數形結合的教學新探索

錢春燕

【摘 要】“數”與“形”是貫穿義務教育階段數學教材的兩條主線。數形結合作為一種重要的數學思想方法，將“以形助數”和“以數解形”兩者“結合”，使抽象的數學問題具象化、繁雜的數學問題簡潔化。教師應感知數形各有所長，感受數形結合思想的內涵與價值，達到以簡馭繁、融會貫通的目的，最終發展學生的數學思維能力。

【關鍵詞】數形結合 幾何直觀 抽象

一、數形結合思想的內涵與價值

義務教育階段的數學學習要求學生能獲得數學的基本思想，是新課標“四基”目標之一。數形結合思想是根據數與形之間的對應關系，通過數與形之間的相互轉化，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來解決問題的思想方法。數學家華羅庚以“數缺形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，割裂分家萬事非”對此精辟詮釋，指明了數形結合包含的兩個方面：“以形助數”和“以數解形”。具體地說，就是在解決數學問題時，要參照問題背景、數量關系、圖形特征等條件，或使“數”的問題，借助于“形”去研究;或將“形”的問題，借助于“數”去思考。數形結合思想可以使數學問題由抽象變為具象，由繁雜變得簡潔。

二、數形結合思想的現狀與應用

小學生的邏輯思維能力較為薄弱，但在數學學習時卻必須面對數學抽象性的現實問題，因而無論是教材的編排，還是課堂教學，都在想方設法地使抽象的數學問題以易于學生理解的方式呈現，常見的方法是借助直觀的幾何圖形，提供恰到好處的解決方案。

借助直觀模型解釋抽象的數學概念以及抽象的數量關系是小學生學習數學的重要方法。曾有專家指出，某些教學現象與數學意義上“數形結合”的內涵并不一致，沒有真正體現“數形結合”的內涵。比如，低年級研究兩數相差多少的數學問題，有的教師會安排學生通過擺兩種圖片來幫助理解兩數的相差關系，其實此處的圖片嚴格意義上來講，并不能算數形結合中的“形”，理由是這一方法并沒有關注到幾何圖形的特性，沒有賦予圖片本身形狀與大小的量化特征，甚至不用圖片而用任意兩種實物也能起到異曲同工的作用。倘若結合“數尺”或“數軸”來認識數的順序，那么就把數和形（數尺或數軸）建立了一一對應的關系，就會便于比較數的大小以及進行相應的計算。

義務教育階段，體現數形結合思想的例子比比皆是，能正確把握數形結合思想的本質是教師應具備的能力。例如，數的認識、計算以及較為復雜的實際問題的解決，常常運用“數尺”“數軸”或“數線”將抽象的“數”或運算直觀形象化，體現“以形助數”。而對于幾何知識的學習，很多時候只憑直接觀察難以發現其中的規律和特點，需要引入數據來表示，如常見圖形的周長、面積和體積的計算等，體現“以數解形”。因此，數形結合思想在小學數學教育中意義重大。

三、數形結合思想的探索與開發

數形結合使代數的精確性與幾何的直觀性和諧共生。筆者祈盼能有更多的創新變化，便嘗試在小學生認知范疇內充分發掘素材，適度拓展延伸，讓數形結合思想更豐滿。筆者以一道數學題為例，展開數形結合的相關思考與探索。

（一）以形助數，抽象數學問題豁然開朗

對于1+3+5+…+97+99這道題，有的學生能套用高斯求和公式求出結果，但經不起追問，無法解釋公式的內涵。學習數學，要知其然，更要知其所以然。教師設計主題活動，旨在希望學生能運用化繁為簡的數學思想，融入操作，再現計算過程，為問題的解決開辟簡捷的通道，從而找出規律。

主題一：探索1+3+5+…+97+99的和是多少。

思考1：將多個奇數相加變為從兩個數相加開始：1+3，1+3+5，1+3+5+7……

思考2：算式變簡單了，又該從何下手？

思考3：借助小正方形“拼”算式，或者在方格紙上“畫”算式，是否能找到其中的規律？（如圖1）

面對“從1開始，連續多個奇數相加”這一數學問題，多數學生首先想到借助圖形進行“拼”算式的方法。當用小正方形繼續往下拼的時候，學生明顯能感受到圖1中第四種方法的優越性，自主討論交流得出：加法算式的結果就是小正方形的個數，也就是大正方形的面積，可以用“邊長×邊長”算出結果。學生初步探索出規律：從1開始，有幾個連續奇數相加，對應的大正方形邊長也是幾，和就是幾的平方。（如圖2）1+3+5+…+97+99這道題中有50個奇數，可以想象成一個邊長為50的大正方形，和就是50的平方，問題迎刃而解。在解決問題的過程中，“數形結合”使得抽象問題直觀化，起到化難為易的作用。

