念與倍的概念辨別性不高，學(xué)生理解起來存在困難，那么學(xué)生的思維就不能擺脫舊知識的束縛，就難以掙脫“見倍就乘”的思維定勢。

因此，教師要基于學(xué)情領(lǐng)悟教材的編寫意圖，理解其表達(dá)的深刻內(nèi)涵，為除法與“倍”的知識搭建橋梁，提高學(xué)生對原有知識與新知的辨析度，幫助學(xué)生建立“倍”的模型。可見，教師解讀教材之后，在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生搭建“倍”的模型是教學(xué)的難點。

（三）在比較中深化“倍”的內(nèi)涵

比較是認(rèn)識新事物，判斷對象特性的一種學(xué)習(xí)方法。研究表明，比較是兒童認(rèn)識新事物、學(xué)習(xí)新知識的一種學(xué)習(xí)方式。“倍”本身就是關(guān)于兩個數(shù)量的比較。教材第50頁的例題中，對不同種類蘿卜數(shù)量的比較，教師在教學(xué)中要讓學(xué)生明確比較的兩個對象里，誰是作為“比較的標(biāo)準(zhǔn)”，誰是“被比較的量”，并能通過語言表征、動作表征和圖畫表征等多種形式，描述“倍”的內(nèi)涵，即一個量里包含了幾個另一個量。根據(jù)奧蘇伯爾提出的影響認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變量，在確定“標(biāo)準(zhǔn)量”與“比較量”的過程中，就是將學(xué)生原有觀念“幾個幾”（份數(shù)）與倍數(shù)進(jìn)行組織構(gòu)建，讓學(xué)生在比較中提高對原有乘法觀念的認(rèn)知，實現(xiàn)學(xué)習(xí)的正向遷移。

此外，學(xué)生在學(xué)習(xí)“倍”的知識之前，已經(jīng)掌握了“差比”知識，它與“倍比”是兩個不同的知識結(jié)構(gòu)，教師要幫助學(xué)生區(qū)分概念的內(nèi)涵與外延，使得學(xué)生明確“差比”是比多少的問題，它的結(jié)果是一個具體的量，而“倍比”的結(jié)果是兩個量間的一種關(guān)系，在比較中進(jìn)一步理解“倍”的內(nèi)涵。關(guān)于“倍”的外延概念，三年級學(xué)生主要學(xué)習(xí)“整數(shù)倍”，此外還存在分?jǐn)?shù)倍、小數(shù)倍、百分?jǐn)?shù)和比的內(nèi)容。教師要引導(dǎo)學(xué)生重視知識結(jié)構(gòu)的連貫性，做到“瞻前顧后”。可見，在教學(xué)中巧妙地運用比較這一方法幫助學(xué)生深化“倍”的內(nèi)涵，適當(dāng)為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，也是教學(xué)中的一個難點。

二、突破《倍的認(rèn)識》教學(xué)難點的途經(jīng)

于小學(xué)生而言，概念教學(xué)是抽象的，是難以理解的，教師需要基于學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，認(rèn)真研讀教材，精心設(shè)計教學(xué)活動，實現(xiàn)概念教學(xué)在各環(huán)節(jié)的難點突破。針對《倍的認(rèn)識》存在的教學(xué)難點，筆者提出以下可行的突破路徑。

（一）創(chuàng)設(shè)多樣情境，感知“倍”的概念

情境是教師“教”和學(xué)生“學(xué)”的重要載體。數(shù)學(xué)概念的建立，需要經(jīng)歷一個反復(fù)、持續(xù)的過程。為此，教師要以學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗為線索，試圖在課堂上創(chuàng)設(shè)多樣化的情境喚醒學(xué)生的舊知，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。在《倍的認(rèn)識》課堂上，教師可以創(chuàng)設(shè)學(xué)生喜聞樂見的游樂園場景圖，預(yù)先設(shè)計關(guān)于比多少的問題，再逐步擴(kuò)展到倍數(shù)問題，讓學(xué)生嘗試用原有的認(rèn)知方法去解決關(guān)于倍數(shù)的實際問題。當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突時，教師再加以點撥，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知。教師也可以靈活運用教材例題，先讓學(xué)生在“幾個幾”的基礎(chǔ)上初步認(rèn)識“倍”的概念，然后在“變化”中加深對“倍”的理解。如教師可在“小兔子吃蘿卜”這一教學(xué)情境中，充分利用現(xiàn)有資源，設(shè)計連續(xù)多樣的情境，不斷改變兩個比較量的數(shù)量，讓學(xué)生在經(jīng)歷“變化”中體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。教師創(chuàng)設(shè)出貼近學(xué)生生活的有趣多樣的情境，就是在試圖拉近學(xué)生和課本間的距離，提高學(xué)生在課堂教學(xué)中的參與度，促進(jìn)學(xué)生對“倍”的概念的認(rèn)識，為突破教學(xué)難點做準(zhǔn)備。

