小學數學拓展課學習材料的研發與實施

陳紅霞

【摘? ?要】隨著課程改革的深入，近年來小學數學拓展課學習材料的開發逐漸成為一線教師的關切點之一。教師在研發拓展課學習材料時需避免目標不清、難度太大、負擔加重等問題。基于“IPS+”教材二次開發理念的拓展學材研發方式，可以成為一線教師進行相關內容研發時可借鑒的一般流程和具體實施路徑。

【關鍵詞】二次開發;學習材料;整合;拓展;結構化

隨著課程改革的深入，基礎課程的校本化實施和拓展開發已經成為當前課程建設的重要內容之一，小學數學課程的校本化實施需要教師對數學教材進行二次開發。為此，研究團隊提出了基于“IPS+”理念的數學教材二次開發的基本原則。具體地說，“IPS+”就是從整合（Integrate）、拓展（Prolongate）和結構化（Structured）的視角對教材內容進行有益補充、優化重組，對知識脈絡進行有益聯結與適度延伸，對學習內容進行序列梳理和系統重構。

拓展課不是對教材外的學習內容進行簡單疊加，而是要根據學情對基礎課程進行有益的補充。教師在研發拓展課學習材料（以下簡稱“學材”）時需避免目標不清、難度過大、負擔加重等問題。應基于“IPS+”理念開發拓展課學習材料并實施教學，找到教材二次開發的范式，以促進學生對小學數學核心知識的理解，幫助學生構建良好的數學認知結構。

一、探繹：基于“IPS+”的拓展學材研發內涵

基于“IPS+”理念對小學數學教材進行拓展開發時，要重點思考的是拓展目標和價值，也就是想清楚“為什么拓”，這是解決“從哪里開始拓”和“怎么拓”的最根本問題?；凇癐PS+”的拓展學材研發，堅持以學情和補充基礎課程為出發點，以提升學生素養為旨歸，在小學數學核心知識中提煉問題，遵循學生需求梳理學習路徑，設計學習任務。拓展學材的研發旨在促進學生對核心概念的理解和關鍵能力的發展。作為小學數學課程中處于基礎和主干地位的核心知識，涵蓋小學階段學生必須掌握的數學概念、運算規律、數量關系、圖形特征和計算公式及其所蘊含的核心操作技能、數學思想方法。

學材開發要關注知識的聯通，促進學生的數學理解逐步走向深入。

（一）從“聯”到“通”，讓數學理解有路徑

按部就班地照搬教材，必然造成學生知識理解的淺表化、知識結構的零碎化。拓展學材研發過程中對核心問題的提煉，可以聯結斷點、串起散點、把握要點，跨越教材中由于單元及課時劃分造成的斷層、因分散編排導致的關聯弱化或隱藏，實現核心知識的本質勾連，幫助學生沖破割裂理解的藩籬，走向結構化理解。

（二）由“變”趨“深”，讓數學理解更深遠

統編教材的普適性無法滿足各地差異化的學情，均勻用力的課時分布容易造成學生學得不深、學得不夠。拓展學材研發中根據學生實際將學習材料結構化、系統化，可以讓學生更好地聚焦核心問題展開探究學習。教師通過設計層層推進的挑戰性任務，引導學生將疑點、難點在不斷變式中逐一化解，讓研究能力強的學生有遷移運用知識的空間，讓學生的數學理解走向深遠。

二、尋繹：基于“IPS+”的拓展學材研發路徑

基于“IPS+”的拓展學材研發，通過三個階段進行。

目標整合階段（I階段），教師既要對學生進行是否需要拓展和能拓到什么程度的評估，也要對教材進行核心知識的梳理和關鍵能力的對接，從而探明拓展起點，預設拓展終點，準確定位拓展目標。

