身邊的概率統(tǒng)計(jì)之小概率原理

徐英 徐雅靜

摘 要：小概率原理是統(tǒng)計(jì)推斷理論中一個(gè)重要的基本原理，常常被廣泛地應(yīng)用于人們的日常生活和工作中.本文通過生動(dòng)的故事案例，簡述了小概率原理的基本概念和特點(diǎn)，概括了小概率原理在生活中應(yīng)用的方法和技巧，引導(dǎo)人們正確認(rèn)識(shí)和處理身邊的小概率事件，運(yùn)用小概率原理科學(xué)指導(dǎo)我們的行為，從而有效地規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，把握機(jī)遇。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)推斷;小概率事件;小概率原理;應(yīng)用

中圖分類號：O212 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：As a very important basic principle in the inferential theory of statistics，the small probability principle is extensively applied to people’s daily lives.By some vivid stories and cases，this paper is devoted to describing the definition，features and applications of the small probability principle.It leads people to handle small probability events properly，and guides people’s behaviors scientifically.Therefore，opportunities would be seized and risks can be avoided.

Keywords：Statistical inference;Small probability events;The small probability principle;Applications

1 概述

小概率原理作為統(tǒng)計(jì)推斷理論中的一個(gè)重要基本原理，常常在不經(jīng)意間指導(dǎo)人們的行為，因此被廣泛地應(yīng)用到日常生活和工作中。乘車出行有時(shí)可能會(huì)發(fā)生事故，但是為什么會(huì)歸心似箭乘車回家探親或者興致勃勃乘車出門旅行呢？購買兩元一張的體育彩票有可能中500萬大獎(jiǎng)，為什么不爭先恐后地去買呢？很多人會(huì)這樣回答：“一次乘車出事故的概率太小了，不用擔(dān)心;買彩票中大獎(jiǎng)的可能性也太小了，一張彩票中大獎(jiǎng)幾乎是不可能的。”是的，這個(gè)回答已經(jīng)在用“小概率原理”了。

事實(shí)上，小概率原理是指“小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不會(huì)發(fā)生的”[1]，是人們在長期的生活實(shí)踐中總結(jié)和歸納出來的一條具有較強(qiáng)實(shí)用性的原理。因?yàn)椤耙淮纬塑嚦鍪鹿省迸c“買彩票中大獎(jiǎng)”均為小概率事件，根據(jù)小概率原理，它們在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性非常小，認(rèn)為是幾乎不可能發(fā)生。

在日常生活和工作中，不確定性給人們帶來許多麻煩。無論是股市的漲跌、某類事故的發(fā)生，還是自然災(zāi)害的降臨，在面對機(jī)遇或風(fēng)險(xiǎn)等隨機(jī)問題需要做出推斷和決策時(shí)，“小概率原理”常常是人們解決問題的有效手段甚至唯一手段。因此，這個(gè)原理又被稱為“實(shí)際推斷原理”。

那么，多小的概率才能稱為小概率呢？這不能一概而論，要因人、因地、因事而異，正如人們常說的“這螞蟻真大”“這大象太小”一樣，大家要做的是讓螞蟻和螞蟻比，大象和大象比。比如，一批鉛筆的次品率為1%，可以出售，但一批注射用的針?biāo)幱?%不合要求，就不能出售，因?yàn)樗鼤?huì)對人的健康造成危害。通常情況下，將概率小于等于0.05的事件稱為小概率事件。

除了在乘車或購買彩票時(shí)，大家在不經(jīng)意間運(yùn)用了小概率原理外，對于日常生活、工作中讓人們感到困惑和費(fèi)解的許多事情，只要善于從概率的角度做認(rèn)真的思考，合理運(yùn)用小概率原理，都可得到比較深刻的結(jié)果。本文通過簡單生動(dòng)的故事和案例，使人們能夠注意到身邊的概率統(tǒng)計(jì)，了解小概率事件和小概率原理的基本概念和特點(diǎn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用小概率原理科學(xué)指導(dǎo)自己的行為，從而能夠有效地規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，把握機(jī)遇，實(shí)現(xiàn)“在危機(jī)中育新機(jī)、于變局中開新局”[2]。

2 小概率原理的直接應(yīng)用

2.1 摸彩球游戲

人們經(jīng)常見到街頭摸獎(jiǎng)的游戲，比如下面的摸彩球游戲[3]。一個(gè)口袋中裝有6個(gè)紅球與6個(gè)白球，除顏色不同外，12個(gè)球完全一樣，每次從袋中摸6個(gè)球，游戲的規(guī)則見下表1。

從表面上看，表1中7種情況只有一種是輸?shù)模渌N情況都是贏的，這會(huì)讓很多人動(dòng)心，以為天上真的會(huì)掉下餡餅，然而游戲的玄機(jī)就在于這7種結(jié)果的發(fā)生不是等可能的。為了弄清楚這個(gè)問題，現(xiàn)計(jì)算表1中7種情況發(fā)生概率。

