小學具，“深”學習

[摘? 要] 對于一部分已經“會”的學生，學具操作變成了“滯后”的工具，完全體會不出它的價值所在。但若能深度挖掘這些簡單學具的作用，把“單一”變“多元”，不僅能有效地把難以傳授的知識或難以解決的問題更直觀地呈現給學生，幫助學生理解知識，更能拓展學生的數學思維，提升學生的能力，進而實現深度學習。

[關鍵詞] 數學學具;深度學習;數學模型;數學素養

新的課程標準明確指出，數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志。現在越來越多的課堂引入了直觀學具的教學，主要因為它們的表現直觀，有助于理解算理，有助于思維，有益于問題解決。因此，發揮學具作用到極致，不僅體現在學生學習方式的豐富與轉變上，同時也促進教師改進教學方式，為傳統的數學教學注入了生機與活力，提升了教師的專業素養。

一、挖掘學具本身的趣味性、直觀性、多樣性

學生伸手或跳一跳就能摘到的桃子，教師絕不要代勞，尤其是規律性的知識，一定是借助大量的操作自己“悟”出的。

學具操作：學具片（正方形片、圓片等）

課例1? 蘇教版五年級下冊“和的奇偶性”

筆者讓學生用自己的方式先探索兩個數相加的奇偶性，就有學生用手上的正方形片擺出了這樣的圖示（圖1）。

這僅僅驗證了1+1=2（奇數+奇數=偶數）;1+2=3（奇數+偶數=奇數）;2+2=4（偶數+偶數=偶數）。筆者借機問：這個正方形片還能表示其他數相加的和的奇偶性嗎？學生思考后紛紛擺了出來（圖2）。

學生們從中發現偶數是一對一對出現的，奇數是有1個單個的。偶數和偶數相加，會“配對成功”;但是偶數和奇數相加，會有1個多出的;而奇數和奇數相加，原本兩個多出的合在一起正好“配成一對”。

此時，筆者再次做了延伸：這個規律適用于任意非0自然數的相加嗎，學生想到如下情況（圖3）。

知識的習得絕非是刻意地告知，如果教學這個知識點，只是通過一串串枯燥的數據列舉去理解，學生的感觸是不深的，因為“沒有反例”去被動接受這些規律，所以沒有從根本上理解規律。但若通過正方形學具片的大量操作，借助學具的直觀性和可插入性，學生則能非常直觀地理解規律的本質，真正地理解，就能真正地接納。

課例2? 蘇教版一年級上冊“數數”

筆者讓學生用自己的方式表達出數“10個小朋友”的方法，有學生擺出10個圓片來表示數“10”。

筆者問學生如何數的？能畫出你數的過程嗎？學生出現了兩種數的方法和過程（圖4、圖5）。

這是第一次出現群數，是學生自發引起的一種“數數”的思維：遇到數量多、又有一定排列規律的物體時，自主產生了群數。學生根據排列方式的不同，想出了兩種數法。圖5數的過程是多元化的：縱向看，2個2個地數;橫向看，5個5個地數。學生在邊圈邊數的過程中就能感受到觀察方向的不同。也為后續學習乘法，對“5個2相加”“2個5相加”意義上的理解做鋪墊。

二、發掘操作過程中的有效性、建構性、獨創性

學具操作強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，讓學生知其然更知其所以然。

學具操作：磁性圓片

課例3? 蘇教版一年級上冊“求未知加數”

教材中教學求加法算式中的未知加數，一方面是進一步鞏固10的分與合的知識以及有關10的加減法計算，為學習20以內進位加法和退位減法做準備;另一方面是讓學生初步感受方程的思想，為五年級學習方程做鋪墊。

教材（圖6）是呈現10個格子的盒子，里面放了8個蘋果，引導學生根據圖意提出問題：再放幾個能放滿？

參看五年級下冊教材（圖7），學生對方程的理解是通過天平的平衡與否去理解等式與方程。曹一鳴教授提出的代數思維框架中，在“代數作為數學語言”中就提到了“用等價的符號表示處理公式、表達式、方程、不等式”。感受“=”兩邊的量（式）之間平等、對稱、平衡、等價的關系。由此可見，通過天平平衡與否去理解不等式、等式，能更直觀有效地發展學生的代數思維。

