光驅動振子維持的兩個耦合振子的同步研究

甘鳳輝

摘 要：同步存在于自然界的每一個角落，這是值得探索的，而自激振動具有主動收集環境能量、自主性、便攜性等優點。鑒于此，提出了基于液晶彈性體（LCE）纖維與普通彈簧組成的光驅動自激耦合振動系統，從理論上研究了兩個自激耦合振子在系統參數影響下同步的可能性。發現在穩定的光照條件下，由于兩個耦合振子間的相互作用，系統的自激振蕩有三種同步模式：靜態模式、同相位模式和反相位模式。研究結果將加深對自激耦合振子同步行為的理解，并在能量收集、軟機器人、信號檢測、主動電機和自維持機械中具有潛在的應用。

關鍵詞：同步;光驅動;自激振動;液晶彈性體;耦合振子

中圖分類號：O415.5 ? ?文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1003-5168（2022）4-0090-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.04.020

Synchronization of Two Coupled Oscillators Maintained by Light-Driven Oscillators

GAN Fenghui

（Anhui University of architecture， Hefei 230601，China）

Abstract： Synchronization exists in every corner of nature， which is worth exploring， and self-excited vibration has the advantages of active collection of environmental energy， autonomy， portability and so on. In view of this， a light-driven self-excited coupled vibration system based on liquid crystal elastomer （LCE） fiber and common spring is proposed. It is found that the self-excited Oscillation of the system has three synchronous modes： static mode， in-phase mode and anti-phase mode due to the interaction between the two coupled oscillators under stable illumination. The results will deepen the understanding of the synchronization behavior of the self-excited coupled oscillators and have potential applications in energy collection， soft-robot， signal detection， active motor and self-sustaining machinery.

Keywords： synchronization; optical drive; self-excited vibration; liquid crystal elastomer; coupled oscillator

0 引言

自激振蕩是由外部穩定刺激觸發的周期性非線性振蕩現象，并且通過從穩定的環境中收集能量來補償阻尼所耗散的能量，可以保持系統的自振蕩[1]，并在能量收集、信號監測、軟機器人、醫療設備等領域有著廣闊的應用前景[2-4]。由于系統只需要穩定的外部激勵，系統的運動控制和復雜控制系統的設計更容易實現，在一定程度上降低了自激振蕩系統的復雜性，實現了可移植性的優勢。對自激振蕩的研究有利于加深對非平衡態熱力學的理解，也具有廣泛的應用價值[5-8]。

自激振蕩系統需要一種特殊的機制來周期性地獲取外部環境的能量，以彌補由于系統阻尼所消耗的能量。自激振蕩系統的刺激響應材料包括水凝膠、液晶聚合物網絡（LCN）、離子凝膠、液晶彈性體（LCE）等，對于不同的刺激響應材料和結構，提出了不同的反饋機制來實現能量補償[9-13]。例如，基于LCN致動器的光學燃料自激振蕩器表現出彎曲、扭曲和收縮-膨脹振動模式[3]，試驗探索了軟響應基底上的揮發油滴能夠產生并響應局部變形，同時誘發自激振蕩[4]，通過剪紙技術制造的LCN光誘導軋制機器人[9]、LCN薄膜光驅動塑料軋機[10]，可使用光敏聚合物薄膜制造波浪[11]。在刺激響應材料中，LCE是一種由液晶和聚合物網絡合成的智能材料，在光、電、熱、磁場等外界刺激下，LCE液晶單體分子會發生旋轉，間接改變分子間的排列順序進而導致宏觀變形，并且具有響應快和可恢復變形等優點[12-13]。

