數形結合思想在高中數學教學中的應用

胡 軍（江蘇省揚州市江都區第一中學，江蘇 揚州 225000）

高中數學教學中有許多理論化的知識，既包括幾何理論知識的學習，如直線與圓的方程、平面向量，又包括概率問題的學習、函數的學習等.數學知識點往往是歷代數學家們經過長時間的研究和探索，無數個日夜的潛心計算，最終得出的簡潔的數學結論，看似只有簡單的幾行數字符號，但實際上背后蘊含了巨大的數學體系，這對學生的理解能力要求得十分高，如果只進行單一的知識灌輸，那么很難起到一個較好的教學效果，而且如果不能在理解的基礎上進行學習，高中生們就很難真正地將公式記憶下來，更不用提將所學知識靈活地運用在實際的解題中，因此，教師可以采用數形結合的教學方式展開教學，幫助學生理解和記憶數學概念.下面，筆者將依據自己在高中數學教學一線多年的經驗，就此展開討論，希望對大家有所幫助.

一、數形結合思想的核心理念

我們都知道，課本上的數學概念多是以公式、符號的形式呈現給學生，乍一看上去讓人毫無頭緒，無從入手.然而，數形結合思想的核心理念就是將復雜的數學公式轉換成可視化的圖形，將數字間的關系轉變為圖形間的關系，如教師可以轉變成圖形間的位置關系、大小關系等，借助可視化的方式，將虛無縹緲的公式變成可以看得見、摸得著的視覺圖片，以幫助教學的開展.

二、數形結合對高中數學教學起到的作用

高中的數學和初中的數學相比有一個跨越式的難度提升，對學生的數學素養有一個較高的要求，因此，教師采用數形結合的教學方式可以帶領學生快速體驗到高中數學學習的節奏，進入高中數學知識的課堂中.同時，數形結合的教學方式與傳統的知識灌輸方法相比，結合了視覺，能夠幫助學生從多個角度同時理解問題，從而對課本知識有一個更加透徹的理解.除此之外，數形結合的教學方式比較新穎，很容易活躍課堂氣氛，營造一個輕松開放的數學環境，這在枯燥的數學學習中能夠充分調動學生的學習積極性，讓學生有著更高效的學習效率.

三、如何將數形結合思想融入高中課堂中

（一）培養學生數形結合的意識

數形結合首先是一種理念，一種意識，其次是一種學習方法.學生只有先對數形結合的理念有一個具體的認識，讓這種方法深入內心，能夠不自覺地在平時的學習生活中運用起來，才能真正結合數形來學習.否則，如果只是照貓畫虎地單純運用數形結合的方法，那么很容易浮于表面，學得其形而學不到其意，這樣的學習實際上是無效的，不能真正起到良好的學習效果.

由于學生在過去九年的學習經驗中大都沒有接觸數形結合的學習方法，一貫以來運用的都是通過題海戰術來加深對數學概念的理解，對數形結合的理解不到位，因此，教師在進行課堂教育之前必須用一定的時間來告訴學生什么是數形結合理論、數形結合理論對高中階段的數學學習有什么幫助，以及怎樣才能真正用好數形結合理論，將其融入平時的學習中.然后，教師可以帶領學生用傳統的學習方法和數形結合的學習方法分別對一個知識點展開學習，讓學生切身體會到數形結合的優越之處，這樣一來，在嘗到甜頭以后，學生也會十分愿意地接受這種新型的學習理念，逐漸培養起學習意識.

那么如何在學習意識和習慣上培養起一個良好的數形結合理念呢？首先不從教學手段方面來探討，這一點在下一節會進行具體研究.數學的學習大致可以分為三個部分：第一，課前預習；第二，課上學習；第三，課后作業和復習.教師可以先從第一點和第三點入手，幫助學生養成一個良好的學習習慣.

在課前預習階段，一方面，教師可以對學生做出預習要求，先將本節課的知識點告訴學生，讓學生通過自己的理解將數學知識用圖像的方式表達出來，先對知識點有一個先決的理解，培養學生養成用圖形來幫助自己理解的習慣.另一方面，教師可以根據本節課的知識點給出一個圖形化的導入，采用“先圖形，后理論”的方法，讓學生觀察圖形，看一看能從這個幾何圖形中總結出什么規律，嘗試將其化簡為數學公式或定理.第一種方法的側重點在于鍛煉學生的數學知識把握能力及將符號轉換成圖形的能力，能幫助學生熟悉從數學定理到數學圖形的過程，使學生在腦海中形成數形結合的觀念.第二種方法則側重于培養學生對圖形的敏感程度，與第一種方法正好相反，能幫助學生熟悉從數學圖形到數學定理的過程.兩者都是數形結合學習模式中十分重要的部分，兩者相輔相成，能讓學生充分地把握數學圖形和數學定理間的關系，加深理解，推進教學的展開.