教學時，筆者把教材直接呈現10格的盒子稍做改動，改為出示兩堆圓片，讓學生思考：怎樣能一眼看出紅藍圓片哪個多一些（圖8）？

學生想出了兩種辦法（圖9、圖10）。

第一種是用“一一對應”的方法去比較;第二種想到了擺到同樣的10格的格子里。學生通過對比發現第二種方法不僅能一眼看出誰多誰少，還能一眼看出各自的數量。

此時教師進一步提問：如果把它們分別放在天平兩邊，你們覺得哪頭會往下沉？

學生畫出了如圖11的圖示。

另外，學生還想出了多種方法（圖12）。

知識本質的教學，既需要教師對數學知識的認識與理解，還需要教師對教材的整體把握和深度解讀。教材只呈現了一道求未知加數的等式，讓學生根據給定的圖示去思考“盒子里應該放幾個，括號里就填幾”。如果只是像這樣以陳述性的方式去傳授知識，學生是難以主動介入和自主建構不等式、等式、方程的知識框架的。

三、觸發學具背后思維的敏捷性、發展性、變通性

通常，學生被動接受知識或在教師指導下接受知識，其主動性較差，然而“自我轉換”需要學生主動進行信息的加工，這也是學生“學會”的重要標志。因此，教學要促進學生主動學習，幫助學生實現信息的自我轉換。如何讓每個學生都經歷“真學習”呢？

學具操作：小棒

課例4? 蘇教版一年級上冊“認識10”

本節課兩次利用小棒進行深度教學。

片段1：借助“十進制”理解“10”

筆者讓學生用自己的方式表達對“10”這個數的理解時，有學生就擺出了10根小棒。接著筆者又帶領學生把板貼的小棒數好10根后捆成一捆。

通過1根和1捆小棒，觸發學生進一步思考：1根小棒可以用“1”來表示，“1捆”小棒也可以用“1”來表示（圖13）。

學生對比發現一個是“1根”，一個是“1捆”，1捆其實就是10根。

然而，筆者在實驗班級教學中都沒看到學生直接用“1捆”表達“10”的，都是拆成單根去擺，這主要源于學生在生活中缺乏對“1捆”的感受，對“十進制計數”更是陌生。再者受之前學習的影響（所有數數的情況都是單個排列，沒有組合排列），學生不會想到用這種簡明的方式去表達，因此需要教師去引導。筆者先通過圖示對比兩個“1”：一個是“1根（一）”，一個是“1捆（十）”，單位不同，讓學生對“位值制”有了初步感覺，如果統一單位都用“根（一）”來計數，后者就是10根（一）。其次通過觀察教師的操作、讓學生自己動手操作，切實感受到原來10個一是可以“捆成”1個十的，學生對“十進制”的理解水到渠成。

片段2：通過“數線”理解“10”

經歷了第一環節，學生用10個不同的物體來表示“10”后，筆者把原本“豎向”1根1根擺放表示“10”的小棒進行“橫向”擺放，同時設計了三個層次的問題：第一個層次，讓學生感受到每向后延伸1根小棒，就產生一個數，越往后，小棒數越多，數也越大，這個層次是讓學生對“數線”的“前”“后”有直觀的感覺：“數線”越往前數越小，越往后數越大（圖14）。

第二個層次，理解一小段可以用“1”來表示，那么多大的一段可以用“10”來表示？學生通過用胳膊比畫，理解從第1個數數到第10個數時，這個“10”表示第10根小棒;或者從起點到10這么長的一段（十根），感悟基數詞與序數詞不同，同時聚焦對“數線”上的“10”更深一層的理解（圖15）。

第三個層次，學生發現隨著小棒的增多，后面還應該有更大的數，筆者在第10根小棒的右端，畫上了一個箭頭——“數線”，由此產生（圖16）。

一些中高年級的學生對“數線”上找相應的小數、分數存在困難，其主要原因在于第一次接觸這條抽象的直線時就不知道“數線”上每個數的意義和產生的由來。因此在第一次出現這條“數線”時，筆者就發揮小棒的作用：每一根小棒與每一根小棒的相連，讓學生直觀看到了數的延續，由此能在頭腦中展開想象，初步建立“數線”的模型。這樣，學生在動手操作、動手實驗中體驗數學、感悟數學，同時也在積累數學活動經驗。

學生的實踐操作伴隨著問題的發生與解決，數學思維自然植入其中，學具操作成為知識與思維融合的媒介，成為感性向理性升華的橋梁。教師應致力于改變以往簡單學具的簡單操作，發揮學具操作的本質，讓數學學具操作成為促進數學教學發展的平臺，讓學生在“動手做”的歷程中凸顯思維軌跡，提高思維能力，實現深度學習。

作者簡介：王玉蓉（1986—），本科學歷，中小學一級教師，從事小學數學教學工作，曾榮獲全國新媒體和學科融合競賽一等獎。