小學低年段HPM拓展課一例

章穎

摘要：以古羅馬數字1—20為素材，挖掘其思維內涵，在學生學完一年級的《11—20各數的認識》單元后，上一節拓展課，幫助學生感悟數學思想，發展數學思維。這節課的基本環節是：認識基本數字1、5、10;用“組合加”的方法創編2、3、4、6、7、8、9;用“換位減”的方法創編4、9;運用規則創編11—20;比較感受阿拉伯數字的簡潔性。相關的教學啟示有：數學史料的選擇要有助于學生數學思維的發展;問題或任務的設計要有助于學生主動投入探究;認知沖突的創設要有助于學生思辨能力的發展。

關鍵詞：數學史;數學思維;拓展課;古羅馬數字

人教版小學數學一年級上冊第五單元《6—10的認識和加減法》的兩個《你知道嗎？》欄目分別呈現了中國古代的算籌記數法和古埃及的象形數字記數法。前者在記數1—5時體現了累加的思想，在記數6—9時又體現了轉換的思想;后者在記數1—9時都體現了累加的思想，在記數10時體現了轉換的思想。

考慮到這兩種記數法蘊含的數學思想較少，學習時需要的思考較淺，而且這兩種記數法在現代生活中已經不再使用，筆者想到，可以古羅馬數字1—20（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ、Ⅺ、Ⅻ、、、ⅩⅤ、ⅩⅤⅠ、ⅩⅤⅠⅠ、ⅩⅤⅠⅠⅠ、ⅩⅠⅩ、ⅩⅩ）為素材，挖掘其思維內涵，上一節拓展課，幫助學生感悟數學思想，發展數學思維。《認識古羅馬數字》一課可安排在學生學完一年級上冊第六單元《11—20各數的認識》后。

一、數學史料解讀

仔細分析古羅馬數字1—20，不難發現不同數字創編的思維層次有所不同（詳見下頁表1）。其中，1、5、10是直接規定的基本數字，只需要了解，思維層次較低。從2、3兩個

數字開始，就有了探究的價值。2、3是由基本數字Ⅰ累加得到的，6、7、8是由基本數字Ⅰ和Ⅴ組合而成的，它們遵循的是“小數在后是加”的規則。到了4和9，雖然也是兩個基本數字的疊加組合，但遵循的是“小數在前是減”的規則。這兩個規則可以讓學生觀察、發現、討論、交流，最終達成共識。這就有了學生思辨的基礎和空間。創編11—20時，則需要遷移運用之前的規則。其中，14、19的創編對學生來說難度尤為顯著，因為它們不僅是三個基本數字的疊加組合，而且在“組合加”的過程中還用到了“換位減”。此外，單一數字創編后還要遵循統一性規則，使創編數字符合整個數系的規律。這也是需要學生思考、探究的地方。

二、教學路徑設計

基于古羅馬數字創編的思維層次分析，本節課設計了如下的教學路徑：

（1）創設情境，讓學生了解古羅馬數字中分別用Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ代表1、5、10。

（2）讓學生創編10以內的其他數字。在創編過程中，學生發現隨著數字的增大，僅用Ⅰ疊加的方法很不方便，由此引入可以用不同的基本數字疊加。而4和6的創編，又引出數字組合的基本規則。

