復變函數與積分變換的課程思政元素分析及教與學*

張方方 趙鵬博 余仁萍 齊 歌

（鄭州大學 電氣工程學院 河南鄭州 450001）

引言

2016年，在全國高校思想政治工作會議上指出：由于我國擁有獨特的歷史，獨特的文化和國情，這就決定了我國必須要走符合自身的教育發展道路，辦好具有中國特色社會主義的高校。我國高等教育發展方向要同我國的發展的現實目標和未來方向緊密地聯系在一起。高校思想政治工作關系到高校要培養什么樣的人，如何培養人以及為誰培養人這個根本問題以來，如何將新時代中國特色社會主義思想與大學生專業知識相融合，如何大力推動以“課程思政”為目標的課堂教學改革這些問題亟須解決。

課程思政在高校教育中的重要性愈來愈高，而復變函數與積分變換作為工科大學生的一門必修的專業基礎課，教師更應該理解課程思政在這門課中的重大意義，挖掘這門課程中每個定理和符號與課程思政的聯系，實現知識教育體系和思想政治的有機統一。那么，作為一名高校教師，應該如何順應時代潮流的發展，做好復變函數與積分變換課程知識與課程思政的有機統一，如何在課程教育中潛移默化地實現全方位育人，幫助學生樹立和培養正確的人生觀、價值觀和世界觀，培養出可以為實現新時代中國特色社會主義而努力的有用人才。

在新時代背景下，大學生專業課教育與課程思政的融合也深深吸引著眾多教育者。牛英春[1]等研究了復變函數論課程混合式課改中的思政元素的應用，主要討論了課程理論與思政元素的映射，通過講解課程中的理論來引出思政知識，通過這種方法與課程思政進行有機結合，但是并沒有提到作為在校大學生該如何將復變函數論與課程思政進行融會貫通。王松[2]、李潔[3]、劉方紅[4]分別將辯證唯物主義融入高等數學、微積分和線性代數等專業基礎課中，但并沒有講到作為老師應該如何將專業知識和課程思政有機統一后教給學生。對于復變函數與積分變換這門專業基礎課程，文獻主要從教學方法探討、課程建設、教學設計等[5-6]方面進行相關的研究與分析，而對于課程的思政元素分析、思政與知識點的結合、課程思政教與學等方面很少有文獻進行深入的探討。

綜上所述，復變函數與積分變換與課程思政元素的結合以及老師和學生怎樣去教與學研究具有重要意義，對于本門課程思政建設、課程思政元素開發、課程思政教與學以及學生綜合素養的提升都很有價值。

一、復變函數與積分變換的課程思政元素分析

復變函數與積分變換是工科專業的重要基礎課程，是工科學生學習其他專業課的重要工具。在自動化專業中，自動控制原理、現代控制原理以及信號與系統等許多重要的專業基礎課都用到了本門課程的基礎知識，如復數、傅里葉變換、拉普拉斯變換、留數定理等。本門課程的很多概念、公式、定理和方法等知識點都與思政有著緊密的聯系，特別是科學的思維方法和面對當代錯綜復雜的國際國內形勢時，課程思政發揮了重要的價值。

學生們在從小學到大學的過程中，很少接觸到復數域，他們比較熟悉的是實數域。但是隨著學習的深入，實數域里的知識已經無法滿足專業課的需求，因此，在研究上也會有一定的約束。而課程實現了在數域上的擴展，使許多如x2+1=0的方程，在復數域上存在解析解而實數內是無解的。復變函數中從實數域到復數域的變化和大學生的生活環境發生了巨大的改變一樣，為了提高自身的能力，開拓自身的視野，強化自身的專業技能，這需要改善學生們所處的生活環境來達到上述的目的。

