一道函數最值問題的分析與探究

摘要：函數最值問題是高中數學中的重點內容，因其解法靈活多樣，且綜合性強，對于學生而言是一大難點.解決函數最值問題的關鍵是方法的選擇，而在求解函數最值的諸多方法中，數形結合法處于一個十分重要的地位.函數最值問題往往與其他知識內容綜合起來進行考查，這需要解題者善于對問題進行分析、處理，將其轉化為熟悉的問題情境.

關鍵詞：函數最值問題;解題方法;數形結合

函數最值問題作為高中數學的重點內容，因其解法靈活多樣，且綜合性強，對于學生而言是一大難點，需要解題者能夠綜合運用數學各方面內容，選擇正確易解的方法進行求解。在求解函數最值問題的方法中，數形結合法處于一個十分重要、不可或缺的地位.當題目涉及到函數的圖像和幾何意義，此時借助條件中隱含著的幾何信息，以形助數，不僅可以幫助我們開闊解題思路使問題變得清晰直觀、簡捷易解，幫助我們開闊解題思路，還可以避免錯解，提升問題解決的能力 [1].

本文從一道數學高考題出發，揭示解題過程中的思維演進和問題轉化，從而加深對函數最值問題的認識與理解，促進數學思維能力的發展.

一、問題呈現

分析：變式與原題的呈現方式不同，此題給出一個初等函數，解題者需要觀察函數的形式，通過巧妙地換元進行求解，這部分的處理略有難度，對解題者的解題經驗有一定的要求.順利完成對問題的初步表征后，此時的問題情境與原題本質上是相同的，都是通過數形結合的方法，求解直線與曲線相交時的最值問題.但需要注意的是，此題中的曲線存在限制條件，并非原題中的整圓情形，而是位于 軸上方的半圓，因此解答時需要注意范圍的限制，以防錯解.

四、回顧反思

回顧本題的解題過程，有以下兩點感悟：

一是靈活選擇解題方法.函數最值問題的解法多樣，解題時需要根據問題的情境以及給出的條件靈活選擇解題方法.其中，數形結合法往往會使問題變得簡潔、直觀，通過將數量關系與空間形式巧妙結合，解題者會更容易發現解題信息之間的關聯，從而迅速找到問題的突破口.因此，解題者需要充分挖掘“數”背后隱含著的“形”方面的信息，當問題涉及函數圖像以及相關幾何意義時，優先考慮數形結合的方法，提高解題的效率.

二是善于轉化問題情境.求解本題的一個難點在于如何處理題目中給出的 ，利用平面向量的相關知識，將求 的最大值轉化為求 的最大值，對于部分解題經驗欠缺的解題者來說無疑是十分棘手的.然而解題目標（求 的最大值）一經轉化，此時問題就變為我們熟悉的題型，即直線與曲線相交時的最值問題，問題到此往往可以得到順利解答.因此，在解題過程中，我們需要善于“撥云見日”，去除覆蓋在問題表面的復雜形式，發掘問題考察的實質內容，將問題回歸于我們熟悉的問題情境，將解題思維由朦朧的問題表征引向光明的通途[2].

參考文獻

[1] 戴海軍.巧用數形結合思想求解最值問題[J].中學數學教學參考，2018（27）：17-18.

[2] 段志貴.數學解題研究——數學方法論的視角[M].北京：清華大學出版社，2018：17-19.

作者簡介：

楊潔濤（1997-）男，漢族，安徽省滁州市，碩士研究生，研究方向：中學數學教學