數學探究活動的實踐探索

侯寶坤

摘 ?要：以數學探究活動的“五環節”組織對“認識與應用圓柱體截面”進行探究，在梳理基礎知識的同時，體驗復雜情境下的認知程序的建構方式，并將其應用于具體問題的分析與解決中. 在探究的過程中理解知識，掌握研究方法，自覺追求理性思維，實現知識融合和數學學科核心素養的綜合性培養.

關鍵詞：探究式學習;理性思維;核心素養;實踐探索

數學探究活動是圍繞某個數學問題開展自主探索、合作研究并最終解決問題的過程，是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動. 探究性活動大體可以分為確定探究主題、分解探究任務、實施探究活動、成果交流與評價、成果應用與拓展五個階段，如圖1所示. 內環虛線劃分的區域為學生在各個階段開展的學習活動;外環方框內是教師在各個階段從事的教學活動. 教師在整個探究活動中起著資源提供者、活動組織者、學習引導者和合作者的作用.

一、案例的價值分析與開發構思

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）的案例31是“圓柱體截面”專題. 該案例通過裝水圓柱容器不同放置方式的簡單情境引導學生認識截面的形狀，畫出直觀圖形. 原案例研究的內容比較簡單，突出了直觀想象素養的發展，但是沒有涉及截面的性質、應用、數學運算、數據分析，對學生數學抽象、邏輯推理素養的要求較低，未能發揮案例的綜合價值. 圓柱體截面知識在產品設計中有著廣泛的應用，涉及立體幾何、解析幾何、函數知識的融合，研究方法可以采用數據測量、軟件模擬等，案例具有豐富的育人價值，如圖2所示.

通過高二的學習，學生已經基本掌握了立體幾何、解析幾何、函數等相關知識和研究方法，但尚未形成將這些知識融合起來分析問題的思路，學生分析與解決復雜的實際問題的能力有待提高，這時開展探究性活動有助于學生對知識的融會貫通. 以“認識與應用圓柱體截面”為探究主題，充分理解《標準》的要求，深入挖掘案例中蘊含的數學學科核心素養，設計切實可行的學習目標，以問題為引領，開發教學案例，構思如圖3所示. 通過“五環節”展開教學活動，以“截面形成、截面性質、截面展開圖、截面應用”組織學習活動，將從“現象到理性”的“做中學”思想貫穿于整個項目的實施中，學生的分類討論、數形結合、轉化與化歸等數學思想得到進一步應用和發展，數學抽象、邏輯推理、直觀形象、數據分析、數學運算等素養也將得到落實.

二、探究式學習目標

探究式學習目標設置如下.

（1）通過動手操作、模型觀察，了解截面的形狀，理解分類原理，提升學生的數學建模、直觀想象、邏輯推理素養.

（2）融合智能計算思維和數學理性思維，探究、理解截面的相關性質和展開圖的特征，通過截面應用加深學生對其性質的理解，增強學生的知識融合能力，促進學生數學抽象、邏輯推理、數學運算、數據分析素養的綜合提高.

（3）由淺入深，讓學生經歷問題發現與提出、分析與解決的全過程，體會數學研究的一般流程，積累合作探究的活動經驗，形成解決實際問題的科學思維，提升數學思想與核心素養融合的水平.

三、探究式活動實施過程

1. 確定探究主題

創設情境：播放木工制作圓柱形榫卯的視頻.

驅動性問題：組裝好圓柱形榫卯的關鍵是什么？

學生根據“兩個截面怎樣才能吻合？”確定探究主題為“認識與應用圓柱體截面”.

【設計意圖】通過極具中國文化特色的、有趣的榫卯結構發現現實生活中蘊含的數學問題，提出驅動性問題，引導學生主動確定探究主題為“認識與應用圓柱體截面”，激發學生的學習興趣，使學生了解并體會數學在生產實踐中的廣泛應用價值.

