淺談高等數學課程思政的教學設計
——以“梯度”為例

馬 雷

（上海理工大學理學院，上海 200093）

本論文研究的內容是課程思政下高等數學的教學設計。在以往的文獻中，例如參考文獻[2][4]，均是對課程思政與高等數學進行系統的闡述。而本文則是從高等數學中選出具體的一節來進行教學設計。教學設計是服務于教學的，它融合了教學的理論和課程思政的價值觀，運用系統的方法明確教學目標，建立教學過程中的教學方案。同時也為教師自己提高教學效率，完善教學過程打下基礎。如何在課堂教學中將思政相關內容進行融合呢？在課堂教學中，主要是利用高等數學的特點向學生傳達課程思政，在傳授知識的同時也能對學生進行思想政治教育。這不僅能夠向學生灌輸知識而且能夠真正做到“授人以漁”。以高等數學的課程為載體，培養學生明辨是非的能力和勤奮學習的習慣，堅定學生的政治信仰。將社會主義核心價值觀有效的、全面的、傳達給學生，使學生全面發展，為學生后續的學習和事業提供基礎，并使其成為實現中華民族偉大復興的踐行者。本文將以高等數學中的梯度[5]內容為基礎，積極地將高數的相關知識與課程思政相關聯。結合高等數學的特點系統化的完善教學設計，推動相關理論研究的發展，同時能夠對教案設計，教學大綱等教學活動產生指導意義。

梯度是高等數學中非常重要的概念，同時也是整個課程中的重點和難點。課程主要目的就是通過對梯度課程的講授，幫助學生掌握梯度的概念和計算，理解梯度的意義和應用。本次課程大致分為三個部分。（1）梯度的定義。通過對爬山問題的介紹來激發學生的思考，吸引學生的注意力，同時也能和學生產生更多的互動，有比較好的課堂氛圍從而使得學生的學習達到事半功倍的效果。（2）梯度的等值線。先通過 PPT等圖片的方式形象地向學生展示等值線，從而給出等值線嚴格的數學定義，并且介紹幾個簡單的例題來加強同學對梯度和等值線的理解。（3）內容小結。引導學生直觀上理解梯度的概念和意義，掌握梯度和方向導數的關系，并將梯度進一步拓展至后續課程中（機器學習，最優化理論）的應用。在總結的最后部分，也要讓學生們意識到和掌握一定的學習方法，從而培養學生分析問題和解決實際問題的能力。同時透過這樣的課程設計也能夠讓學生更好地對梯度相關知識進行了解及掌握，更好地進行教育的同時，也能更加明確我們學習的意義。

同時可以轉變授課方式，變更多的行為開展研討與交流，能夠將高數問題從課堂教學和課程發展育人的角度進行解讀設計，將高等數學的育人功能更好的呈現，擴展育人的路徑與視野，通過這樣的設計也可以為高等數學類課程思政建設提供新方法與新思路。本文結合參考文獻[1][3]給出具體的教學安排：

1 爬山問題的引入

顧名思義，爬山問題就是當你在山腳時，如何最快地爬到山頂？這是我們現實生活中比較常見的問題。本次課堂先從通俗易懂的身邊事例開始授課，讓同學們帶著思考進行后面的學習。數學上描述爬山問題：設函數是山的高度，沿著哪個方向會最快的到達最高點？為了回答這個問題，我們繼續學習后面的內容。

2 梯度的定義

2.1 方向導數

首先回顧偏導數的有關內容，從定義出發延伸出方向導數的定義。設函數 在點 處存在偏導數，方向的方向角是 。存在下列極限

這一部分是方向導數的授課內容，其相關的證明細節和具體內容會通過板書的形式呈現給大家。向同學們介紹方向導數的同時，要舉例說明函數在一點可微只是方向導數存在的充分條件而不是必要條件；同時函數在某點處的連續也不是方向導數存在的必要條件。在介紹完方向導數后，我們發現方向導數是兩個向量點乘的結果。通過這一觀察，我接著介紹梯度的定義并且梯度與方向導數的聯系。

2.2 梯度

上述公式是要求學生必須掌握的。

課堂進行到這里，授課人將會列舉幾個實際例題向同學們具體講解方向導數和梯度的計算，同時向學生提問如何將方向導數與梯度聯系起來，讓同學們帶著思考進入后面的課堂教學。為了將二者之間的關系更好地呈現給同學，這里將會通過圖片或者動畫來輔助教學。這也能使同學們對二者的概念有更直觀的印象，從而得到更好的教學效果。

公式（2）表明函數的方向導數為梯度在該方向上的投影。由此可以推出當方向一致時，方向導數取得最大值，此時對應的方向即是梯度方向。這也就回答了最初的爬山問題，沿著梯度的方向向上爬可以最快地爬到山頂。

3 梯度的應用和意義

3.1 等值線

解釋：函數在某一點的梯度垂直于該點的等值線，指向函數增大的方向。等高線圖舉例。例1：通過matlab等數學軟件將例1中的函數等高線畫出，向同學們展示等高線的圖示效果并且描述等高線的特性（同一等高線高度相同；閉合曲線）。

圖1 的圖像

圖2 的等高線

另一方面，從等高線的走勢圖，我們可以與思政內容相結合。等高線的高度比喻為人生的高峰與低谷。正是這一圈圈形象又具體的圖案從不同的角度揭示了人生的豐富多彩。高峰時，我們將心懷感恩，不忘初心，勇于攀登下一個制高點。低谷時，我們也不必自暴自棄，調整心態重新出發，努力活出自己的精彩。

3.2 物理意義（場論的初步）

梯度是一個向量場，由此我們可以簡單引入場的概念。場是物理和數學等學科中非常重要的一個概念。在我們的日常生活中接觸到的溫度，密度，電勢都可以理解為數量場。在引入空間的直角坐標系之后，空間的每個位置均可以用坐標表示，因此此時給定某個函數就相當于給了一個數量場。設點集，函數，則稱f是D的一個數量場。同理還可以定義向量場。如果，則稱F是D的一個向量場。比較常見的是速度場。場論揭示了更加深刻的數學思想。對場論的初步學習，將有助于學生系統地掌握方向導數和梯度的基本理論，同時也能激起同學們對未來課程的學習興趣。

4 內容小結

本文利用高等數學中梯度這一節的內容作為實例完成了融入課程思政元素的教學設計。從教學大綱出發，不僅完成了課程的教學要求，同時也突出了教學重點和難點。以爬山問題作為切入點，引發學生思考，激發學生的學習興趣。課堂教學中多次運用動畫的效果直觀地將抽象的方向導數和梯度概念介紹給學生。這也對學生的學習效果有良好的促進作用。

通過這樣一次基礎的課程設計，教會學生辯證的思考以解決實際數學問題，幫助學生們從實際生活角度出發，通過對生活的觀察，真正學習和掌握到高等數學與生活的聯系，這實際上也是復雜問題與簡單問題之間的轉換。不僅僅教會學生們學習數學知識，而且也能讓同學意識到這也是實踐與認識的一個循環。