隱圓“現”形記

摘 要：《普通高中數學課程標準》（2017版）指出，學科素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。數學學科素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。所謂深度學習，是一種不同于一般意義學習方式的理解性學習，是一種在現象教學中把已有知識遷移到新問題的解決的學習方式，它更注重學習方式方法的掌握和運用。所以，深度學習正是培養學生核心素養的一把利劍，可以提高學生解決實際問題的能力，培養他們主動建構知識的良好品質。

關鍵詞：深度學習;核心素養;現象教學

一、問題提出

高中學生在剛接觸解析幾何時，對于直線與圓這一部分入門級內容的學習，都感覺力不從心。大部分同學知道直線與圓問題的關鍵點在于圓心與直線的距離，但在遇到一些解析幾何問題時，仍然沒能看出題中隱藏的直線與圓的問題，當然也就得不到解題思路，更不能解決這類問題。這很值得我們深究，為什么學生會無法發現問題的指向？從本質上說是學生沒有抓住數學現象，進行深度思考與學習，導致數學核心素養中的數學抽象這一關鍵能力沒能得到很好的培養。本文筆者以解析幾何中隱圓的問題來談談基于數學現象的深度學習與數學學科核心素養的培養的關系。

二、案例分析

在教學中，我們發現如果給出圓的標準式或一般方程式，學生還是很容易上手的。但很多時候，題目中并沒有出現圓的方程，需要學生經過分析、轉化等一系列方法技巧處理，才能發現是有關圓的問題，這類隱圓問題對學生來說就屬于難題了，如何來幫助學生尋找解答諸如此類的數學問題的方法呢？

其實很多數學問題的解題關鍵是善于透過條件現象的表面，深挖其內涵，找尋隱含條件，這樣就能打開解題思路。下面我們就來觀察幾種現象，挖掘一下問題的關鍵，找到隱含圓的條件，發現那些隱圓。

問題情境1：含有動點P到兩定點距離的平方和為定值的現象

由于圓的標準方程是由兩點距離平方后推導而來，所以如果將兩個距離平方后相加，例如：動點P（x，y）與定點A（a，b），B（c，d）的距離平方和為：

PA2+PB2=（x-a）2+（y-b）2+（x-c）2+（y-d）2=

2x2+2y2-（2a+2c）x-（2b+2d）y+（a2+b2+c2+d2）

從這個數學現象出發，深入思考后發現兩個距離的平方和的“形”與圓的一般方程的“形”基本一致，因此我們就可以從方程的觀點出發，讓學生知道，只要能得到二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，當滿足A=C且B=0時，就很有可能表示一個圓，從而就能發現隱含在題目中的圓了。

例1：D在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x-a）2+（y-a+2）2=1，點A（0，2），若圓C上存在點P，滿足PA2+PO2=10，則實數a的取值范圍是? ?。

本題解析：由PA2+PO2=10這個已知條件，可以得知此處隱含了圓，所以設P（x，y），由PA2+PO2=10，得到二元二次方程x2+（y-2）2+x2+y2=10，整理后得x2+y2-2y-3=10，可見P的軌跡是以N（0，1）為圓心，2為半徑的圓。

又因為P是圓C上一點，即兩圓有交點，得，即，解得實數a的取值范圍是[0，3]。

情境拓展：一般的，一動點到任意有限多個點的距離平方和等于定值，都可以從代數式子上發現隱圓，乃至形如型問題，都可能是隱圓問題，其中C和λi是常數，Ai是定點。

問題情境2：含有動點P到兩定點距離的比值為定值（不為1）的現象

特別的：含有λPA2-μPB2=k的現象中，當λPA2-μPB2=0時，即λPA2=μPB2，可得為常數（圓的第二定義，阿波羅尼斯圓），也是隱圓的常見現象。

例2.在平面直角坐標系xOy中，已知點O（0，0），A（0，3），圓的方程為：C：（x-a）2+（y-2a+4）2=1，若圓上總存在點P滿足PA=2PO，則圓心C的橫坐標a的取值范圍是 。