在復數域上建立的函數擁有更多的數學性質和幾何意義，如大家熟悉的指數函數、對數函數、三角函數等由于擴域帶來了函數性質的變化。這里有一個非常著名的歐拉公式，它將看似沒有任何關系的復指數函數和三角函數聯系在一起，幫助我們更好地理解復變函數。歐拉公式建立了復指數函數和三角函數聯系，這也啟示我們雖然環境有所變換，但還是可以找到不同環境之間的聯系。這也可以看作事物的形式，不同但本質是一致的，事物內部本身就包含著相互聯結、相互滲透，相互轉化又相互排斥。列寧曾經說過：發展似乎是在重復以往的階段，但它是以另一種方式重復，是在更高的基礎上重復。這也說明了由矛盾引起的發展或者否定的否定是發展的螺旋形式。學生所處的環境雖然改變了，但事情的發展還是處于螺旋上升的，學生們應更快地適應環境，抓住機會提升自身。

復變函數與積分變換中，能夠體現課程思政的元素還有很多。例如，留數定理蘊藏的事物發展的偶然性與必然性；復變函數無窮級數展開，特別是泰勒級數到洛朗級數能夠培養學生辯證思維，認清問題的本質；從傅里葉的正逆變換理解事物的對立和統一的思想，理論聯系實際；從拉普拉斯變換概念的引入，讓學生理解數學的嚴謹和人類的每一步的發展不容易，國家發展需要技術和大家共同的努力；基于拉普拉斯變換求解微分方程的三步走的過程，體現了解決復雜問題變換思路和工具的重要性，人類的發展過程就是體現人類利用工具探索未知世界的過程。本門課程能夠體現課程思政的知識點還有很多，需要在課程的教與學中深入挖掘與分析，建立整個課程思政元素庫，更好地培養符合新時代發展需要的大學生。

二、課程思政內容怎么教

在教育過程中，我們要注意將課程思政內容與專業知識相結合，與祖國的發展相結合，與學生的發展相結合。我們需要將課程思政建設與復變函數教學內容相互協調，深度挖掘課程內容與思政的結合點。為了能夠深刻地推進課程的創新改革，我們在教育過程中，要切實跟隨現代教育的發展規律，需要著重樹立“以人為本”的教學理念，秉承“潤物細無聲”的教學原則。我們主要可以通過以下幾點將思政元素潛移默化地與課程的教學相融合。

1.體現“以人為本”的學生發展為中心的課程思政教育。課程知識點與思政元素要以學生為中心，體現做人做事的基本道理，提升學生的綜合素養為目標。課程思政元素要結合國情與社會時政熱點問題，結合中華傳統文化，提升學生的愛國主義和理想信念。課程思政元素要結合學生當下的需求和將來的職業發展，提升學生的職業認知和社會認知，培養知識全面、素質高尚、社會需要的人才。

2.我們可以使用現代多媒體技術來表現思政內容。依靠現在的互聯網，將思政內容結合進復變函數教學中，可以將相關的圖片、視頻等加入課堂教育中，如最新的國家發展成就、著名科學家的奉獻精神、現實的機遇與挑戰等，由老師對其進行引導和解說，將更多的思政內容穿插在課程講解的過程中，從而達到與專業知識課程的有機結合。

3.我們要努力開發思政教學案例。枯燥的知識點很容易讓學生感到無聊，造成教學效果不好，所以在課堂上，我們需要鮮活的案例來吸引學生興趣。為了讓學生改變對復變函數課程枯燥乏味的印象，教師要利用生動形象的案例來活躍課堂氣氛，引發學生的積極回應。在課堂上，老師也可以加入對思政案例的討論，從而引導學生樹立正確的價值觀，同時教師也可以借此來了解學生目前觀念。

4.課程思政教育做到“以史為鑒”。在課程的教學中，我們可以引入數學的發展歷史、數學與社會的關系、數學與各國文化的聯系等。這些內容都是可以結合課程思政教育的地方。比如，在柯西積分定理這一章中，我們可以讓學生查閱柯西這位偉大的科學家的相關歷史，首先，引導學生根據國家需要尋找適合自己興趣點，其次是激勵學生大學期間認真完成自己學業。在教學過程中，常常會需要舉例，常用的經濟學例子，我們可以給新中華人民共和國成立以來的GDP變化，讓學生感受到國家的變化，獲得強烈的自豪感。