2. 分解任務

教師提供：裝水的礦泉水瓶、火腿腸、薯片盒等圓柱形教具;圓規、直尺、GeoGebra軟件等輔助工具.

學生分組活動，利用學習的數學知識確立探究該主題的整體方案，完成初步設想. 教師組織學生對方案進行點評、優化、完善. 學生討論，根據驅動性問題，主動對探究主題進行分解，確定子任務.

子任務1：認識圓柱體的截面，包括截面的形狀及形成條件、截面的性質和截面的側面展開圖.

子任務2：應用圓柱體的截面，包括設計產品，即彎頭的制作方案.

最終確立探究流程，如圖4所示.

3. 探究活動

（1）截面的形狀及形成條件.

活動1：借助實物動手操作或用軟件模擬，在運動過程中形成不同截面，如圖5所示. 根據形狀將截面進行歸類，并體會截面的形成條件.

【設計意圖】讓學生操作、體會、歸納不同截面產生的條件，實施“做中學”“做中悟”，為后續的數學化做好感性準備，培養學生的直觀想象素養和分類討論能力. 教師通過觀察、傾聽發現問題，以便在教學中對學生的錯誤認識進行啟發性糾正. 例如，有的學生會認為圖5（6）是梯形或平行四邊形.

活動2：教師通過追問“影響截面的形狀的關鍵是什么？”“你能數學化地表達嗎？”引領學生探究不同形狀截面的形成原因.

【設計意圖】啟發學生進入理性數學思考環節，體現探究式學習的數學味，增加研究深度，提升學生的數學抽象能力，激發學生用數學知識深入分析實際問題的意識.

活動簡記：學生的交流以描述為主. 有的學生認為，起于母線終于母線的截面為橢圓（特殊的截面為圓），起于母線終于底面的截面為橢圓弧加一條線段，起于底面終于底面的截面為橢圓弧加兩條線段（特殊為矩形）;有的學生認為，只與側面相交的截面為橢圓（或圓），與側面和一個底面相交的截面為橢圓弧加一條線段，與側面和兩個底面相交的截面為橢圓弧加兩條線段. 這時，教師要引導學生從二面角的大小入手研究面的關系，形成數學化的理論分析.

如圖5，記截面與圓柱體母線的交點為[E]，截面與下底面在交線右側的半平面所成的角為[θ]，經過點[E]的母線為[AC]. 設[AC=l，AE=h∈0，l]，底面半徑為[R]，當[θ∈π-arctanl-h2R，π?0，arctanh2R]時，截面分別對應圖5（1）和圖5（2），是兩類橢圓;當[θ=π]時，截面對應圖5（3），是一個圓;當[θ∈π2，π-arctanl-h2R?][arctanh2R， π2]時，截面分別對應圖5（4）和圖5（5），是橢圓弧加一條線段. 當截面經過上底面的一條弦，弦心距為[d∈0，R]時，則有[θ∈arctanlR+d， π2?][π2，π-arctanlR+d]，截面對應圖5（6），是兩段橢圓弧加兩條線段;當[θ=π2]時，截面對應圖5（7），是矩形;當[θ∈0，arctanlR+d?π-arctanlR+d，π]時，截面分別對應圖5（4）和圖5（5），是橢圓弧加一條線段.

（2）截面的性質.

活動3：教師通過問題“截面的形狀已經直觀感受了，接下來你還想研究什么？”“你準備把研究的重點放在哪個對象上？”引領學生探究橢圓截面的性質.

【設計意圖】從直觀感受到深入認識是數學研究的必經之路，讓學生感受數學研究的一般思路. 問題開放便于打開學生的思維，引導學生從關系上認識數學，學會歸納總結、提煉核心，牽住問題解決的“牛鼻子”——橢圓截面的性質.