本題解析：由已知條件PA=2PO，滿足動點P到兩定點距離的比值為定值的現象，所以設P（x，y），得，得到二元二次方程3x2+3y2+6y-9=0，即x2+（y+1）2=4，得到點P的軌跡是以N（0，-1）為圓心，2為半徑的圓。即P是兩圓的公共點，得，即解得實數a的取值范圍是。

問題情境3：含有動點P與兩定點所成向量的數量積為定值的現象

例3. 在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-t，0），B（t，0）（t>0），點P滿足，且點P到直線l：3x-4y+24=0的最小距離為，則實數t的值是 。

本題解析：設P（x，y），由，得（x+t，y）·（x-t，y）=8，得到二元二次方程x2-t2+y2=8，即x2+y2=8+t2，可知動點P的軌跡是以O（0，0）為圓心，為半徑的圓。又由點P到直線l：3x-4y+24=0的最小距離為，又因為O到直線l：3x-4y+24=0的距離為，所以=3，得t=1。

情境拓展：動點P與兩定點所成向量和的模為定值的現象，即，也是隱圓問題。

問題情境4：含有動點P與兩定點所成角為直角的現象

例4.已知圓和兩點，若圓上存在點P，使得 ，則m的取值范圍是 。

本題解析：設P（x，y），由，得，即，得到二元二次方程，所以點P的軌跡是以O（0，0）為圓心，m為半徑的圓.即P是兩圓的公共點，得，即，解得實數m的取值范圍是[4，6]。

情境拓展：動點P與兩定點A、B所成角為定角的現象，即（θ為定值且θ≠90°），則動點P的軌跡是兩段圓弧。

三、深度學習導向下，以隱形圓為例培養數學學科核心素養

（一）通過深度學習來培養數學核心素養的方式

“深度學習”，由瑞典學者費倫斯·馬頓和羅杰·薩爾喬1979年在《學習的本質區別：結果與過程》一書中首次提出，它是指“學習者以高級思維的發展和實際問題的解決為目標”的一種學習方式，而這種方式恰恰適應了我們新課標中數學核心素養培養的需求。新課標將直線與圓調整到選擇性必修的平面解析幾何中，讓直線、圓、橢圓、拋物線等連貫到一起，集中學習，學生在學習解析幾何時循序漸進、逐步深入，緊扣“四基”，提升“四能”，培養“核心素養”。我們要鼓勵學生從已有的舊知圓的基本形象出發，從直觀幾何到抽象代數，積極主動地學習新知，批判性地接受新知，從而把新知納入已有知識體系，進而達到縱向遷移的最終目的，讓數學不僅僅是數學，讓萬物皆數的思想延伸并實際化，從而為提高學生數學學科核心素養發揮作用。

（二）立足概念本質的深度學習，引導直觀想象，發展數學抽象

古代埃及人認為：圓，是神賜給人的神圣圖形。這個神圣的圖形，在自然界和我們的日常生活中普遍存在，它是一個看似簡單卻又奇妙的圖形。早在兩千多年前，墨子就給圓下了一個定義：圓，一中同長也。意思是說：圓有一個中心（即圓心），圓心到圓周上各點的距離（即半徑）都相等。這個定義一直沿用到現在，而且我們對圓的研究也從未停歇。這些概念學生已爛熟于心，但我們無法確信他們是淺層次的記憶，還是通過積極主動的思考、勇敢努力的嘗試形成的，但獲得概念的方式必將影響進一步的深層學習。

由圓的定義，我們可以通過兩點的距離公式來推導圓的標準方程：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），其中（a，b）為圓心坐標，r為半徑。

基于圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2這個代數式的直觀現象，我們很容易推導出圓的一般方程的形式，即x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），其中圓心坐標為，半徑。

在圓的方程的學習中，我們要讓學生親身嘗試發現，要從數學定義出發，再到形的辨識和理解，才是學生深度學習的整個過程，當對這類概念的本質進行深度學習后，學生很容易產生直觀想象，以后凡看到二元二次的形式，便會抽象出數學中圓方程的形象，所以這個概念的學習完全可以由學生通過自我深度學習完成。