在無法區(qū)分紅球和白球的情況下，任意摸6個(gè)球，摸到i個(gè)紅球和j個(gè)白球的概率屬于大家學(xué)過的古典概率，于是有：

根據(jù)公式（1），得各種情況發(fā)生的概率如表2所示。

從表2可以發(fā)現(xiàn)，贏得100分或者50分都是小概率事件，在一次摸取中幾乎是不會(huì)發(fā)生的，雖然大約有48.7%的概率可以贏得20分，但是，卻有43.3%的概率要輸?shù)?00分，也就是有近一半的機(jī)會(huì)要輸?shù)?00分，因此，摸的次數(shù)越多，輸?shù)木驮綉K。

事實(shí)上，這是一種“機(jī)會(huì)游戲”，莊家利用小概率原理，使得中大獎(jiǎng)的概率達(dá)到很小。因此，莊家肯定是要贏的，玩的人越多，莊家贏的就越多。這就告訴人們，遇到誘惑時(shí)，要謹(jǐn)慎行事，要警惕這些利用小概率原理設(shè)置的陷阱，正確認(rèn)識(shí)小概率事件，在生活中趨利避害。

2.2 生日游戲

我們來做一個(gè)生日游戲：一位同學(xué)新到一個(gè)班級，他完全可以面對49名新同學(xué)，做一個(gè)驚人的宣布：“大家好，班上一定有兩名同學(xué)的生日是相同的！讓我們認(rèn)識(shí)一下他們，并為他們祝福吧！”大家一定會(huì)驚訝不已！一年有365天，而班上只有50名同學(xué)，難道生日會(huì)重合嗎？實(shí)際上，這是極可能獲得成功的。

根據(jù)古典概率的計(jì)算方法，全班50名同學(xué)生日各不相同的概率為：

公式（2）的分母是50名同學(xué)在一年內(nèi)生日的所有可能情況，也就是365的50次方，分子是50名同學(xué)生日各不同的所有情況，即365天任取50天的排列數(shù)A50365。

可以發(fā)現(xiàn)，“全班50名同學(xué)生日各不相同”是個(gè)小概率事件。根據(jù)小概率原理，在一次游戲中它幾乎是不會(huì)發(fā)生的。因此，推斷班里面至少有兩個(gè)人的生日相同是合理的。巧妙地運(yùn)用小概率原理，還可以給人們的生活增添很多樂趣。

2.3 女士品茶與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

20世紀(jì)20年代末一個(gè)夏日的午后，在英國劍橋，一群學(xué)者和他們的夫人們正在一起享用下午茶，一位女士堅(jiān)稱：把茶加進(jìn)奶里，或者把奶加進(jìn)茶里，不同的做法，會(huì)使茶的味道品起來不同。

在場的科學(xué)精英們對那位女士的“胡言亂語”嗤之以鼻，他們難以想象，僅僅是因?yàn)榧尤肽獭⒉璧捻樞虿煌蜁?huì)使茶的味道品起來不同。但是，一位身材矮小、戴著厚厚的眼鏡、蓄著的短胡須的先生，卻不這么認(rèn)為，他對這個(gè)問題很感興趣。他興奮地對大家說：“讓我們一起來檢驗(yàn)這個(gè)命題吧！”[4-5]

于是，在胡須先生的指導(dǎo)下，他們討論出了試驗(yàn)檢驗(yàn)的若干種方案。其中有這樣一個(gè)方案：把8杯已調(diào)制好的茶放到那位女士的面前，告訴這位女士4杯是先加茶后加奶，4杯是先加奶后加茶的。不過，排放的順序是隨機(jī)的，看看這位女士能否正確地品嘗出不同的茶。試驗(yàn)結(jié)果是該女士完全正確地從8杯中品嘗出了不同的茶。根據(jù)此試驗(yàn)結(jié)果可以斷言該女士具有分辨能力嗎？

我們假設(shè)“該女士沒有分辨能力”，利用小概率原理，結(jié)合觀測結(jié)果，來推斷是否否定該假設(shè)，進(jìn)而判斷女士是否具有“分辨不同調(diào)制順序的茶”的能力。

在原假設(shè)為真時(shí)，即女士無分辨能力，該女士從8杯中挑出4杯“先放牛奶后放茶”的方法，與隨機(jī)從8杯中挑選出4杯是一樣的。因此根據(jù)古典概率的計(jì)算公式，可以得到女士能正確品嘗出不同的茶的概率為：

這是一個(gè)小概率事件，根據(jù)小概率原理——認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生，所以針對這一次試驗(yàn)設(shè)計(jì)，我們有理由否定原來的假設(shè)“女士沒有分辨能力”，認(rèn)為女士具有“區(qū)分不同調(diào)制順序的茶”的能力。這里我們是將小于0.05的概率定為小概率，在假設(shè)檢驗(yàn)中通常稱其為顯著水平。

事實(shí)上，有些試驗(yàn)者會(huì)認(rèn)為0.05的顯著水平不合適，希望將顯著水平修改為0.01，那么在新的顯著水平下，我們就沒有充分的理由否定原假設(shè)“女士沒有分辨能力”。這時(shí)我們可以對試驗(yàn)做些修改，將8杯改為10杯，并且不告訴女士“先加茶后加奶與先加奶后加茶各有4杯”的事實(shí)。原假設(shè)仍然為“女士沒有分辨能力”。