（3）讓學生創編11—20。特別是在創編14、19的過程中，讓學生通過討論、交流進一步優化、補充數字創編規則。

（4）在進一步拓展中，將古羅馬數字與阿拉伯數字對比，從而感受阿拉伯數字沿用至今的緣由——簡潔性。

三、教學過程實施

（一）情境導入，認識基本數字1、5、10

師這單元我們學習了20以內數的認識。這些數字有一個統一的名字，叫作“阿拉伯數字”。今天，讓我們穿越回古羅馬，做一回古羅馬人，創編古羅馬時代的數字吧！

師（出示情境圖）這是古羅馬人的斗獸場。數一數，有幾只猛獸？

生1只。

師（板書：Ⅰ）古羅馬人用Ⅰ表示1。（出示情境圖）現在有幾只？

生5只。

師古羅馬人用1只手表示5只動物。（做手勢）瞧，它像哪個字母？

生V。

師（板書：Ⅴ）對，就是很像V但不是V的字母。（出示情境圖）現在有幾只？

生10只。

師古羅馬人用2只手來表示10，但是他們還是想用1個字母來表示，他們就將一只手旋轉了一下。（做手勢）瞧，現在像什么字母？

生X。

師（板書：Ⅹ）同樣地，這是一個很像X但不是X的字母。

[設計意圖：通過情境導入，讓學生直觀了解古羅馬人創造的數字與身體有密切聯系，初步感受古羅馬人的字母數字系統，為后續運用少量符號并通過它們不同個數的排列來表示不同的數做好鋪墊。]

（二）合作探究，用“組合加”的方法創編2、3、4、6、7、8、9

師Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ這三個字母就是古羅馬數字中的基本數字，將它們組合起來能變出很多其他的數字。

（教師出示任務一，見圖1。學生合作探究。）

生Ⅰ表示1，2里面有2個1，所以可以寫成Ⅱ;3就是3個1，可以寫成Ⅲ;4就可以寫成ⅠⅠⅠⅠ。

師大家都是把Ⅰ一個一個疊加起來。看來，把基本數字疊加起來是創編數字的好方法。（出示表2）這位同學創編的羅馬數字，你們覺得怎么樣？

師有沒有更簡便的疊加辦法？同桌討論。

生可以把Ⅴ和Ⅰ疊加起來。Ⅴ表示5，Ⅰ表示1，5+1=6，那6就可以寫成Ⅵ。

師除了6以外，還有哪些數字也能用這樣的辦法創編呢？

生7—9。

師請同桌一起修改6—9。

生6是Ⅵ，就是5+1，那么，7可以寫成Ⅶ，8可以寫成Ⅷ，而9就可以寫成ⅤⅠⅠⅠⅠ。

師小朋友們真厲害，都學會了用疊加的方法創編數字！

[設計意圖：創編2、3、4時，學生會自然想到直接用數字Ⅰ疊加。當數字超過5以后，學生會發現用“逐一計數”的方法越來越麻煩，從而產生“簡化”的朦朧思想。通過討論，學生發現可以將6—9都改寫成“5+□”的形式，于是，用兩個不同的基本數字疊加的想法也就油然而生。這樣從繁到簡自然過渡，學生能感覺到自己的想法和古人的想法是相通的，數學思想（思維）并不神秘。]

（三）迭代優化，用“換位減”的方法創編4、9

師小朋友們把1—10的羅馬數字都創編出來了。可是，在古羅馬人的創編規則里， 還有這樣一條：相同的基本數字可以連用，但不能超過3個。根據古羅馬人的規則，你們覺得哪幾個數字需要修改？

生4和9。

師先來看4，要想不連用4個Ⅰ，除了Ⅰ之外，還得用什么？

生Ⅴ。

師4=5-1，看來得用一個Ⅴ和一個Ⅰ。可是，6=5+1，也用了一個Ⅴ和一個Ⅰ，是Ⅵ。那么，4和6怎么區分呢？

生可以把Ⅴ和Ⅰ換個位置，變成Ⅳ。

師你們真會動腦筋！古羅馬人也是這樣，把小的數放在左邊表示減，放在右邊表示加。那么，9怎么創編呢？

生9就是10-1，所以把Ⅰ放在Ⅹ的左邊就可以了，就是Ⅸ。

師既然你們創編出了9，那么，哪個數也能很快地創編出來？

生11=10+1。把Ⅰ放在Ⅹ右邊就可以了，就是Ⅺ。

師比較一下前后創編的4和9，你能理解為什么基本數字連用不能超過3個嗎？

生連用超過3個不簡潔。

生連用超過3個數不清，容易看錯。

[設計意圖：新的創編規則激發了學生的認知沖突。學生觀察、討論4、6與5的關系后，發現只要調整Ⅰ的位置，就能區分5+1與5-1。進而，引導學生發現，新的創編規則讓一些數字的寫法得到了優化。]