活動簡記：學生利用二面角的性質進行探究，得到短半軸長[b=R]、長半軸長[a=Rcosθ]的橢圓，橢圓面積公式[S橢圓=πR2cosθ=πab]，橢圓截面周長沒有公式. 但是學生用GeoGebra軟件的求周長功能，對橢圓截面求周長（[R=15 mm，EC=60 mm，DF=30 mm]，下文都以此為例），求出近似值為114.61 mm，如圖6所示. 另外，有的學生用圓弧近似，得到圓弧的近似公式[l=4×πR2ni=1n1cos2αcos2iπ2n+sin2iπ2n]，取[n=5，] 通過Excel軟件、圖形計算器等進行計算，可以得到周長為108.15 mm，也比較精確. [n]的取值越大就越精確.

活動4：教師通過問題“你能確定上述截面一定是橢圓嗎？”引導學生反思思維的邏輯性和嚴密性.

【設計意圖】促進學生由直覺思維向理性思維轉移，形成“既要猜想更要證明”的數學思維，突出數學探究式學習中理性思維的價值. 培養學生的質疑精神. 質疑是主動學習的表現，是深入學習的動力，是將感性認識引向理性思考與深入思考的關鍵.

活動簡記：學生通過網絡學習了雙球模型證明（略）. 經過師生討論，形成了新的方法：如圖7，設在直角坐標系[xOy]中，點[A]的坐標為[x，y]，在直角坐標系[xOy]中，點[A]的坐標為[x，y]. 在矩形[AHHA]中，[AH=HA;] 在[Rt△HOM]中，[HOcosθ=HM=OH]. 故[R2=][x2+y2=xcosθ2+y2]. 從理論上證明了活動3的結論.

學生經歷了“確定對象—探究性質—論證判斷”的研究過程，學會了研究數學問題的基本方法和常規思路. 學生的思維在碰撞中逐步深入，得到橢圓面積公式是一個驚喜. 周長的探究體現了極限對近似運算的強大功能，借助智能計算將手腦有機融合，實踐和理論相互促進，共同推進了知識的理解與應用.

（3）截面的側面展開圖.

活動5：教師通過追問學生“除了研究橢圓截面本身的性質外，你還能融合其他對象提出新的研究問題嗎？”引導學生研究截面的側面展開圖的形狀.

【設計意圖】教師鼓勵學生廣泛聯想，進一步激發學生的問題綜合意識，使他們體會融合知識的依存背景產生新問題的方法，增強利用新情境解讀知識的能力，提高知識綜合應用和主動創新的能力.

活動簡記：① 學生形成許多測量方案. 方案1：剪開薯片盒進行研究. 方案2：將帶包裝的火腿腸切出截面，再展開包裝紙進行研究，如圖8所示. 方案3：在紙上畫一個與圓柱底面大小相同的圓，將圓等分點標出，然后將圓柱底面與之重合，再測量這些點到截痕的母線長，如圖9所示（不破壞模型，有創新，更具現實價值）.

② 側面曲線軌跡的函數擬合. 將底面12等分，測量數據列表如下（單位：cm）.

利用GeoGebra軟件表格區的回歸分析功能，作出相應的散點圖（如圖10），用二次函數（如圖11）、四次函數（如圖12）、正弦函數（如圖13）進行回歸分析，發現正弦函數最佳，四次函數次之. 由于測量精度不同，也有小組出現四次函數較佳的情形，討論后重新切幾個截面測量分析，得出正弦函數更佳. 學生在交流中相互啟發，在爭論中相互學習，對誤差的分析提高了學生管理分歧、達成共識的意識，增強了學生解決實際問題的能力.

活動6：教師通過問題“模擬得到的正弦函數具有一般性嗎？”推動學生對問題一般性的理論化討論.

【設計意圖】實驗可以驗證與推測理論的準確性，探究式學習更應該重視理論的建立，防止出現將實驗解決作為最終目標的不良傾向，主動融入數學抽象、邏輯推理、數學運算等素養，提高學生的綜合能力.

