高校解析幾何教學改革創新的探索

曾眺英

關鍵詞：高校;解析幾何;教學改革;科學技術

“解析幾何”是高等師范院校數學專業一門必修的基礎課。自20世紀50年代以來，“數學分析”“高等代數”“解析幾何”一直是數學專業學生的入門三基課程，在教學安排中占據了重要地位以及較大的課時比例。解析幾何是在17世紀由法國數學家笛卡兒和費馬共同創立的，《幾何學》的問世是解析幾何學產生的重要標志。關于解析幾何的重要性，美國著名數學史家M·克萊因曾說：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善。”在大學數學的專業課學習中，解析幾何的學習不僅可以為數學分析、高等代數的一些研究提供幾何模型與背景，還為后續課程（高等幾何、微分幾何）的學習夯實基礎。對數學系師范生來說，解析幾何的課程學習對學生今后從事中學數學教學具有積極重要的指導作用。

現在各院校數學系普遍使用的由蘇州大學的呂林根、許子道共同編寫的《解析幾何》是普通高等教育“十一五”國家級規劃教材。這本教材一共包含六章內容：向量與坐標;軌跡與方程;平面與空間直線;柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面;二次曲線的一般理論;二次曲面的一般理論。按照我院“解析幾何”的課程標準規定在大一上學期開設，4個學分，一共是70個課時。

十三屆全國人大四次會議3月11日表決通過了關于國民經濟和社會發展第十四個五年規劃和2035年遠景目標綱要的決議，決定批準這個規劃綱要。綱要第十三篇指出，“提升國民素質促進人的全面發展”。其中第四十三章提到要提高高等教育質量，要建立高水平現代教師教育體系，加強師德師風建設，完善教師管理和發展政策體系，提升教師教書育人能力素質;深化新時代教育評價改革，建立健全教育評價制度和機制，發展素質教育，更加注重學生愛國情懷、創新精神和健康人格培養，發揮在線教育優勢，完善終身學習體系，建設學習型社會。2019年教育部關于深化本科教育教學改革全面提高人才培養質量的意見中指出：全面提高課程建設質量。立足經濟社會發展需求和人才培養目標，優化公共課、專業基礎課和專業課比例結構，加強課程體系整體設計，提高課程建設規劃性、系統性，避免隨意化、碎片化，堅決杜絕因人設課;嚴把考試和畢業出口關。完善過程性考核與結果性考核有機結合的學業考評制度，綜合應用筆試、口試、非標準答案考試等多種形式，科學確定課堂問答、學術論文、調研報告、作業測評、階段性測試等過程考核比重。

目前雖然高校已經越來越重視課堂教學，但是高校解析幾何課程依然存在一些問題：缺乏對教學內容的整體把控并且在相關知識背景的延伸以及后續課程的連貫性方面做得不夠好;教師們的教學理念陳舊、教學方法和教學內容相對落后;在教學過程中，有多次運算需要用到高等代數的知識，由于“高等代數”內容設置原因相關內容還沒有講到，致使教學內容不夠嚴謹，課堂效果受到影響。以筆者所在高校為例，解析幾何的教學方面還存在的問題有：教學課時偏少，只有理論教學而忽視了實踐教學，不利于應用型人才的培養;盡管教師隊伍的數量和結構變化改善了很多，但是幾何師資團隊力量依然薄弱，在繁重的教學任務之下，老師們疲于授課，教學質量受到一定程度的影響。

我們國家的著名數學家姜伯駒院士曾說：“隨著科學技術的發展，數學課程要不斷改革，其中以幾何課程的改革問題爭議最多，難度最大，中國如此，外國也如此。”幾何課程教學改革已經成為一個嚴肅而重要的話題。解析幾何在高等數學課程體系中是很重要的。在科學技術迅猛發展的今天，解析幾何學科在園林藝術、建筑設計、燈光設計等方面得到了廣泛的應用。在新形勢下，國內不少學者的解析幾何課程教學改革方面也有不少成果。筆者在本文中結合所在高校教學中存在的一些問題，談幾點關于解析幾何教學改革創新方面的建議。

一、立足于課程目標

廣義的課程目標：在廣義上的課程目標的涵義定位于教育與社會的關系，是一個比較大的視角，涵蓋面是全層次的。它即是教育意圖，包含了“教育方針”“教育目的”“培養目標”“課程教學目的”和“教學目標”。