（二）重視操作活動，建立“倍”的模型

“倍”的概念學(xué)習(xí)，表明了兩類事物在數(shù)量上是一種比較的關(guān)系，是看不見、摸不著的。從小學(xué)生的認(rèn)知特點上看，文字概念的呈現(xiàn)和建立極不穩(wěn)定，小學(xué)階段的概念教學(xué)需要依靠感性的材料和具體的操作活動，在活動過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，才能加深學(xué)生對概念的理解。數(shù)學(xué)模型可以將抽象的數(shù)學(xué)知識具體化，幫助學(xué)生理解知識。為此，教師要以活動為抓手，重視操作活動，幫助學(xué)生建立“倍”的模型，完善概念的形成過程。教師可以創(chuàng)設(shè)“看一看，說一說”“圈一圈，填一填”“想一想，擺一擺”等操作活動，讓學(xué)生動用多個感官參與學(xué)習(xí)，在實踐探索中積累感性經(jīng)驗，逐步抽象出“倍”的概念。學(xué)生在“圈一圈，填一填”的操作活動中，確定了比較的標(biāo)準(zhǔn)，也在頭腦中建立了“1份”的概念，為“倍”與“份數(shù)”搭建聯(lián)系，接著通過“想一想，擺一擺”操作活動進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，從“感性體驗”向“抽象思維”過渡，理解“一個量里包含幾個另一個量就是幾倍”，明確“倍”和“包含”的關(guān)系，建立“倍”的模型，最終達(dá)成對“倍”本質(zhì)的理解，突破教學(xué)難點。

（三）注重方法指導(dǎo)，培養(yǎng)幾何直觀

借助幾何直觀能將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，培養(yǎng)小學(xué)生的幾何直觀能力，幫助學(xué)生厘清數(shù)量關(guān)系，提升學(xué)生的解題能力。在教學(xué)用“倍”的知識去解決實際問題時，分析數(shù)量關(guān)系成為解題的關(guān)鍵。本單元教材先后以實物圖、示意圖及線段圖呈現(xiàn)了幾何直觀的應(yīng)用價值，也強(qiáng)調(diào)了畫圖策略在厘清題意、解決問題中的重要作用。為此，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會通過畫圖表示兩者間的數(shù)量關(guān)系，提高數(shù)學(xué)解題的思維。基于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生在分析解決問題時選擇的圖形會有所不同，有的學(xué)生可能只會用實物圖來表示數(shù)量關(guān)系。對此，教師應(yīng)允許學(xué)生用自己喜歡的圖形表示數(shù)量關(guān)系，尊重不同學(xué)生的選擇，學(xué)生可以畫形象的實物圖，也可以畫抽象的線段圖。在交流討論中，教師提問學(xué)生“你們覺得哪一種畫法更好呢？請說出你的理由”，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)畫線段圖的好處，最終將畫線段圖運用到方法指導(dǎo)中。教師在教學(xué)過程中注重畫圖方法的指導(dǎo)，學(xué)生才能真正學(xué)會用“倍”的知識，去處理不同數(shù)學(xué)對象之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而突破教學(xué)難點，實現(xiàn)對知識的正遷移。

《倍的認(rèn)識》屬于概念教學(xué)的范疇，具有高度抽象性，同時《倍的認(rèn)識》是兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的一個生長點，起到承上啟下的作用。教師要基于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)認(rèn)真研讀教材、分析教學(xué)難點，通過創(chuàng)設(shè)情境、操作活動和方法指導(dǎo)等途徑突破《倍的認(rèn)識》教學(xué)難點，促進(jìn)學(xué)生將原有認(rèn)知與新知相融合，提高課堂教學(xué)的有效性。

【作者簡介】計麗莉（1996— ），女，廣西來賓人，南寧師范大學(xué)2020級初等教育學(xué)院碩士研究生在讀，研究方向為小學(xué)數(shù)學(xué)教育;韋 宏（1968— ），男，廣西上林人，理學(xué)碩士，南寧師范大學(xué)副教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向為數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與研究。

（責(zé)編 楊 春）