在原假設(shè)為真的條件下，該女士只能通過猜測來回答每杯茶的調(diào)制順序，所以每杯猜對的概率為0.5，記X為女士猜對的總杯數(shù)，顯然X～B10，0.5。則有

PX=8|原假設(shè)為真=C8100.58·0.52=0.044

PX=9|原假設(shè)為真=C9100.59·0.51=0.0098

PX=10|原假設(shè)為真=C10100.510·0.50=0.00098

可見，10杯中猜對8、9、10杯的概率分別為0.044、0.0098、0.00098。也就是說如果試驗(yàn)結(jié)果為那位女士猜對了9杯或10杯，那么在0.01的顯著水平下，就有理由否定原假設(shè)，相對上一個(gè)試驗(yàn)，這次試驗(yàn)否定“該女士沒有鑒別能力”的證據(jù)要有力得多。所以我們可以推斷她所說的“飲品味道與加入茶、奶的先后順序有關(guān)”是可信的。

正是這個(gè)夏日午后的女士品茶使那個(gè)留著短胡須的先生突發(fā)靈感，將檢驗(yàn)女士品茶能力的多種試驗(yàn)方案寫入了他的開創(chuàng)性著作《試驗(yàn)設(shè)計(jì)》中。這位短胡須先生就是英國20世紀(jì)最有成就的統(tǒng)計(jì)學(xué)家羅納德·艾爾默·費(fèi)歇爾（Ronald Aylmer Fisher），作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的奠基人之一，他在《試驗(yàn)設(shè)計(jì)》中給出了對后世影響深遠(yuǎn)的科學(xué)試驗(yàn)設(shè)計(jì)思想，對概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。

結(jié)語

通過以上實(shí)例，相信大家已經(jīng)感受到小概率原理與人們的生活息息相關(guān)。值得注意的是，小概率事件不是不可能事件，雖然在一次試驗(yàn)中小概率事件幾乎是不可能發(fā)生的，但是也不能忽視小概率事件，小概率事件重復(fù)的次數(shù)多了，遲早發(fā)生的可能性就會(huì)變得很大。

如果在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率設(shè)為p，不管p如何小，把試驗(yàn)不斷獨(dú)立重復(fù)地做下去，n次試驗(yàn)中事件A至少發(fā)生一次的概率為1-（1-p）n1-（1-p）n，當(dāng)n趨向無窮時(shí)，這個(gè)概率趨向于1。這表明事件A遲早要發(fā)生的概率是很大的。比如，在城市鬧區(qū)亂放鞭炮，就一次而論，引起火災(zāi)的可能性并不大，但如果很多人都這樣亂放鞭炮，那么“引起火災(zāi)”這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率就變得很大。常言道“常在河邊走，哪有不濕鞋”，這也是基于上述推理。

正確對待“小概率事件”是人們處理工作和生活問題必備的科學(xué)素養(yǎng)。不當(dāng)?shù)睾鲆暋靶「怕适录保赡軙?huì)因麻痹大意而釀成惡性事故。但也不必過分懼怕“小概率事件”，以致謹(jǐn)小慎微，裹步不前。事實(shí)上，大家不必因擔(dān)心天上的飛機(jī)掉落在頭上而憂心忡忡，但更不可因疏忽大意使飛機(jī)的安全受到威脅。

在日常的生活和工作中，大家做任何事情都要腳踏實(shí)地，面對生活中的隨機(jī)事件要理性地分析、對待。正如一位哲學(xué)家所說的“概率是人生的真正指南”，只有學(xué)會(huì)用概率的思想去面對隨機(jī)問題，才能把握大概率的機(jī)遇，規(guī)避大概率的風(fēng)險(xiǎn)，從而實(shí)現(xiàn)“在危機(jī)中育新機(jī)，于變局中開新局”[2]的創(chuàng)舉。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐雅靜，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，2015：196.

[2]人民日報(bào)評論員.在危機(jī)中育新機(jī)、于變局中開新局[N].人民日報(bào)，2020-05-25.

[3]秦秉杰.小概率原理及其應(yīng)用[J].太原學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，37（3）：18-21.

[4]戴維·薩爾斯伯格.女士品茶：統(tǒng)計(jì)學(xué)如何變革了革命[M].劉清山，譯.南昌：江西人民出版社，2016：3.

[5]陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)簡史[M].長沙：湖南教育出版社，2000：226.

課題：鄭州輕工業(yè)大學(xué)第13批教學(xué)改革與研究項(xiàng)目：“大學(xué)數(shù)學(xué)”新形態(tài)教材與資源建設(shè)的研究與實(shí)踐——以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程為例

作者簡介：徐英（1982— ），女，漢族，山東菏澤人，博士，講師，研究方向：應(yīng)用微分方程;徐雅靜（1963— ），女，漢族，山東茌平人，碩士，教授，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析。