數(shù)學(xué)模型思想滲透的教學(xué)與思考

【摘 要】以蘇科版數(shù)學(xué)教材“用一元二次方程解決問(wèn)題（1）”為例，從模型回顧、模型建構(gòu)、模型應(yīng)用、總結(jié)提升四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)闡述教學(xué)意圖，分析教學(xué)效能。從對(duì)模型思想的再認(rèn)識(shí)、對(duì)模型思想滲透的再思考、對(duì)培養(yǎng)建模能力的再理解三個(gè)維度闡釋在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的策略。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；模型思想；一元二次方程；解決問(wèn)題

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2022）59-0046-04

【作者簡(jiǎn)介】孫凱，江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校（江蘇蘇州，215151）教師，高級(jí)教師。

模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本手段。

在初中階段，滲透模型思想是培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)建模能力的主要路徑。但在實(shí)際教學(xué)中，教師對(duì)模型思想的認(rèn)識(shí)和理解不夠深刻，對(duì)模型思想的發(fā)掘和滲透不到位，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型認(rèn)識(shí)模糊、建構(gòu)模型能力不足。本文以蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第一章“用一元二次方程解決問(wèn)題（1）”為例，談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想，培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)建模能力。

一、教材簡(jiǎn)析

1.對(duì)教材的理解

“用一元二次方程解決問(wèn)題”是蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第一章“一元二次方程”第4節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，教材在此小節(jié)設(shè)置了3課時(shí)教學(xué)內(nèi)容，每課時(shí)編排兩個(gè)典型問(wèn)題。本課為第1課時(shí)，教材中設(shè)置的兩個(gè)問(wèn)題分別為“面積問(wèn)題”和“增長(zhǎng)率問(wèn)題”。兩個(gè)問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系，符合初中生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，有利于初中生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中體會(huì)一元二次方程模型是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。

在教學(xué)時(shí)，教師不應(yīng)過(guò)于側(cè)重實(shí)際問(wèn)題的歸類教學(xué)，而應(yīng)淡化對(duì)問(wèn)題的歸類，將教學(xué)重點(diǎn)聚焦于“類屬問(wèn)題”的本質(zhì)上——數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。這才符合教材編寫者的真實(shí)意圖，也是進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題教學(xué)的應(yīng)有之義。

2.教學(xué)目標(biāo)與解析

【教學(xué)目標(biāo)】經(jīng)歷和體驗(yàn)用一元二次方程解決“增長(zhǎng)率問(wèn)題”和“面積問(wèn)題”的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型［1］，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力；會(huì)根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程并求解，能檢驗(yàn)所得的結(jié)果是否符合實(shí)際意義；經(jīng)歷引模、建模、解模、驗(yàn)?zāi)５臄?shù)學(xué)建模過(guò)程，進(jìn)一步提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

【解析】從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)看，在“面積問(wèn)題”中，建立一元二次方程模型是沒(méi)有障礙的。而在“增長(zhǎng)率問(wèn)題”中，學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)停留在“一次”增長(zhǎng)上，往往對(duì)“二次”增長(zhǎng)不太理解。因此，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)指向?qū)W生經(jīng)歷和體驗(yàn)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型求解問(wèn)題的過(guò)程，重點(diǎn)是滲透模型思想，幫助學(xué)生突破認(rèn)知障礙，使學(xué)生在分析求解實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中建構(gòu)不同的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）模型回顧

引問(wèn)：母親節(jié)期間，鮮花店里的某種鮮花價(jià)格上浮了20%，小明花18元買了一束鮮花送給媽媽，求這束鮮花原來(lái)的價(jià)格。

【教學(xué)意圖】本環(huán)節(jié)對(duì)教材上的問(wèn)題順序進(jìn)行了調(diào)整，先呈現(xiàn)增長(zhǎng)率問(wèn)題，從學(xué)生熟悉的“一次”增長(zhǎng)問(wèn)題著手，為“二次”增長(zhǎng)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，有利于學(xué)生回顧用方程求解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟，喚醒其建構(gòu)方程模型求解實(shí)際問(wèn)題的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。

【效能分析】學(xué)生能理解“引問(wèn)”中的數(shù)量關(guān)系，并總結(jié)用一元一次方程解決問(wèn)題的一般步驟——審題、設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程、求解、檢驗(yàn)、作答。本題使學(xué)生初步體會(huì)從“起始數(shù)”到“終端數(shù)”的變化規(guī)律，初步感悟一次增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，為二次增長(zhǎng)模型的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（二）模型建構(gòu)

【問(wèn)題1】某商店6月份的利潤(rùn)是2500元，要使8月份的利潤(rùn)達(dá)到3600元，平均每月利潤(rùn)增長(zhǎng)的百分率是多少？