（四）提煉遷移，運用規則創編11-20

師剛才，我們創編10以內的數時，遵守了哪些規則？

生要用基本數字：Ⅰ=1，Ⅴ=5，Ⅹ=10。

生相同的基本數字可以連用，但不能超過3個。

生小的數在左是減，在右是加。

師現在請你們用這些規則來繼續創編11-20。

（教師出示任務二，見圖2。學生合作探究。）

生我們能確定11是Ⅺ，12是Ⅻ，13是。它們都是先寫10，再分別加上1、2、3。

生我們能確定的數是15、16、17、18，它們的寫法和11、12、13相同，都是用10加上個位上的數。15是10+5，所以就是ⅩⅤ;16是10+6，而6是Ⅵ，因此就是ⅩⅤⅠ。按照這樣的規律，我們知道17是ⅩⅤⅠⅠ，18是ⅩⅤⅠⅠⅠ。

生我們還能確定20，20是兩個10相加，就是ⅩⅩ。

師那你們不太確定的就是14、19這兩個數字吧？請把你們的寫法貼到黑板上，大家一起來討論。我們先貼14這個數。

（學生貼寫法，見圖3。）

生我覺得ⅠⅤⅩ是對的，ⅠⅤⅩ可以看作ⅠⅤ和Ⅹ合起來，ⅠⅤ是4，Ⅹ是10，合起來是14。

生我覺得ⅩⅠⅤ是對的，ⅩⅠⅤ可以看作Ⅹ和ⅠⅤ合起來，也是10+4=14。

師大家覺得呢？

生好像都有道理。

師那我們再想一想之前的規則，或者把這兩個數字放到11—20的表格中仔細觀察。（稍停）現在，你覺得哪種寫法更合適？

生小的數在左是減，在右是加。ⅩⅠⅤ才是10+4，ⅠⅤⅩ應該是10-4。

生我覺得ⅩⅠⅤ更合適，11是ⅩⅠ，12是ⅩⅠⅠ，13是ⅩⅠⅠⅠ，這3個數都是把Ⅹ放在前面，所以14也應該把Ⅹ放在前面。

師非常好！你們都找到了依據，說出了道理。現在，你覺得19應該怎么寫？

生11—18都是把Ⅹ放在前面，變成10加幾的樣子，所以19也要把表示10的Ⅹ放在前面，應該是ⅩⅠⅩ。

師對，古羅馬人在創造數字時，就遵守了這樣的統一規則。你們和他們一樣， 很有智慧！

[設計意圖：創編11—20，既是對規則的運用，又是對規則的進一步理解。此時，學生會在14、19這兩個數上遇到困難，因為這兩個數的創編既要用到4、9的“換位減”方法，又要將個位和十位上的數進行“組合加”，這對一年級的學生來說顯得尤為困難。當學生覺得ⅠⅤⅩ和ⅩⅠⅤ都有道理，不知如何選擇時，教師引導學生回想之前的規則或將這些數字放入數系中觀察，這就從微觀的角度拓展到宏觀的角度，從而讓學生感受到既要遵循創編的基本規律，也要保持數系的統一性。]