（三）立足性質探究的深度學習，提升邏輯推理，優化數學運算

在有了概念的深入理解后，我們就應該通過對于性質的探究性深度學習去提高學生的邏輯推理能力。比如：在學習圓方程式，思維不應只局限在一個直觀而形象的圓上，而應拓寬學生的思維，用探究的方式引發他們的積極思考，多提問，大膽設想，讓學生去驗證。在此過程中，當學生奔著某一目標大膽追尋時，數學運算的能力也就在潛移默化中得到優化，直至熟練掌握運算技巧，以期發展他們的數學核心素養。

在問題1中，變式思考：若條件改為2PA2+PO2=10，P的軌跡是否依然是圓？學生不斷嘗試、探索，通過簡單的推理運算，就可以發現P的軌跡是圓。

引導學生對此性質進行推廣，從而自主得到含有λPA2+μPB2=k的現象和含有λPA2-μPB2=k的現象可以本質性地劃歸為一類問題。由此問題2中的性質就水到渠成了。

（四）立足多角度分析問題的深度學習，學會數學建模、數據分析

問題3中涉及向量數量積的這一概念時，我們要引領學生多角度地分析問題，不能僅僅停留在向量數量積的表面，而應讓學生多角度分析問題，結合上面隱形圓的經驗，就不難發現動點P（x，y）與定點A（a，b），B（c，d）的向量數量積為：=（x-a）（x-c）+（y-b）（y-d）=x2+y2-（a-c）x-（b+d）x+ac+bd，顯然展開后的“形”與圓的一般方程的“形”又是基本一致，因此我們就可以發現這種現象也是隱含了圓。

問題4表面上是一道解三角形的數學問題，但題中關鍵信息是APB=90°，出現定角，也是隱圓現象。

變式：在三角形ABC中，AB=2，ACB=60°，則三角形面積的最大值是 。

如圖：以AB邊為x軸，以AB中點為原點，建立直角坐標系，由圓周角的特性及，可以發現點C在定圓的圓周上運動，不難發現，當三角形是等腰三角形時，面積最大。

根據數學題目展示的條件現象，尋找解題的方法，比尋找題目的答案更重要。在核心素養之下，解法也不是最重要的，讓學生會用數學的眼光觀察問題，觀察世界，根據問題所給出的現象，從中發現數學問題，解決數學問題，會用數學思維思考世界，用數學語言表達世界，形成數學的眼光和思維，才是我們數學的真正核心所在。

結束語

數學學習不可僅局限于有限的學校學習，它應該是一種終身學習。學校學習中我們應盡可能地培養數學的核心素養，為以后人們所遇到的問題可能是數學問題，也可能不是明顯的和直接的數學問題做好準備。而只有具備數學素養的人才能從數學的角度看待問題，用數學的思維方法思考問題，用數學的方法解決問題，這才是我們數學教育的最終目標，我們所需要培養的數學核心素養是指當前或未來的生活中為滿足個人成為一個會關心思考的市民的需要而具備的認識、理解數學在自然、社會生活中的地位的能力，做出數學判斷的能力，以及參與數學活動的能力。而所有的這些能力，只有在深度學習中才有可能被習得，被遷移。所以，通過深度學習，讓學生能從現象中提出問題并轉化為數學問題，在分析和解決問題的過程中提高數學邏輯推理、數學建模的能力，通過熟練的數學運算和數據分析技能，把生活中所需要的問題抽象成數學問題，直觀想象，進而解決實際問題，讓數學源于生活而高于生活。

參考文獻

[1]孫四周.現象教學[M].吉林教育出版社，2018.6.

[2]汪淳樸.高中生數學深度學習的有效性探究[J].中學教學參考，2016（32）.

[3]劉瑞富.引導高中生數學深度學習的基本策略[J].數學教學通訊，2018（21）.

作者簡介：陳國仙（1982—），男，漢族，江蘇蘇州人，蘇州市吳江高級中學，中學一級教師，學士學位，研究方向：基于學生為主體的理念，進行教學實踐與解題策略研究。

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