學程拓展階段（P階段），教師既要根據價值評估確定核心問題，又要根據需求評估設定學習路徑。研發準備階段是研發過程的依據，研發評估又為研發過程提供改進依據。

結構施教階段（S階段），教師既要根據學習路徑為學生設計學習任務，又要預設在教學實施過程中應如何進行合適學法的選擇。

（一）拓展目標的確定：以生為本，以素養為基

基于“IPS+”的拓展學材研發，以學科素養目標為拓展目標。小學數學核心素養目標為“會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界”，其中“數學的眼光”側重于數學抽象，指向學生需掌握數學的一般性特征;“數學的思維”側重于邏輯推理，指向學生需掌握數學的嚴謹性特征;“數學的語言”側重于數學模型，指向學生需掌握數學應用的廣泛性特征。以這三個維度為導向，建構基于“IPS+”的小學數學拓展學材研發目標框架，將拓展目標與關鍵能力的培養目標一以貫之，使拓展學材真正為了學生，真正促進學生對基礎課程的理解。

（二）核心問題的提煉：以拓為航，以教材為依

核心問題的確定在學材研發過程中非常關鍵，核心問題對學生知識的深度理解、能力的進階發展有重要的促進作用。提煉核心問題可從以下三條路徑入手。

1.立足疑難處，促進數學理解

可以立足于學生知識理解的疑難點提煉核心問題，以促進學生的數學理解。如，在教學“軸對稱圖形”時，可抓住“平行四邊形是不是軸對稱圖形”（注：這里的平行四邊形不包括長方形，下同）的疑難點，提煉出“能否改變平行四邊形一個頂點的位置，把它變成軸對稱圖形”這一核心問題。

教師提問：平行四邊形真的是軸對稱圖形嗎？如果是，請找出這個平行四邊形的對稱軸，并進行對折驗證。

（教師出示平行四邊形。一生上去折，不能完全重合）

教師接著出示任務：你能改變平行四邊形的其中一個點，讓它變成軸對稱圖形嗎？

平行四邊形是不是軸對稱圖形，是學生學習“平行四邊形圖形特征”時典型的疑難點，把它作為拓展素材，讓學生在“能否把平行四邊形變成軸對稱圖形”這一核心問題中，主動嘗試和辨析，并整理歸納出分別移動每個點的方法，促使學生修正原有經驗，改變原有的錯誤認知，從任務的結果梳理和方法歸納中獲得對圖形特征的本質理解，實現對數學理解的深度拓展。

2.借助聯系點，促發意義關聯

從教材中處于前后發展聯結處的知識點、相同知識體系中具有一致性的知識點或不同知識體系中可關聯的知識點中找到可拓展的核心問題。例如集合和三角形分類本屬于不同的知識領域，處在不同的單元內容中，但兩者的本質是相互關聯的。三角形的分類實際上就是根據邊、角的特征讓三角形形成不同的集合。故此可以通過這一聯系點，用核心問題“能否把三角形請到集合圈內”（如圖1），將兩項內容進行整合。學生會在辨析中厘清三角形邊和角的特征，并感受分類思想，促進意義理解。

3.挖掘拓展點，促進深度探究

挖掘教材中的典型題、提升題、開放題背后的拓展價值，可以將教材習題變成拓展學材。如教師以人教版教材二年級上冊“角的初步認識”單元練習八的第7題（如圖2）為基礎，通過限制畫圖工具、改變畫圖條件等方法，圍繞“沒有直尺，你還會畫直角嗎”這一核心問題，設計了一系列挑戰性任務，讓學生主動調用所學經驗，遷移運用原有知識，創生出利用“方格紙的格線、等比例的長方形對角線”等方法畫直角。讓學生在完成挑戰性任務的過程中為后續學習旋轉、比例等內容積累學習經驗，促進學生對角的本質意義的理解，提升學生的畫角技能。

在方格紙上畫直角（從給出的點畫起）。

（三）學習任務的設計：以終為始，以發展為要

在基于“IPS+”的拓展學材研發過程中，具體學習內容的設計和組織要重視緩解教材知識學習有限性和階段性的問題，側重學生的能力培養與素養發展。學習任務的設計需注重趣味性和探究性相結合的特點，常見的形式有游戲闖關類、生活探究類、數學閱讀類、問題解決類等。主要以生活問題、游戲素材、數學史料、變式趣題等開放性素材為載體，促使學生將數學知識學以致用。