5.培養學生從課程知識中主動思考課程中思政元素。課程思政中體現的哲學、辯證法等思想，如基本函數、級數展開、積分變換等知識，這些抽象的數學知識本身也富含著相當多的哲學內容，我們要引導學生在學習過程中有目的地將其聯系起來，讓學生們多加思考其中蘊含的哲學思想，從而達到對數學知識和思政知識的有效融合。

課程思政教育的目的是讓我們在課堂教學這個主干道上充分挖掘課程本身所蘊含的思政教育資源，實現思政教育目標與學生專業知識要求協同一致，促進學生的長期健康發展。將復變函數與積分變換的知識傳授與學生思政教育相融合，進而培養學生的思維，鍛煉學生的意志，提高學生的品質，真正實現教書與育人的有機結合，逐步引導學生樹立正確的人生觀、世界觀，價值觀，實現高校人才的全面發展。

三、課程思政知識怎樣學

在復變函數的學習過程中，我們不能只局限于學習書本上的復變函數知識，還要通過查閱相關文獻資料擴充自己的知識儲量，最重要的是要感悟出復變函數知識所蘊藏著的思想政治內容，如通過傅里葉正逆變換得到的對立統一規律以及通過引入無窮級數的概念進而引出辯證思維的概念等。當思政元素與課程知識互相融合，學生們理解課程的難度會下降，同時學習的熱情會提升。這種方式對學生們未來的學習以及科研是益處良多的。

1.傅里葉變換所折射的對立統一

傅里葉的正逆變換可以滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。基于傅里葉的正逆變換公式可以看出，傅里葉的正逆變換是事物的對立統一的一個典型例子，不僅可以從像函數變到原函數，也可以從原函數變到像函數，二者既是對立的，也是統一的。對立統一規律是物質的性質和核心，只有正確認識生活中的矛盾，面對矛盾，才能提高我們的工作能力，幫助我們在未來取得更好的成績。通過傅里葉變換這種理論，我們可以將其應用到實際方面，如圖像處理方面。通過傅里葉變換，我們會顯著提高圖像處理方面的能力。同樣辯證思維，認清問題的本質對學生們來說也非常重要。

2.無窮級數中的辯證思維

無窮級數是用來研究解析函數至關重要的工具。從函數的級數培養辯證思維，認清問題的本質。辯證思維是指認識事物是通過從變化和發展的角度的思想，經常被認為是邏輯思維的對立面。辯證地看問題可以幫助我們在面對抉擇時，選到最佳的解決方法。只有辯證地看待問題，才能開闊眼界，這對我們的生活和事業的成功至關重要。為此，我們需要接觸和研究辯證唯物主義的世界觀。學習唯物辯證法，可以不斷提高自己的地位，開闊自己的胸懷。我們在做科研時，要辯證地看問題，而不是局限于其中的一個方面，要同時考慮兩個方面，這樣才能在學術與做事方面取得成功。

3.留數定理蘊藏的偶然性與必然性

留數和留數定理是復變函數課程的重要概念和重要內容，是分析和求解復變函數積分的一種重要方法。通過留數和留數定理學習，理解了科學結論的偶然性和必然性。偶然性是被積區域的各個奇點，必然性則是最終構成的被積區域包圍的閉曲線。正確認識必然性與可能性之間的辯證關系，對于科學研究和社會實際活動都非常重要。科學活動不能為了追求必然而離開不可預見的情況。在做科研過程中，如果同一實驗遇到不同的結果，不應該直接拋棄偏差很大的結果并且只保留偏差較小的結果，而是應該不斷地嘗試做實驗，要知道無數的偶然造就了必然，這樣才能得到最終的期望結果。

結語

復變函數含有的基礎知識為學生大學學習打下良好的基礎。學生通過專業知識之間建立的聯系，更好地理解知識的本質。這些都會切切實實的影響學生們未來的大學學習和職業生涯，培養出符合我國社會主義核心價值觀的，具有科學精神和工匠精神的新工科人才。教師通過在教學中將基礎知識和相關擴展知識相結合，讓學生不僅在準確理解專業知識的同時，還能夠感悟知識背后的人生哲理以及科學精神，培養學生的愛國精神，從而參與到祖國發展中。