以具體的教學案例來說，在“概率”這個章節的學習過程中，教師可以在課前讓學生對班級內其他學生的生日月份進行統計，在得到數據后將其繪制成一張餅圖或柱狀圖，讓其他學生從中看出如果從班級里任選一名學生，在某個月的概率有多大.這從數據上可能體現得不是很明顯，不能直觀地看出來，而當將這些數據匯總成一張圖時，事情就變得簡單起來，樣本數量大的占得餅圖比例也大，或者柱狀圖的矩形高度越高，使得學生幾乎不費吹灰之力就能看出哪個月份的概率是最大的，這就是由數學數據到數學圖形的過程.反之，教師可以將已經繪制的餅圖或柱狀圖給學生，讓學生從中推算出班級里每個月份出生的學生有多少.這樣一來，學生會對每個月份人數的大小有一個直觀上的認知，如可以了解到1 月份的人多、8 月份的人少等.然后，在進行具體計算的時候，學生會發現結果確實如此，圖形和數據完美地對應上，這就是由數學圖形到數學數據的過程.在這一過程中，學生既能對課堂內容和教學目標有一個清晰的認識，便于數學課堂的開展，最重要的是能在預習中養成數形結合的學習習慣，在今后的學習中有意識地利用圖形結合數據解決數學問題.

（二）深入挖掘教材內容，將教學方案與數形結合配合在一起

教材是高中數學的出發點，學習的方向和重點都是由教材來決定的，因此，要想取得一個比較好的數形結合教學效果，教師首先要從教材出發，深挖教材內容，將其與數形結合的理念合并到一起，用圖形的形式來展現書本中的知識點，在備課的時候在教案中加入數形結合的部分，準備一些教學資料.在做好充分的準備之后，教師才能在課堂教學的時候達到游刃有余的程度，學生也可以依靠這些教學信息達到一個更好的學習效果.

從教案的角度出發，教師要在課堂環節中設置結合圖形講解知識的環節，并且最好在整個課堂中都能穿插著數形結合的理念.例如，在教學“集合”這一內容的時候，教材中設置了子集、全集、補集的定義學習，以及交集、并集的集合之間運算關系的學習，乍一看上去十分相似的名詞容易一下子讓學生亂了手腳，不知道從何開始，形成思維混亂的情況，這時，教師可以將數形結合的教學環節安排在課堂最開始的環節，在學生剛剛接觸集合的相關名詞時就借助圖形來梳理集合之間的關系，幫助學生厘清思路，很好地區分不同術語的區別.例如，教師可以在黑板上畫一個大的圓形，作為一個集合A，再在圓形內畫一個小的圓形，作為集合B，這時候B是包含在A里面的，是A的“兒子”，因此，這就是子集的含義.然而，圓圈A（也就是集合A）中還有很多不屬于集合B的空白區域，這些空白區域幫助集合B補全了集合A，因此，這些區域就是B對于A的補集.這樣通過圖形來講解，學生就能對子集、全集、補集有一個很明確的區分.在講解交集和并集的時候，方法也是大同小異的，教師依舊在黑板上用兩種不同顏色的粉筆畫兩個圓形，代表集合A和集合B，當兩個圓形（集合）重疊在一起的時候，它們的一部分交匯在一起，形成了一個新的區域，因此，這個“交匯”的部分就是兩個集合的交集.同理，兩個集合并排站在一起，它們組成了一個團體，也就是組成了一個大的集合，那么這個由“并排在一起”的集合就稱為并集.在這個例子中，原本糾纏在一起十分容易混淆的集合概念，經過幾個圓形變得豁然開朗了起來，書本上的數學公式可能無法形成具象化的集合形象，而借助數形結合的方式，學生能夠很直觀地看到各個集合之間的關系，從而對集合的知識有一個比較深刻的理解.這正是數形結合理念的優勢所在.

教學資料的輔助同樣可以幫助學生利用圖形的方法來看待數學問題，教師可以為學生展示圖片形式的概念知識，這樣在講解理論的時候，學生可以對照著相關的圖形來學習，有助于學生更快地理解其中的關系，取得一個事半功倍的學習效果.正所謂雙拳難敵四手，雙管齊下的學習方式肯定能取得更好的成效.