三、討繹：基于“IPS+”的拓展學材實施的價值取向

基于“IPS+”理念設計拓展學材后，教師在進行教學時，應注意消除“因漸進式線性推進教學過程而難以讓學生建立整體知識結構”的弊端，實施結構化教學。

（一）核心問題取向：高效任務，問題引領

“核心問題”是把學材轉變為教學的重要支架。借助核心問題設計，可以把學習置于探究情境中，把問題設定為逐層遞進的相關任務，讓學生既有解決問題的動力，又有向上攀登的支架。

如圍繞“長、正方形面積計算”開發的拓展課《螞蟻搶地盤》，教師把面積計算的問題設置為“螞蟻搶地盤”的情境，讓學生置身于既有趣味性又有探究意義的真實問題中。教師設計的任務是：探究在P點的移動過程中S1～S4四部分面積間的關系（如圖3），并設計了任務串：①描述S1和S2的變化;②描述S1+S2的變化;③描述S3和S4的大小關系以及變化趨勢;④比較S1+S2與S3+S4的大小。這四個由低階到高階的數學任務，為學生的數學探究提供了層層遞進的任務鏈，將學生的視角從靜態引向動態，讓學生的空間觀念和數學思維也得到發展。

（二）經驗可視取向：經歷過程，展開思維

學習的過程就是經驗再改造的過程，在引導學生經歷觀察、操作、類比、分析、歸納等數學學習過程的同時，需要將學生的隱性經驗可視化，便于學生反思和總結，實現知識的應用和認知的延伸。

如圍繞“三角形的分類”開發的拓展課《變化無窮的第三個點》，教師設置的核心問題是：直線上有A、B兩個點，在直線上方取一點C，使ABC圍成直角三角形，點C可能在哪里？然后按照“學生嘗試—交流想法—分類整理—歸納特征—追問原因—學法遷移”的路徑進行教學，并根據學生的交流情況，與學生一起整理了點C在直線AB的上方時“第三個點”可能的位置：當點C落在過A、B兩點的直線AB的垂線上時，∠A或∠B是直角，當點C落在“半圓”的虛線上時，∠C是直角，這時ABC圍成的三角形是直角三角形。如果點C不在這幾條線上，那么它在不同區域時可以得到銳角和鈍角三角形的情況如圖4。

并不是經歷過學習就會形成經驗，教師需要引導學生及時把探究所得進行外顯和梳理，以幫助他們建立更加豐富的經驗結構，讓知識能更好地得到遷移運用。

（三）高階學習取向：遷移運用，建立聯結

高階學習是一個有意識運用知識的過程，包含以下幾個方面的高階策略：問題解決、創見、決策、調研和系統分析。要判斷學生學習的質量，可以看學生在整個學習過程中是否運用了這些策略。

如圍繞“軸對稱圖形”設計的拓展課《趣變軸對稱》，教師設計的核心問題是：在圖中（見圖5）涂色一個小正方形，讓組成的新圖形是一個軸對稱圖形，可以怎樣涂？如果依舊要保證新圖形是軸對稱圖形，再涂色兩個、三個小正方形，可以怎樣涂？

在核心問題的解決過程中，先讓學生獨立嘗試，再小組交流匯總方法，使個別學生的方法變成一組學生的共用方法，然后進行方法的分類，歸納方法之間的共性，從而獲得問題解決的策略：確定對稱軸位置，再涂色，使圖形保持對稱性。最后通過設計第二層次的變式問題，讓學生能及時應用在前一個環節中發現的方法和經驗，使方法得到遷移，思維得到提升。在這個過程中，處處可見學生經歷了高階學習過程。

在基于學生立場的“IPS+”學材開發過程中，研究團隊利用生活中的普通材料，如黃豆、蘋果、紙張、撲克牌、篩子、吸管等，結合日常生活中的常見事件，開發了諸如“可樂的‘甜蜜’真相、消費券中的數學問題、地圖中的秘密、可怕的病毒”等拓展教學內容，促進了學生操作經驗和思維經驗的積累，讓學生在關系探索中學習、在邏輯梳理中思考、在主題探究中發展能力?；凇癐PS+”教材二次開發理念的拓展學材研發方式，可以作為一線教師進行相關內容研發時可借鑒的一般流程和具體實施路徑。

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（浙江省杭州市拱墅區教育研究院? ? 310005）