解答圓錐曲線中定直線問題的兩種思路

顧培松

圓錐曲線中的定值問題一直是高考數學中的熱門題目之一，常常涉及了定點、定直線、定面積等.圓錐曲線中的定直線問題較為復雜，且運算量較大，屬于一類難度較大的問題.本文通過對一道圓錐曲線定直線問題的分析，探討了求圓錐曲線中定直線問題的兩種思路.

例題：已知拋物線Cx2= 2py（p>o）的焦點為F，過點F且斜率為1的直線與C交于A、B兩點，IABl=8，若點D（l，2）的直線l與C交于M、N，點Q是MN的中點，QR⊥x軸交C于點R，已

.

（1）求拋物線C的方程;

（2）求證：動點T在定直線上，并求出定直線的方程.

本題主要考查了拋物線的方程、直線與拋物線的位置關系以及定直線問題.第一個小問題較為簡單，我們根據題意設出直線AB的方程以及點A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐標，將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，借助韋達定理即可求得p的值以及拋物線的方程C：X2= 4y.這里主要討論第二個小問題的解法，我們可以從設參數、借助相關點兩種思路進行思考.

一、利用參數法求定值

運用參數法求圓錐曲線中的定直線問題，需首先根據題意引人參數，用參數表示經過定直線的動點，將其代入已知條件中并根據問題所給的條件建立關系式，如將直線與圓錐曲線的方程聯立消去其中一個參數得到一元二次方程式、方程的根與系數的關系式等，然后消去參數，即可得到定直線的方程.

證明：由題意可知直線L的斜率存在，設直線L的方程為

解答該題主要運用參數法，首先引入參數K，設出直線L的方程，然后根據問題所給的條件求得相關直線和點的表達式，用這些含參數K的關系式求出動點T的坐標，消去參數k就能得到定直線的方程.

二、利用相關點法求定值

相關點法適用于解答一個點的運動變化引起另外一些點的運動變化（這些點具有相關性）的問題.在解題時，用一個點的坐標把另外一些點的坐標表示出來，再代入已知的曲線方程和直線方程巾，便可求出定直線的方程.

證明：設

由QR= RT可得R點是QT中點，

又

R點在拋物線C上，

X2 =2（y5+y），即-x+4+2y=0，

動點T在直線x-2y-4=0上.

我們首先設出經過定直線的動點T的坐標（x，x，y），然后用（x，y）表示動點R，根據點R經過拋物線C得到定直線的方程.

利用參數法、相關點法都能夠快速解答圓錐曲線定直線問題.但其適用條件并不相同，參數法的適用范圍較廣，相關點法的適用范圍較窄，只適用于一些點有聯系的問題.

（作者單位：云南省曲靖市民族中學）