【教學(xué)意圖】問(wèn)題1屬于“二次增長(zhǎng)型”增長(zhǎng)率問(wèn)題。在引問(wèn)的基礎(chǔ)上，促進(jìn)學(xué)生遷移認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，將“一次增長(zhǎng)模型”拓展至“二次增長(zhǎng)模型”，建立一元二次方程模型，使學(xué)生經(jīng)歷引模、建模、解模、驗(yàn)?zāi)５臄?shù)學(xué)建模活動(dòng)過(guò)程，對(duì)獲得的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步抽象、概括，形成“增長(zhǎng)率模型”a（1+x）2=b。

【效能分析】學(xué)生在“一次”增長(zhǎng)的認(rèn)知基礎(chǔ)上獲得一元二次方程模型2500（1+x）2=3600。在求解該方程模型時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考選用哪種解法比較合理，幫助學(xué)生完成求解模型的任務(wù)。在此環(huán)節(jié)，適時(shí)滲透模型思想，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將“起始數(shù)2500”和“終端數(shù)3600”符號(hào)化，使學(xué)生體會(huì)一類實(shí)際問(wèn)題中穩(wěn)定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)模型的視角理解實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【問(wèn)題2】在淘寶網(wǎng)上購(gòu)買了60m的柵欄圍成矩形場(chǎng)地。（1）寫出圍成的矩形場(chǎng)地面積y（m2）與長(zhǎng)x（m）之間的關(guān)系式；（2）能圍成面積為200m2的矩形場(chǎng)地嗎？（3）能圍成面積為240m2的矩形場(chǎng)地嗎？

追問(wèn)：你能提出一個(gè)有關(guān)面積的問(wèn)題嗎？

【教學(xué)意圖】問(wèn)題2屬于“矩形面積”問(wèn)題。教師可先安排學(xué)生畫圖，引導(dǎo)其從幾何直觀的視角體會(huì)面積問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)模型的幾何意義。在60m柵欄的實(shí)際背景下，設(shè)置了3個(gè)問(wèn)題。第一個(gè)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生獲得函數(shù)模型y=x（30-x），感悟矩形面積會(huì)隨長(zhǎng)度的變化而變化，為建構(gòu)一元二次方程模型奠定基礎(chǔ)。后兩個(gè)問(wèn)題涉及具體的矩形面積，即對(duì)面積y賦值，將函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為方程模型，驅(qū)使學(xué)生自覺(jué)感悟函數(shù)（二次函數(shù)）與方程（一元二次方程）的內(nèi)在聯(lián)系。追問(wèn)環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)學(xué)生會(huì)提出矩形場(chǎng)地面積最大的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“配方法”求最值，為后續(xù)研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

【效能分析】學(xué)生能畫出矩形輔助分析問(wèn)題，寫出y=x（30-x）的函數(shù)模型，進(jìn)一步將y更換為200或240，求解一元二次方程，獲得數(shù)學(xué)結(jié)果。在追問(wèn)環(huán)節(jié)，學(xué)生能說(shuō)出“圍成正方形時(shí)面積最大”，但面對(duì)“為什么圍成正方形時(shí)面積最大”這一問(wèn)題，學(xué)生往往不能作出合理解釋。此時(shí)，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用配方法解決最大值問(wèn)題。

（三）模型應(yīng)用

【習(xí)題】1.某服裝原價(jià)每件80元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，現(xiàn)售價(jià)每件51.2元。求該種服裝平均每次降價(jià)的百分率。

2.某商品連續(xù)兩次降價(jià)10%后價(jià)格為a元，則該商品的原價(jià)為（? ）。

A. [a/1.21]元? ?B. 1.12a元

C. [a/0.81]元? ?D. 0.81a元

3.一塊長(zhǎng)方形菜地的面積是150m2。如果它的長(zhǎng)減少5m，那么它就成為正方形菜地。求這個(gè)長(zhǎng)方形菜地的長(zhǎng)和寬。

4.學(xué)校打算用長(zhǎng)16m的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠墻（如圖1），面積是30m2。求生物園的長(zhǎng)和寬。

【教學(xué)意圖】本環(huán)節(jié)的4個(gè)問(wèn)題分別對(duì)應(yīng)了增長(zhǎng)率模型和面積模型。其中題1、題2是對(duì)增長(zhǎng)率模型的拓展，將“增長(zhǎng)”拓展至“降低”，使學(xué)生在解決“新問(wèn)題”的過(guò)程中體悟?qū)嶋H問(wèn)題背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步完善為a（1±x）2=b。題3、題4是對(duì)面積模型ab=c的實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生從問(wèn)題中找到長(zhǎng)、寬、周長(zhǎng)、面積之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