活動簡記：師生共同討論，將學生方案3的思想抽象化. 如圖14，沿[DF]處展開側面，建立平面直角坐標系，設[Nx，y]，[DF=h0]，[∠MOD=α]，則[x=αR]，[y=][HK=DF+FQtanθ=h0+R1-cosαtanθ=h0+Rtanθ1-cosxR，]為正（余）弦型函數.

這一階段學生經歷了“初步感受—實驗探索—智能求解—理論論證”的研究過程，體驗了通過數學建模處理實際問題的一般思路. 在實際教學中，學生有猜想、有證明，也有反駁. 實驗方案3就是思維不斷碰撞的結果，體現了思維的靈活性. 出現不同的結果，不一味地爭論，學會多舉例增強說服力，以理服人，體現了數學理性思維的潛在影響. 數學實驗和智能計算增加了解決問題的手段，提高了問題研究的效率和建立理論的信心.

（4）截面的應用.

活動7：教師以問題“對于圖8，你能針對不同背景提出彎頭的制作方案嗎？”觸動學生探究使用知識的熱情.

【設計意圖】用開放性問題發散學生的思維，激發學生的創新意識. 通過應用方案的設計，檢驗學生對新知識的理解，以及用數學知識解決實際問題的能力.

活動簡記：

背景1：給定圓柱體如何截取一個符合條件的截面？經過討論，學生認為截面與底面所成二面角為關鍵，設計一個定角模具，沿模具平面鋸開圓柱體.

背景2：給定一個矩形鐵皮如何卷成一個符合條件的截面？根據[x=αR]，[y=h0+Rtanθ1-cosxR]在鐵皮上畫出函數圖象，沿函數圖象剪開再卷起即可.

四、交流評價

在探究過程中形成的成果，學生可以邊探究邊交流，也可以依探究階段分段交流、相互點評. 最后階段可以圍繞項目學習的總體感受交流，主要包括知識的認知程度、方法的獨到領悟、探究性學習過程中的情感體驗等. 教師引導學生對形成的成果、交流過程、組織形式等進行評價反思，也可以對學生的評價進行再評價，找出優勢，分析不足，促進修正. 學生則側重評價和反思自己學習過程中的得失，感悟其他學生的學習帶給自己的體會，促進對知識規律的總結和提升，以及對研究方法的整體體驗.

五、應用拓展

教師可以提出檢驗探究性活動的評價性問題，供后續研究. 例如，圖5（5）和圖5（6）中的截面面積怎么計算？周長的近似值是多少？圖5（7）中的截面左側幾何體的高與底面周長一定時，體積何時最大（直覺是圓，考查理性證明）？圓錐體截面橢圓在其側面上的展開圖如何（方案3學習檢驗）？通過應用拓展檢查學生獲得知識的情況，同時開展新的發現和探究.

六、收獲與困惑

在探究性學習過程中不斷涌現的問題使學生獲得學習的內驅力，他們不僅知道而且能夠理解知識的特征，并且能夠將各個知識點進行重新組合，使知識的聯系更加緊密、系統. 基于學生數學學科核心素養綜合發展的探究性學習，突出目標導向、問題引領、任務驅動、合作交流，讓學生主動參與“做數學”“學數學”的全過程，積累了數學活動經驗，并學會了在實際問題中“用數學”的一般套路，能從數學知識的“源”與“流”上提高理解的深度和寬度. 探究性活動更能激發學生的學習熱情，促使學生真誠交流、合作共贏，積極地自評、互評增強了學生學習的目的性，提高了學習效率. 由于探究性活動具有綜合性，部分學生能力不足，參與度較低，所以教師在設計問題時要考慮增加梯度. 學生的智能計算能力普遍不足，給跨學科融合帶來了困難，要協同信息技術課程改善學習狀況.

參考文獻：

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[2]楊怡，梁會芳，張定強.“數學探究”研究二十年：回顧 經驗 展望[J]. 數學教育學報，2020，29（6）：40-45.