（三）借助現代化的教學工具，培養學生數形結合的意識

隨著科技的不斷發展，高科技的教學設備層出不窮，這些設備大都通過多媒體器材來將教學內容可視化，提升教學質量，而這正和數形結合的教育理念不謀而合，兩者結合在一起肯定能碰撞出美妙的火花，產生奇妙的化學效應.因此，教師要積極地運用這些現代化的教學工具開展數形結合的數學課堂活動，具體來說有以下兩點好處：第一，這些教學工具有著良好的圖形展示性能，往往可以將圖形的展示效果提升一個檔次，直接提升數形結合講解的課堂教學效果.第二，這些比較新穎的高科技產品總是備受年輕人的喜愛，學生會對這樣的教學形式產生濃厚的興趣，從而積極地投入數學的學習中.俗話說，興趣是最好的老師，在興趣的驅使下，學生能夠提升對所學內容的好奇心，自覺地想要探究其中的奧妙，教師也正是利用了這一點，在課堂上營造一個飽滿的學習氛圍，對教學質量的提升有很大幫助.

舉例來說，教師可以利用動畫的方式展現圖形教學資料.在傳統的數形結合教學模式中，教學資料一般都是靜止的圖片，這些圖片在展示一些數字關系、圖形關系，如概率論，流程圖等方面的時候，會有一個比較好的效果，而在展示一些需要有一個變化過程的知識概念的時候，往往就顯得力不從心，不能取得一個好的教學效果.

在進行高三圓錐曲線的學習時，我們都知道圓錐曲線是高考的重點，也是幾何中難度相對較大的一個部分，以橢圓為例，橢圓中長軸、短軸以及焦點對所有的橢圓題目解題都有著很重要的作用.然而，學生在一開始很難理解橢圓中的長軸、短軸、焦點是什么，雖然圓形是橢圓的特殊情況，但圓形相對來說一目了然，圓心表示中心點，半徑表示點到圓的距離，很容易就可以根據半徑和圓心做出一個圓形來，但橢圓這個看上去“奇奇怪怪”的圖形不同，使得學生很難通過理解來看懂這些關鍵部分都是怎么來的、代表什么意思，以及它們是怎么繪制出一個橢圓的.這時，教師可以借助動畫的形式來繪制橢圓.橢圓實際上是到兩個點距離之和相等的點的集合，實際操作可能比較難，但是用動畫的形式就可以輕松地描述橢圓的繪制過程，這時，學生在看過以后就會恍然大悟.如果通過理論的講解，那么學生可能很久都無法聽懂，但是通過數形結合的方式，學生一下子就可以看懂，教師教學的壓力也變得小很多.在這個基礎上，將橢圓的兩個焦點合并到一起，重疊成一個點，這時，橢圓就變成了圓，“2a”就變成了直徑，學生對圓和橢圓之間的關系也能得到清晰的認識.

（四）從生活實例的應用中，幫助學生學習

高中數學教師應該明白，在教學時既要傳授學生數學概念，更要讓學生了解學習數學的方法，感受數學的精神實質，讓他們明白用數學可以解決日常生活中面臨的不同問題，了解數學的來源，了解數學的日常應用，充分向學生傳授數學文化，讓越來越多的學生認識到數學不僅僅是數字，更是一種獨特的數字文化和數字魅力.為了提高教學質量，高中數學教師有必要結合課程，讓學生意識到每天學習的數據和公式永遠不會枯燥，而是具體的，可以在日常生活中得以應用.任何一種理論知識從來都不是空穴來風的.它有一定的發展源泉，也是在現實生活中總結出來的，再衍生出科學的智慧.如果教師把這種智慧變成填鴨式的教學，那么會使學生既不理解這種成就的智慧，又不理解其背后的意義.教師將專業的例子和日常生活中的例子引入課堂，能讓更多的學生感受到數學的魅力.從教學結果分析，教師可以將數形結合的思想充分引入課堂，讓學生了解數學中的所有理論知識，而數學理論本身來源于現實.學習數學的最終目的是將數學理論回歸現實生活，應用數學知識解決日常生活中可能遇到的問題.數學建模思想可以幫助學生逐步將大部分數學理論知識轉化為具體的數學模型，讓學生利用這個模型理解理論知識所包含的實際問題，并將這些知識應用到日常生活中.在生活中，家長可以讓學生了解學習數學的意義和目的，幫助學生提高學習數學的興趣，使學生的創新意識不斷得到提升.

四、結語

數學作為一門理論性比較強的學科，往往會存在許多很難理解的知識點，數形結合思想能很好地將數學符號轉化為具體的圖形，這樣一來，學生通過理解圖形之間的關系能更加容易地理解數學知識，教師利用數形結合的理念也能有效地提升高中數學的教學效果，提升學生的數學素養，培養學生的解題能力.