【效能分析】學(xué)生從題1中能正確建立一元二次方程模型，但在求解模型時(shí)，部分學(xué)生出現(xiàn)求解錯(cuò)誤甚至不會(huì)求解的現(xiàn)象。題2相對(duì)簡(jiǎn)單，學(xué)生能正確建立模型并出示結(jié)果。題3教師可引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析題意，完成設(shè)、列、解、驗(yàn)等步驟。在題4中，學(xué)生在建立模型求解出結(jié)果后，有很多學(xué)生不知道或者不會(huì)檢驗(yàn)，因而教學(xué)中應(yīng)及時(shí)予以強(qiáng)化。

（四）總結(jié)提升

本環(huán)節(jié)教師安排學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)情況，思考、討論、交流、提升。（板書見(jiàn)圖2）

【教學(xué)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)建模的視角總結(jié)建立一元二次方程解決問(wèn)題的過(guò)程，滲透模型思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。

【效能分析】借助板書設(shè)計(jì)總結(jié)利用一元二次方程解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，幫助學(xué)生體悟模型思想。

三、教學(xué)思考

1.對(duì)模型思想的再認(rèn)識(shí)

史寧中教授指出數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型。其中模型是數(shù)學(xué)世界連接外部世界的橋梁。［2］

研究《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》不難發(fā)現(xiàn)，課標(biāo)注重在代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)等“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容中滲透模型思想，從而幫助學(xué)生建立模型觀念。因此，在代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題情境中抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象，進(jìn)一步建立數(shù)學(xué)模型，這是教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。就本節(jié)課而言，教師設(shè)計(jì)適切的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生建立一元二次方程模型，體會(huì)模型思想是教學(xué)的核心。因此，在初中學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型并求解問(wèn)題，在認(rèn)知系統(tǒng)中逐步建立模型思想尤為重要。

2.對(duì)模型思想滲透的再思考

（1）為什么要滲透

滲透模型思想是義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育明確的目標(biāo)要求［3］，應(yīng)在發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想和應(yīng)用意識(shí)等方面有所作為。因此，教師應(yīng)注重在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中滲透模型思想，使學(xué)生體會(huì)一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。

（2）如何滲透

數(shù)學(xué)模型思想滲透教學(xué)一般分為模型回顧、模型建構(gòu)、模型應(yīng)用三個(gè)環(huán)節(jié)。模型回顧是指新模型學(xué)習(xí)前的認(rèn)知基礎(chǔ)，通過(guò)問(wèn)題喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)模型認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，為建立新模型奠定基礎(chǔ)。模型建構(gòu)是指在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上的同化或順應(yīng)，建立新的數(shù)學(xué)模型。模型應(yīng)用是指運(yùn)用新的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)模型思想。

本節(jié)課模型思想滲透的三個(gè)環(huán)節(jié)以此為基礎(chǔ)，具體為：（1）模型回顧，引導(dǎo)學(xué)生回顧曾經(jīng)研究過(guò)的一元一次方程模型，喚醒經(jīng)驗(yàn)；（2）模型建構(gòu)，以問(wèn)題1、問(wèn)題2為載體，驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主建構(gòu)二次函數(shù)、一元二次方程、一元一次不等式（組）等數(shù)學(xué)模型，體會(huì)不同數(shù)學(xué)模型的特征及內(nèi)在聯(lián)系；（3）模型應(yīng)用，呈現(xiàn)四個(gè)拓展性的問(wèn)題情境，促使學(xué)生運(yùn)用習(xí)得的數(shù)學(xué)模型解決新的實(shí)際問(wèn)題。

3.對(duì)培養(yǎng)建模能力的再理解

在初中階段，教師越來(lái)越重視在教學(xué)中滲透模型思想，但如何滲透模型思想、哪些教學(xué)內(nèi)容適合滲透、滲透到什么程度等問(wèn)題依然困擾著很多教師。事實(shí)上，滲透模型思想的教學(xué)價(jià)值指向培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。需要說(shuō)明的是，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透模型思想、開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)是培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)建模能力的主要路徑，其中滲透模型思想是常規(guī)的、適切的、有效的培養(yǎng)路徑。

【參考文獻(xiàn)】

［1］孫凱.在數(shù)學(xué)建模中建立知識(shí)結(jié)構(gòu)——《一元二次方程》單元復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)與思考［J］.教育研究與評(píng)論，2021（2）：45-47.

［2］史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第一輯）——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象［M］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2008：1.

［3］周立棟.數(shù)學(xué)模型思想及其滲透教學(xué)［J］.上海教育科研，2015（10）：64-66.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“初中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)與評(píng)價(jià)的實(shí)踐研究”（B-b/2020/02/104）的研究成果。