幾何直觀：讓數(shù)學(xué)教學(xué)“可視化”

祝元圓

[摘 要]幾何直觀能力是利用圖形描述、分析、解決問題的能力，能幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和發(fā)展有著重要作用。文章結(jié)合相關(guān)案例，從直觀感知、直觀理解、直觀推理三個方面入手，綜合探討了幾何直觀能力的培養(yǎng)策略。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀;直觀感知;直觀理解

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0010-02

幾何直觀是影響中小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的重要因素之一，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力是數(shù)學(xué)課程“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心目標(biāo)之一。對小學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，必須強調(diào)幾何直觀能力的重要性，利用直觀感知讓表象“立起來”，利用直觀理解讓道理“說得透”，利用直觀推理讓思維“看得見”，促進(jìn)相關(guān)知識體系的整體建構(gòu)以及學(xué)生遷移能力的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

一、直觀感知，讓表象“立起來”

由于低年級學(xué)生尚處于較低層次的幾何直觀能力水平，他們一般是通過觀察圖片、實物、動作等來認(rèn)識世界。因此“直觀”并不是簡單地看，而是要融入思考，在學(xué)生的認(rèn)知中建立實物與概念之間的聯(lián)系，形成初步的空間觀念，讓表象真正地“立起來”。

1.借助結(jié)構(gòu)化材料，豐富幾何表象

【案例】教學(xué)“平行四邊形的初步認(rèn)識”時，可圍繞“創(chuàng)造平行四邊形”展開系列實驗，讓學(xué)生在小組內(nèi)開展自主合作學(xué)習(xí)（給學(xué)生提供5種可選擇的結(jié)構(gòu)性材料：兩塊完全一樣的三角尺、不同規(guī)格的小棒、釘子板和皮筋、長方形活動框架）。

其中，釘子板和皮筋是基于高觀點下的數(shù)學(xué)探究材料。在以往的教學(xué)中，教師只要看到學(xué)生能夠用皮筋在釘子板上圍出大小不同的平行四邊形就結(jié)束了，但學(xué)生的思維是不可限量的，于是就有了“在已有平行四邊形的基礎(chǔ)上如何讓這個平行四邊形變得更大”的實驗操作。學(xué)生的想法非常多，他們有的橫著拉皮筋，有的豎著拉皮筋，還有的橫著、豎著同時拉皮筋。在拉動皮筋的過程中，滲透了平行四邊形的大小其實與“底”“高”這兩個因素有關(guān)。

雖然是初步感知平行四邊形，但是可以在動手實驗的過程中挖掘知識的生長點。結(jié)構(gòu)化的學(xué)具使得學(xué)生對于圖形的本質(zhì)有更進(jìn)一步的理解，同時也為后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

2.夯實基礎(chǔ)，初步建立空間觀念

識圖是幾何直觀學(xué)習(xí)中不可忽視的環(huán)節(jié)，它能夠幫助學(xué)生將生活實物與幾何圖形相對應(yīng)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)示意圖中或顯現(xiàn)，或隱藏的數(shù)學(xué)信息，實現(xiàn)現(xiàn)實原型、幾何圖形與幾何特征之間的相互轉(zhuǎn)換，有助于學(xué)生空間觀念的建立。

【案例】學(xué)習(xí)“平行四邊形的初步認(rèn)識”后，學(xué)生看到伸縮門就聯(lián)想到平行四邊形，進(jìn)而聯(lián)想到平行四邊形“易變性”的特征，以及平行四邊形和長方形是可以相互轉(zhuǎn)化的。反過來，到了高年級學(xué)習(xí)面積時，學(xué)生就能用已有的直觀感知解決相關(guān)問題。

因此，在低年級的直觀教學(xué)中，教師可以通過呈現(xiàn)多樣的圖形變化或組合，建立圖形與圖形之間、圖形與實物之間、圖形與概念之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在圖形中高效捕捉信息，逐漸培養(yǎng)學(xué)生讀圖后全方位處理信息的識圖能力。

二、直觀理解，讓道理“說得透”

有的學(xué)生覺得數(shù)學(xué)難學(xué)其實就是數(shù)學(xué)概念越來越抽象，而幾何直觀能力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有“化虛為實”的魅力，即用“形”支撐對知識本質(zhì)的理解：利用直觀圖描述、分析并解決問題，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1.深化直觀體驗，追溯概念本質(zhì)

教學(xué)“商不變的規(guī)律”時，在通過列表計算發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出商不變的規(guī)律后，有學(xué)生提出“為什么商不變”時，大家陷入了沉思，很多學(xué)生嘗試說理時卻詞不達(dá)意，但有了“小棒”這一直觀載體，商不變的本質(zhì)就明晰而簡單了。

【案例】以“20÷5=4”為基礎(chǔ)式，每次變化的是總數(shù)與每份的個數(shù)，而份數(shù)一直不變。這樣學(xué)生就借助實實在在的小棒理解了抽象的規(guī)律。把所有小棒匯集到一起可以發(fā)現(xiàn)，這里的每一根小棒都可以看作1個二、1個五、1個十、1個百……（如圖1至圖3）只是賦予的單位不同，而份數(shù)不曾改變，這又從具體的小棒上升到了抽象的“單位1”概念。

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生在有余數(shù)的除法中借助幾何直觀圖（如圖4）就自然而然地想明白了為什么余數(shù)是與被除數(shù)、除數(shù)同時變化的，“余數(shù)的變化”這個易錯點也就得到了化解。