課程目標是預先確定的要求學生通過某門課程的學習所應達到的學習結果，這種結果表現為學生在課程相關素質或特征方面的變化。課程目標是指導課程設置、編排、實施和評價的整個過程的準則，也是課程自身性質和理念的體現。

目前我院的解析幾何課程目標主要有以下四個方面：

課程目標1：掌握向量及其運算的基本概念、基本理論，掌握常見特殊空間曲面、曲線的基本性質及圖形，會求其方程，會判斷相關位置。掌握二次曲線的基本性質和知識體系，為高等代數、數學分析的一些研究提供幾何模型與背景，為后繼課程及其他相關學科的學習夯實基礎。

課程目標2：理解重要定理、例子的證明、求解及應用。培養學生的邏輯思維能力和空間想象力，訓練學生的表達能力、計算能力和解決問題的基本技能，提升學生學習數學的能力。

課程目標3：了解解析幾何的形成背景、發展過程，強化將幾何問題代數化的基本思想，深入理解數形結合的思想方法，掌握研究空間圖形的方法，及由特殊到一般，具體到抽象的研究方法。提高學生發現問題、探索問題、解決問題進而獲取新知識的思維方法，培養學生自主學習與終身學習能力。

課程目標4：通過課程的學習，使學生對中學幾何有關內容從理論上有更深刻的認識，能夠從更高的角度看待和處理中學數學問題，從而培養學生的專業發展意識;同時，了解解析幾何與數學其他分支、物理學、工程學的聯系，增強學生應用數學的信心，激發學生終身學習數學的熱情，培養學生的職后發展能力。

課程目標是學生學習的終點，課程目標與畢業要求是密切相關的。只有明確了課程目標，才能有助于確定課程與教育目的之間的銜接關系，從而確定課程編制的方向，才能有助于選擇和組織相關的課程內容，并且可以作為課程事實的依據和課程評價的準則，立足課程目標才能促進優化教學。

二、優化教學內容

由于師范專業與非師專業（信息技術、統計學）的課程目標與畢業要求是不太一樣的，為做到因材施教，我院師范專業學生使用的教材是呂林根、許子道編的2019年第5版的《解析幾何》;而非師范專業已經將解析幾何內容與高等代數融合在一起使用的是高等教育出版社的《高等代數與解析幾何》。我們現在師范班用的這個書本是全國優秀教材，編寫時間比較早且已經使用了20多年，雖然經過了多次修訂，但是修改內容偏少且有一部分內容是比較陳舊了。

解析幾何是用幾何的方法解決代數的問題，所以其中有不少內容是和高等代數的知識聯系在一起的。特別是在解析幾何的第一章有好幾處出現了行列式的知識，然而教材上只是以附錄的形式簡單介紹了行列式的定義以及一些性質，并沒有在相應的位置將行列式的內容以知識點的形式進行介紹說明。這樣學生理解起來是有一定困難的。因此任課老師要注意將行列式、矩陣和線性方程組的相關知識在課堂補充講解，讓學生先吃透相應的代數內的證明過程又用到了齊次線性方程組有非零解的充要條件為其系數行列式等于零的內容。那么教師們在講解這部分內容的時候需要注意補充行列式的概念、性質以及線性方程組求解等知識，并且注意舉例子進行說明便于學生理解。此外，1.5節關于三個非零向量共面的充要條件以及1.8節向量積的運算都是類似情況。

談到對解析幾何內容的優化，必須注意有主要與次要的區別。教師們要從大局上把握需要整合和優化的內容。課時是有限的，考慮到第一章不少知識學生已經在高中時候學過，那么我們可以重點講解詮釋第3、4章。除此之外，教師們需注意課堂內容的優化和課后練習的整合，課堂講解要注意數形結合并且做到精選教材中的課后習題，讓學生們把幾何基礎打扎實。

三、改革教學方法

首先，適當在解析幾何課程教學中穿插數學史的內容。在很多人看來，數學是一門枯燥無味的學科，而這從某種程度上說是因為我們的教材介紹的往往是一些相對不變而又僵化的數學內容。如果在講解數學知識時適當地滲透一點數學史內容，會激發學生的學習興趣，從而有助于學生深化相關概念和原理的認識。例如在介紹緒論的時候，可以給學生們介紹解析幾何這門學科產生的時間和歷史，以及這門學科產生的重要意義。在介紹2.1節旋輪線的時候，可以跟學生說說“幾何學中的海倫”的故事。而在講解1.5節“標架與坐標”的時候，關于“笛卡兒標架”“笛卡兒坐標系”的內容，可以給學生講一些關于數學家笛卡兒的故事。笛卡兒是法國著名的數學家，從小喜歡思考，博覽群書。關于笛卡兒創立解析幾何有個傳說，是講他有一天晨思時看見蒼蠅在天花板在爬行，由此產生了關于解析幾何的設想。笛卡兒善于思考、敢于探索真理的科學精神能夠鞭策激勵學生。