筆者最初思量究竟該選擇什么圖形拼算式，若基于古希臘人慣用的小石子研究數的習慣，一開始的研究可以考慮用小圓片“拼”算式，然而不可否認，用小正方形代替小圓片，學生更容易聯想到拼成大正方形。為了便于繼續研究，考慮到多邊形面積計算中常見的圓木、鋼管等堆砌問題，都是用“（頂層根數+底層根數）×層數÷2”來求出總根數，即學生已經有能力把握梯形面積公式與此之間的關聯，教師可由此展開延伸設計。

除了圖1中的第四種拼法，其他拼法如果換成小圓片繼續往下拼，是否能發現其他規律呢？學生能直觀感知出這兩種拼法都能得到一個梯形，用梯形的面積計算公式“（上底+下底）×高÷2”來計算，即（1+99）×50÷2=2500，也完全可行。（如圖3）

那學生一知半解的高斯求和公式是否也能用“形”來解釋？回答是肯定的。將1和99拼成一行，3和97拼成一行，接著拼下去，能得到一個長方形，用長方形面積計算公式“長×寬”列出算式 100×（50÷2）=2500，同樣可以得到結果。（如圖4）

數的問題通過拼圖形的變換，將學生自主構造奇數列之和直觀模型的難點消弭于無形，讓學生在感知規律的基礎上感受并體驗數形結合思想的內涵與價值。

（二）以數解形，創新求變挖掘多種可能

圖形的直觀性具有解釋規律的作用。若僅僅研究到這里結束，這種探索未免有些淺薄，因此主題二可以繼續延伸設計。主題一中出現的4，9，16……這些數都是兩個相同乘數的積，也叫平方數。這些平方數，都表示小正方形的總個數，都能畫成一個大正方形，所以這樣的數也稱為正方形數。正方形數通常也會按點圖的方式出現，拼成的依舊是一個正方形（如圖5）。

主題二：選擇自己喜歡的正方形數，思考正方形數是否與其他算式也有聯系，并用其他正方形數來證明你的發現。

學生嘗試用斜線進行分割，發現了一種新型的算式（如圖6），還有的發現“平方數×平方數=平方數”的規律（如圖7）。

教師借此引導學生體會，借助直觀圖，可以在思考中不斷打破常規，從不同角度感知圖形蘊含的規律，體現敢于創新的精神。

（三）精選材料，數形結合激發深度學習

數形結合是一種重要的數學思想方法，教師要有意識地培養學生“見數想形”“因形思數”的能力。于是，筆者開始關注、改編與設計相關問題。就主題一而言，在現有實踐的基礎上，發展的空間還有很大。筆者由此聯想到研究“求從2開始連續偶數的和”這一問題（如圖8），并改編為新題：圖9中每個長方形都由多個小正方形組成，根據外圍淺色的小正方形的個數，推斷第10個這類長方形中有幾個淺色小正方形。又聯想到具有民族特色的“長桌宴”問題，這種變式轉向了數學應用，同樣能夠展現數形結合的魅力。“長桌宴”不管如何變化形式（如圖10），都說明了圖形的直觀性，發揮了解釋規律、厘清算理和算法的有效性作用。

（四）相得益彰，數形文化展現數學魅力

數學學習除了知識本身，適當增添趣味性可以錦上添花。筆者將數學史融入教學，訓練學生思維，激勵學生繼往開來，為數學殿堂添磚加瓦。關于主題一中提及的正方形數，以古希臘畢達哥拉斯為代表的數學家就對此做過研究。通過分割，任何一個大于1的正方形數，都可以看作兩個相鄰“三角形數”的和（如圖11）。像1，3，6，10……這樣的數稱為“三角形數”;像1+3=4，3+6=9，6+10=16……這樣的和都是正方形數。至于對三角形數的相關拓展，筆者在此不再贅述。

也有相關資料記載，“1”表示1個點;“2”表示2個點，可連成線;“3”表示3個點，連成一個平面;“4”表示不同平面上的4個點，得到一個立體圖形（如圖12）。這說明世界上任何事物的背后其實都隱藏著數的規律，都是以或點，或線，或面，或體這樣的形式存在的，即所謂“萬物皆數”。

總之，以“數形結合”為主題的教學還有很大的研究空間，教師可以根據學情與教學需求，做出合適的引申與拓展的選擇，培養學生數形結合的意識，以實現學生由“表”及“里”的理解，這對后續的學習非常重要，同時也有可能激發學生的深度思考，這也是數學教育者研究數學的真正意義所在。

【參考文獻】

[1]王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014.

[2]劉加霞，劉琳娜.在認知沖突中體驗感悟數形結合思想的內涵與價值[J].小學數學教師，2015（12）.

[3]王代芬.數學史故事在小學數學教學中的作用[J].江蘇第二師范學院學報，2016（6）.

[4]曹培英.數形結合的教學新探索[J].小學數學教育，2015（21）.