（五）拓展比較，感受阿拉伯數字的簡潔性

師其實，隨著數字變大，古羅馬數字還會用到好多個基本數字呢！比如，表示3888，你們猜猜要用到多少個基本數字？

生5個。

生10個。

師（課件出示3888的古羅馬數字）一起來數一數。

生啊！一共要用到15個基本數字。

師你們有什么感覺？

生太麻煩了。

師那你們知道為什么現在我們的生活中只是偶爾用古羅馬數字，而常用阿拉伯數字了吧？

生還是阿拉伯數字方便。

師是的，阿拉伯數字采用十進制記數法，只有10個基本數字，放在不同的數位就能表示不同的數，非常方便。

[設計意圖：學習1—20的過程中，學生很難感受到古羅馬數字的劣勢，畢竟只要用到3個基本數字。但是，當數字變大后，古羅馬數字的煩瑣性就充分顯示出來了。通過直觀呈現的對比，讓學生感受到阿拉伯數字的簡潔性，理解為什么阿拉伯數字會流傳至今，這也是數學史文化價值的充分體現。]

四、教學啟示

（一）數學史料的選擇要有助于學生數學思維的發展

數學史料極其豐富，每一份史料的價值也十分多元。作為一線教師，在數學史料的選擇上，不僅要關注其文化導向功能，激發學生的數學學習興趣，還要關注其蘊藏的數學思維價值，讓學生的數學思維發展與數學文化學習更好地融通起來。

本節課，筆者通過對數學史料的細致解讀與重新定位，發現1—20各數的創編規則及其難易程度不同。因此，教學中不能對每一個數字平均用力，否則，容易陷入知識的零散學習和技能的重復練習中。所以，本節課以“自主創編—提煉方法—運用方法—優化方法”為知識學習主線，并以“編—辨—辯”為思維發展主線，將數字創編的思維層次不斷提升，從而促進學生的思維發展。

（二）問題或任務的設計要有助于學生主動投入探究

教學中，問題或任務能驅動學習真正發生，落實學生的主體地位。教師要設計探究性的問題或任務，激發學生的探究動力，驅動學生自主探究，進而合作交流，質疑問難，深入思考，發展思維。

本節課，筆者用“你能用Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ創編1—10中其他的數嗎？”和“你能用Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ創編11—20各數嗎？”這兩個探究性問題（任務）串聯、驅動。這兩個問題看似重復，其實目的不同。前者主要是讓學生通過自主探索、同伴討論、展示交流，得出數字創編的基本方法。后者則是讓學生遷移運用，并從單個數字創編的微觀角度拓展到數系中數字規律統一的宏觀角度，讓學生的思維廣度得到進一步拓展，思維深度得到進一步提升。雖然這兩個問題的目的略有不同，但是它們的作用仍有相通之處：引發學生的高階思維。這兩個問題將可以直觀呈現的知識以自主創編的形式加以轉化，通過挑戰學生的原有認知，激發學生的探究動力，并讓探究的過程開放：不是隨意寫幾個數字，而是需要抽象概括、邏輯推理、猜想驗證、比較辨析等。這一過程能讓學生的思維得到充分的發展。

（三）認知沖突的創設要有助于學生思辨能力的發展

思辨能力的發展對數學學習是至關重要的，它依賴于直覺思維，更依賴于邏輯分析。認知沖突的創設有助于讓學生經歷“觀察分析、嘗試解決、批判質疑、分析論證、反思優化”等過程，從而提升思辨能力。

本節課的第一個探究問題（任務）側重于讓學生經歷“觀察分析、嘗試解決”的過程。在創編4、6時，引發了第一次認知沖突。學生通過思考，發現只要將Ⅰ和Ⅴ交換位置就能解決5+1和5-1的組合問題。第一次認知沖突讓學生感受到思辨的意義，他們在對比辨析中發現，創編規則不只有“加”的方法，“減”也是一種很有效的方法。

本節課的第二個探究問題（任務）更側重于利用認知沖突讓學生經歷“批判質疑、分析論證、反思優化”的過程。學生對14、19兩個數的創編各有想法，而且對每種創編都能說出道理，但學生也知道只有一種創編是正確的。于是在這一過程中，“質疑”就自然而然地產生了。當從微觀角度不能作出正確決斷時，宏觀的角度就成為必需。學生的思辨能力，就在比較辨析、討論爭辯的過程中得到了發展。

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