其次，要善用多媒體輔助教學。解析幾何課程內容有抽象理論也有直觀圖形，很多圖形靠傳統的黑板手工繪畫既花費時間又不能達到好的直觀效果。對邏輯性稍強的內容如第一章的向量與坐標，適合用黑板教學為逐步推導和演算;對于后面的平面曲線、曲面、旋轉面及二次曲面等空間圖形就需要多使用PPT課件展示給學生，便于直觀的理解并且給課堂教學增添樂趣。例如在講解第4.5節拋物面知識時，需要利用平行截法，通過平行平面的截口形狀來介紹曲面的圖形。這時，教師們可以采用多媒體動畫分別演示平行于三個不同坐標面的平面截拋物面所得到的平面曲線，通過這個動態過程來研究曲面圖形形成的本質。

再次，要加強學生的實踐能力。在科學技術技迅猛發展的今天，本科教育需要培養應用型創新人才。課堂上教師不能單純地一直在講課，還需要讓學生參與進來，培養他們的實踐能力，讓理論和實踐相互結合。教師們可以適當地編制實驗手冊，安排一點實驗課給學生。要讓學生會通過數學軟件繪制出解析幾何教材中的一些立體圖形，比如球面、環面、橢圓拋物面等，激發學生的學習熱情，鍛煉實際操作能力。另外還可以讓學生制作手工幾何模型，比如可以讓學生們課后試著手工制作旋轉橢球面、單葉雙曲面、工藝品設計等，培養他們的動手能力和創新思維。

四、建立多元化評價模式

我校師范專業解析幾何課程原來的成績評價方式是平時成績占30%，期末卷面成績占70%。這種評定方式的期末成績占比偏高，會讓大部分學生不注重平時的積累而過分把成績寄托在期末考試，往往造成學生精神壓力或者個別同學考試作弊。在新形勢下的現代教學應該把學習過程和集中考試結合起來，增加平時成績的多元化以及在總成績中的占比。

目前我校師范專業解析幾何的成績評價方式是總成績=課堂出勤（10%）+平時作業（20%）+期中測試（10%）+期末考試（60%）。其中出勤的評價標準是：根據學生上課出勤情況（1）全勤100分;（2）曠課一次扣10分;（3）遲到、早退、事假一次扣5分;（4）病假、公假、喪假不扣分。而平時表現的評價標準是：一個教學班分成兩個小組，每次批改其中一個小組的作業。根據學生作業完成程度（正確率、認真程度、獨立完成）來打分，同時根據學生參加課堂討論和回答問題等綜合評價。通過這種評價方式的改革，學生的學習興趣大大提高了、主觀學習性也得到增強，培養了學生們的綜合素質和應用能力。

我們還根據學生的課堂表現、作業、平時測驗和期末考試情況及教學督導的反饋，檢驗學生對本課程涉及的學科素養和學會反思的達成情況，及時對教學中的不足之處進行改進，調整教學指導策略;根據學生的課堂表現、平時作業、平時測驗及期末考試成績，檢驗本課程所支撐的畢業要求分解指標點的達成度情況;根據解析幾何所支撐的畢業要求分解指標點的達成度情況，參考優秀專業經驗，在學院教學指導委員會指導下，重新修訂本課程大綱，實現持續改進。

五、結語

解析幾何是數學專業的重要入門課程。目前我校解析幾何課程改革得到了一定的效果，學生的空間想象能力、動手操作能力、理論聯系實踐能力都有所提高。我們仍然要堅持教學改革和創新，不斷改進解析幾何課程的教學。為了更好地促進解析幾何課程建設，后面我們會注意將數學建模思想融入解析幾何的教學，提升學生們利用解析幾何知識解決實際生活問題的能力。同時也要及時引進人才，增強幾何教學團隊的師資力量，促進教師之間的交流與合作，提升教師的專業素質以及教學能力。只有破除傳統陳舊的育人模式的局限性，不斷堅持教學改革、與時俱進，才能培養出新形勢下的高質量綜合型人才。