同步是自然界最基本的現象之一，它存在于生活中每個角落。這引起了許多研究人員的廣泛關注[14-16]。對同步現象的首次探索起源于惠更斯的時鐘試驗[17]，該試驗觀察到兩個相同的時鐘以兩個相反方向的鐘擺同步振蕩。最近的研究證實，兩個鐘擺之間的同步是由連接時鐘的木質結構中傳播的微機械振動產生的耦合引起的[18]。此外，大量多自由度的節拍器在自由移動基座上的同步運動在試驗中得以實現。最近，Ghislaine等人在光學響應LCE試驗的基礎上研究了光驅動薄塑料驅動器的同步振蕩，發現穩定狀態下存在同相位和反相位兩種同步振蕩現象[19]。他們的數值模擬定性地解釋了同步運動的起源，并發現同步運動可以通過耦合接頭的機械性能進行調整。

雖然已經對光響應主動材料的自激耦合振蕩的相互作用和群現象進行了一些研究[19]，但需要建立更多新的自激耦合振蕩系統來探索其潛在的應用價值。因此，提出了一個由LCE纖維和普通彈簧組成的兩個自由度光響應自激耦合振蕩系統，研究了兩個自激耦合振子在穩定光照下的同步行為。研究基于已建立的LCE動力學模型[20]，詳細推導了兩個自激耦合振子在穩定照明下的動力學控制方程，同時也給出了方程的解決方法;通過數值計算，得到了兩個耦合振子自激振蕩的三種同步模式。

1 模型和公式

1.1 兩個振子的動力學模型

圖1為由光響應LCE纖維和彈簧以及質量塊組成的在穩定光照下的自激耦合振子模型。圖1（a）為參考狀態，LCE纖維和普通彈簧的初始長度為L。圖1（b）為初始狀態，LCE纖維的一端通過質量為[m]的質量塊與彈簧連接，另一端固定在點O上，同時在彈簧底部懸掛一質量相同的質量塊。圖1（c）為當前狀態，圖中的陰影區域表示照明區域，u₁（t）是在照明區域和非照明區域之間振蕩的上方質量塊的位移，u₂（t）是下方質量塊的位移，F_L（t）是LCE纖維的彈力，F_S（t）是彈簧的彈力，F_d（t）是振動過程中兩個質量塊受到的空氣阻尼力。為了便于分析，假設兩質量塊的空氣阻力與質量塊速度成正比，并且其方向始終與質量塊的運動方向相反。同時假設LCE纖維和彈簧的質量遠小于質量塊的質量，因此可以忽略不計。

最初，自激耦合振動系統處于初始狀態，上方質量塊位于x=L處，下方質量塊位于x=2L處，然后對兩個質量塊施加初始速度，初始狀態演化為當前狀態。當上方質量塊在照明區向下運動時，部分LCE纖維進入光照區，一些LCE液晶分子從直的反式（trans）變為彎曲的順式（cis），導致LCE纖維收縮，應變增大，F_L（t）也隨之增大，使質量塊減速并向上反彈。在非照明區域，一些液晶分子從cis變為trans，部分LCE纖維長度恢復，F_L（t）減小，質量塊減速并向下運動。通過LCE纖維的周期性收縮和松弛，上方質量塊可以在穩定的光照下觸發自激振蕩。在上方質量塊振動過程中，由于兩個質量塊之間力的相互作用，LCE纖維將帶動彈簧和懸掛在其底部的質量塊周期性振蕩。同時，在一定物理參數范圍內的自激耦合振蕩系統將演化出不同的同步模式。

3 結語

基于LCE纖維的光響應特性，構造了一種能在穩定光照下自激振蕩的新型耦合振子系統，并建立了光驅動振子維持兩個耦合振子同步的理論模型。詳細推導了同步模式下兩個振子自激振蕩的動力學控制方程，并利用Matlab軟件進行數值計算。結果表明，兩個振子的同步模式總是向同相位模式、反相模式或靜態模式演化。在其他物理參數不變的情況下，三種同步模式存在一個臨界彈簧常數區間。當k₂<7時，兩個振子將以反相位模式振蕩;當k₂<9.5時，其自激振蕩是同相位的;而當7≤k₂≤9.5時，兩個振子的自激振蕩為靜止狀態。這項研究結果將加深對自激耦合振子同步行為的理解，為能量采集、軟機器人、信號檢測、主動電機和自維持機械提供新的設計思路。

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