2.鼓勵直觀操作，推動知識遷移

動手操作往往因?qū)嵤╇y度較高或教學(xué)進(jìn)度緊湊而被教師有意無意地忽視，這種情況理應(yīng)得到改變。因為直觀體驗來源于生活，離不開實踐，所以實踐可以說是培養(yǎng)幾何直觀能力的主要途徑。

【案例】王茜老師執(zhí)教“乘法分配律”一課，在驗證（6+4）×3與6×3+4×3這兩個式子為什么相等時，她讓學(xué)生選擇不同的學(xué)習(xí)材料進(jìn)行充分的探索與驗證。有的學(xué)生通過計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩式相等;有的學(xué)生結(jié)合課本例題賦予算式現(xiàn)實意義;有的學(xué)生通過將一張長6 cm、寬3 cm的長方形紙和一張長4 cm、寬3 cm的長方形紙拼在一起，從面積的角度理解算式，依托具體的圖形建立相應(yīng)的模型;有的學(xué)生從乘法意義上闡釋了乘法分配律的本質(zhì)。

在大問題的驅(qū)動下，學(xué)生的思維在自由空間中發(fā)散，他們將所學(xué)知識應(yīng)用于問題的解決，將組合圖形面積計算遷移到對運算律的理解中，體驗利用幾何直觀使得問題簡化的感覺，感受到幾何直觀的價值所在。此外，學(xué)生的邏輯思維能力、解決問題能力得到發(fā)展，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)逐步提升。

三、直觀推理，讓思維“看得見”

現(xiàn)代課堂教學(xué)越來越強調(diào)提升學(xué)生的思維能力，倡導(dǎo)學(xué)生獲得知識的同時，也要發(fā)展思維能力、創(chuàng)新能力。教師可以根據(jù)學(xué)生對圖形的整體把握情況，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)具體直觀事物進(jìn)行想象，在推理中實現(xiàn)思維的連續(xù)性和可視化。

1.拓展延伸，以想象促進(jìn)“再生成”

【案例】在數(shù)學(xué)實驗課“平行四邊形的初步認(rèn)識”的“我想象”環(huán)節(jié)，筆者先出示3個神秘的信封（里面分別裝著一個圖形;圖形露出一部分;圖形露出的部分形狀相同），再提問：“猜猜看，是什么圖形？”

學(xué)生在之前的實際操作中已經(jīng)充分認(rèn)識平行四邊形的特征，于是想象的觸角不斷向外延伸，他們說出了多種可能，并且說得有理有據(jù)。學(xué)生在想象、說理、分析、爭辯的過程中，對圖形本質(zhì)的認(rèn)識不斷深入，幾何直觀、空間想象等能力進(jìn)一步得到提升。此外，這個環(huán)節(jié)不僅勾連了前一課“多邊形的認(rèn)識”，而且向后延伸，例如“梯形的認(rèn)識”“多邊形的大小”等，這樣的環(huán)節(jié)有想象、有推理，還有前后知識的貫通，從局部到整體，學(xué)生的思維與能力不斷地得以提升。

2.著眼整體，構(gòu)建直觀的知識體系

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”因此，課堂教學(xué)不能只是紙上談兵，教師不要就知識講知識，而是要往前一步走，讓學(xué)生能夠在小學(xué)階段乃至整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，逐步構(gòu)建直觀的數(shù)學(xué)知識體系。

【案例】周衛(wèi)東老師執(zhí)教“確定位置”時，以“小鴨在哪里”為線索貫穿整節(jié)課。由一開始學(xué)生結(jié)合生活實際自由表示小鴨的位置，到發(fā)現(xiàn)僅用一條線不能準(zhǔn)確標(biāo)示位置，因而根據(jù)需要自然地引出“縱軸”。這時，學(xué)生的認(rèn)知已經(jīng)突破了具體簡單的“第幾行、第幾列”的數(shù)對知識，上升到抽象的“平面直角坐標(biāo)系”。尤其最后以“小鴨跳入水中”將學(xué)生思維帶入三維空間中，此時的“平面直角坐標(biāo)系”已然不能滿足位置的確定，為后續(xù)的三維學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

整節(jié)課讓人回味無窮的不僅是趣味橫生的故事情節(jié)，還有對直觀知識體系的構(gòu)建。一節(jié)課就將點、面、體三個維度聯(lián)系起來，自然過渡，毫無“生拉硬拽”之象，拓展了幾何直觀的時空，便于學(xué)生對知識的整體把握，以及遷移能力、解決問題能力的發(fā)展。此外，學(xué)生以幾何直觀圖示為依托進(jìn)行了自主的推理與探索，通過他們的表述、反思、修正，可以看出他們的思維逐漸嚴(yán)謹(jǐn)。周衛(wèi)東老師順應(yīng)兒童的生長之勢，將抽象的思維方式借助幾何圖形形象化，實現(xiàn)方法的優(yōu)化和思維的深化，學(xué)生也切身體會到在生活中確定位置的關(guān)鍵點，這是彌足珍貴的。

總的來說，幾何直觀能力的培養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一項非常重要的內(nèi)容。教師只有在培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的同時，有效地提升學(xué)生的邏輯思維能力，才能真正發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、空間觀念以及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)。

（責(zé)編 金 鈴）